河南许昌市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份河南许昌市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含解析），共30页。
2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 5D. 20
【答案】B
【解析】
【详解】，所以．
2. 下列说法中错误的是（ ）
A. 空间四边形可以确定四个平面
B. 当三点共线时，有无数个平面
C. 若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点
D. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间点、线、面的位置关系逐项判断即可．
【详解】对于A，空间四边形的四个顶点不共面，可以确定四个平面，故A正确，不符合题意；
对于B，当三点共线时，平面可以绕直线旋转，有无数个平面，故B正确，不符合题意；
对于C，若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面无公共点，故C正确，不符合题意；
对于D，若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内，故D错误，符合题意．
3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【详解】由，，可得，
由正弦定理，可得，解得．
4. 若向量，，两两夹角均为，且，，，则（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】由题得，
，
，
所以
，
即．
5. 已知圆锥SO的侧面积为，其轴截面的直观图为，且轴，，则的长度为（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆锥的结构特征及其侧面积列方程求母线长，再由轴截面的性质求圆锥的高，最后利用斜二测画法确定的长度.
【详解】已知圆锥侧面积公式为（其中r为底面半径，l为母线长），
由圆锥SO的侧面积为，
根据斜二测画法规则，由可知底面半径，
代入得，解得，
在圆锥轴截面中，圆锥的高h、底面半径r和母线l构成直角三角形，
由勾股定理得，将，代入可得，
因为轴截面的直观图为，且轴，
在斜二测画法中，平行于轴的线段长度变为原来的一半，
所以.
6. 福善牛皮鼓是四川省自贡市富顺县福善镇的传统手工技艺，属于自贡市级非物质文化遗产传统技艺类项目，该技艺以本地水牛前肋皮为原料，完整保留选材、撑皮、晒皮、下料、削皮、浸泡、鼓皮定型、箍桶、上索、上楔等十道核心工序，成品具有音质纯正、粗犷深沉的声学特质．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为20cm，其表面积为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为30cm．若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的高度为（ ）
A. 36cmB. 32cmC. 24cmD. 20cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆台表面积公式得到圆台母线长，进而求出高即可．
【详解】解：依题意可得，圆台上底面半径为10cm，圆台下底面半径为15cm，
该牛皮鼓的表面积＝两个圆台的侧面积＋两个圆台的上底面面积，
则S表=2S侧+102π，即850π=2S侧+100π，解得．
又S侧=πr+Rl ，所以325π=10+15πl ，解得．
由l2=h2+R−r2，得，即，则该牛皮鼓的高度为24cm．
7. 在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知得，进而有，再由三点共线有，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值.
【详解】，
将，代入上式，得，
因为M，P，N三点共线，所以，即，且，
所以3m+1n=143m+n3m+1n=149+3nm+3mn+1
=1410+3nm+3mn≥1410+23nm⋅3mn=1410+6=4 ，
当且仅当，即时，等号成立．
8. 在正六面体中，直线平面，直线平面，记该正六面体的12条棱所在的直线构成的集合为U．给出下列四个命题：
①U中可能恰有3条直线与a异面；
②U中可能恰有10条直线与a异面；
③U中可能恰有8条直线与b异面；
④U中可能恰有10条直线与b异面．
其中正确命题的个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方体的结构特征及异面直线的定义依次判断各项的正误即可.
【详解】若直线a与底面的一条边所在直线重合时，假设直线a与AB重合，
此时U中只有4条直线（即，，，）与直线a异面；
若直线a与底面的对角线所在直线重合时，假设直线a与AC重合，
此时U中有6条直线（即，，，，，）与直线a异面；
若直线a只过底面的一个顶点时，假设直线a过点A，
此时U中有7条直线（即，，，，，，）与直线a异面；
若直线a不过底面的任何一个顶点时，
此时U中有8条直线（即，，，，，，，）与直线a异面，
综上，①、②都错；
③当直线b过A点与线段的中点时，U中除了AD，，AB，之外的8条棱所在直线均与直线b异面，对；
④当直线b过线段AD中点与线段的中点时，U中除了AD，之外的10条棱所在直线均与直线b异面，对．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为锐角，则x的取值范围为
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
【答案】CD
【解析】
【详解】A，若，则，解得，错误；
B，若，则，解得，错误；
C，若与的夹角为锐角，则，解得，
结合B分析，所以与的夹角为锐角的充要条件是，正确；
D，若，则，而，
所以，
所以在上的投影向量的坐标为，正确．
10. 在中，，，，点D为边BC上一动点，则（ ）
A.
