新乡市2025-2026学年高三下学期一模考试数学试题（含答案解析）

这是一份新乡市2025-2026学年高三下学期一模考试数学试题（含答案解析），文件包含河北省沧州市八县联考2026届高三下学期3月阶段检测日语试卷含答案docx、河北省沧州市八县联考2026届高三下学期3月阶段检测日语试卷听力mp3等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知的部分图象如图所示，则的表达式是（ ）
A．B．
C．D．
2．向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，，若，则( )
A．2020B．4038C．4039D．4040
4．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）∪（1，e）B．
C．D．（0，1）
5．已知函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．若复数是纯虚数，则( )
A．3B．5C．D．
7．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线：（）与抛物线：交于（坐标原点），两点，直线：与抛物线交于，两点.若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
9．，则与位置关系是 ( )
A．平行B．异面
C．相交D．平行或异面或相交
10．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．中，角的对边分别为，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．已知满足，，,则在上的投影为（ ）
A．B．C．D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，，，，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.
14．有以下四个命题：①在中，的充要条件是；②函数在区间上存在零点的充要条件是；③对于函数，若，则必不是奇函数；④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.
15．二项式的展开式中项的系数为_____．
16．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.
（1）当时，求M点的极坐标；
（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.
18．（12分）某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．
（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．
（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；
（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；
（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．
19．（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.
（1）当时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；
（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.
20．（12分）如图，在中，点在上，，，.
（1）求的值；
（2）若，求的长.
21．（12分）已知，均为正数，且.证明：
（1）；
（2）.
22．（10分）已知，，为正数，且，证明：
（1）；
（2）.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式.
【详解】
由图象可得，函数的最小正周期为，.
将点代入函数的解析式得，得，
，，则，，
因此，.
故选：D.
本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2．D
【解析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.
【详解】
故选：D
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.
3．D
【解析】
计算，代入等式，根据化简得到答案.
【详解】
，，，故，
，
故.
故选：.
本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4．D
【解析】
原问题转化为有四个不同的实根，换元处理令t，对g（t）进行零点个数讨论.
【详解】
由题意，a＞2，令t，
则f（x）＝a⇔⇔
⇔⇔．
记g（t）．
当t＜2时，g（t）＝2ln（﹣t）（t）单调递减，且g（﹣2）＝2，
又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．
则⇔，
记h（t）（t＞2且t≠2），
则h′（t）．
令φ（t），则φ′（t）2．
∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．
∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，
则h（t）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．
由，可得，即a＜2．
∴实数a的取值范围是（2，2）．
故选：D．
此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.
5．C
【解析】
结合分段函数的解析式,先求出,进而可求出.
【详解】
由题意可得，则.
故选:C.
本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.
6．C
【解析】
先由已知，求出，进一步可得，再利用复数模的运算即可
【详解】
由z是纯虚数，得且，所以，.
因此，.
故选：C.
本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.
7．B
【解析