B. 当AD为边BC上的高线时，
C. 当AD为边BC上的中线时，
D. 当AD为的平分线时，
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用勾股定理、直角三角形的性质判断A、C，由三角形的面积公式及等面积法判断B、D.
【详解】A：根据勾股定理，
将，代入可得，所以，A对；
B：根据三角形面积公式，
代入得，解得，B对；
C：因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，，所以，C对；
D：因为AD为的平分线，所以，
由，可得，
即，解得，D错．
11. 已知正方体的棱长为2，点E，F分别是线段CD，BC的中点，平面过点，E，F且与正方体形成一个截面图形，下面说法正确的是（ ）
A. 直线与是异面直线
B. 截面图形是一个五边形
C. 若点I在正方形内（含边界位置），且平面，则点I的轨迹长度为
D. 截面图形的周长为
【答案】AB
【解析】
【分析】由异面直线的定义判断A，应用平面的基本性质画出截面图，再根据已知及各项描述依次判断正误即可.
【详解】A，在正方体中，与既不平行也不相交，
平面，平面，，平面，
所以直线与是异面直线，正确；
B，延长，与AD的延长线交于点P，与AB的延长线交于点Q，
连接交于点G，连接交于点H，
再连接GE，HF，可得五边形为所求截面，正确；
C，由题意知，线段EG为点I的轨迹，
因为，所以G为的三等分点，同理，H为的三等分点，
则EG=12+232=133，即点I的轨迹长度为，错误；
D，A1G=A1H=22+432=2133，，且EG=FH=133，
则五边形的周长为，错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设i是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第______象限．
【答案】四
【解析】
【详解】由，
其共轭复数为，在复平面内对应的点为，位于第四象限．
13. 油纸伞是汉族古老的传统用品之一，以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面，如图1．伞在开合过程中，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，且，伞圈D可沿伞柄自由滑动．如图2，当伞完全收拢时，伞圈D滑至的位置，此时A，B，三点共线，已知，B为的中点；当伞从完全张开状态到完全收拢状态时，伞圈D沿伞柄向下滑动的距离为20cm．如图3，当伞完全张开时，______．
【答案】##
【解析】
【详解】由题设，在中，，，
由余弦定理，得，
代入得，解得，
所以sin∠BAD=1−352=45，又，
根据二倍角公式，得．
14. 在中，点D满足，，设，，若，，且，则______．
【答案】18
【解析】
【分析】用表示出，应用向量数量积的运算律和定义求即可.
【详解】由题意知，，，
，
所以．
又，，，
所以，
所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知O为坐标原点，复数，，，在复平面内对应的向量分别为，，．
（1）若点C在复平面的实轴上，且，求出实数k与a的值；
（2）若点C在直线上，且，求出实数a的值，并计算．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【小问1详解】
因为点C在复平面的实轴上，所以，即点，
又因为，，所以，，
由且，得，
所以，解得；
【小问2详解】
点C在直线上，即，所以，
又因为，，所以，
即，解得，此时，
所以.
16. 已知长方体中，，，用平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体．
（1）求被截去的几何体的体积；
（2）求几何体的表面积．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由题可知截去的几何体为三棱锥，再利用锥体体积公式计算即可；
（2）由题可知表面由3个三角形和3个矩形构成，结合余弦定理求面积即可．
【小问1详解】
解：被截去的几何体为三棱锥，体积为．
【小问2详解】
解：因为，，
所以，，，
．
，，
在中，由余弦定理得，
则，
所以，
所以SABCD−A1C1D1=S△A1BA+S△CBC1+S△A1D1C1+S四边形ABCD+SAA1D1D+S四边形CC1D1D+S△A1BC1=24+22．
17. 请在①向量，n=2a−c,b，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．
（1）求B的大小；
（2）若，求周长的取值范围；
（3）若AC边上的高为1，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据所选的条件，应用向量平行的坐标表示、正弦边角关系、三角恒等变换，将条件化为或，最后由三角形内角性质、余弦边角关系求角；
（2）由余弦定理、基本不等式得到，从而求得，即可得；
（3）应用等面积法得，余弦定理得，结合基本不等式求得，最后应用三角形面积公式求最小值.
【小问1详解】
选择①：因为，所以，
由正弦定理，得，
即，
即，
因为，所以，所以，
又，所以；
选择②：因为，所以，
由正弦定理，得，即，
即，即，即，
由余弦定理，得，又，所以；
【小问2详解】
由余弦定理，得，
即，即，当且仅当时取等号，
所以，得，即周长的取值范围为；
【小问3详解】
由面积公式，得，
由余弦定理可得，
所以，
所以，当且仅当时等号成立．
所以，
即面积的最小值为.
18. 某市计划在中央公园的一块三角形空地上建休闲花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植薰衣草、马鞭草花田，将区域设计为下沉式水景庭院，并在水景庭院周围设置木质护栏．在中，，，M、N在BC上，且．
（1）当时，求木质护栏的长度；
（2）为了控制建设成本，如何设计能使水景庭院面积尽可能小？请写出设计方案，并求出水景庭院面积的最小值．
【答案】（1）
（2）方案见解析，最小值为．
【解析】
【分析】(1)根据余弦定理求AN，进而得出和，即可求出AM和MN.
(2)法一假设∠NAB=θ ，法二假设∠CAM=θ ，用正弦定理表示出AM和AN，
再利用三角形面积公式和三角恒等变换可表示出，然后根据三角函数求最值即可求出面积的最小值.
【小问1详解】
在中，，，所以，，．
在中，
AN2=AB2+NB2−2AB⋅NB⋅csB=20032+2002−2×2003×200×csπ6=2002，所以，
则为等腰三角形，∠NAB=π6，又因为∠MAN=π6，所以∠CAM=π6，则∠CMA=π2，
得AM=AC⋅sinC=200×32=1003m，CM=AC⋅csC=200×12=100m，
则MN=BC−CM−BN=400−100−200=100(m) ，
所以护栏的长度为AM+AN+MN=300+1003m．
【小问2详解】
设计使得∠CAM=π12时水景庭院面积最小（或设计∠NAB=π4等符合题意都可）．
方法一 设，，则∠CAM=π3−θ ，
在中，，即ANsinπ6=2003sin5π6−θ，解得AN=1003sin5π6−θ．
在中，，即AMsinπ3=200sinπ3+θ，解得AM=1003sinπ3+θ．
所以水景庭院的面积为S△MAN=12AM⋅AN⋅sin∠MAN=14×1003sin5π6−θ×1003sinπ3+θ
，
则当，即，∠CAM=π3−π4=π12时，水景庭院的面积最小，最小值为3×1002434+12=300002−3m2．
方法二 设，，则∠NAB=π3−θ ，
在中，，即AMsinπ3=200sin2π3−θ，解得AM=1003sin2π3−θ．
在中，，即ANsinπ6=2003sinπ2+θ，解得．
所以水景庭院的面积为S△MAN=12AM⋅AN⋅sin∠MAN=14×1003sin2π3−θ×1003csθ
=3×1002432csθ+12sinθcsθ=3×100223cs2θ+2sinθcsθ=3×10023(1+cs2θ)+sin2θ=3×10022sin2θ+π3+3，
则当，即时，水景庭院的面积最小，最小值为3×10022+3=300002−3m2．
19. 如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q．
（1）求证：直线为平面与平面的交线；
（2）在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹）
【答案】（1）证明见解析
（2）面积为，周长为．
【解析】
【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上即可；
（2）连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，，得到四边形即为所求截面，再求面积即可．
【小问1详解】
证明：平面平面，
由于，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面，
所以，即点Q在直线上；
【小问2详解】
解：如图1，连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，．
抹去，得四边形，即为所求截面，如图2．
易知四边形为等腰梯形，在正方体中，
，，，
所以等腰梯形的高为3252−32−32222=924，
所以梯形的面积为S=12322+32×924=818，
梯形的周长为
．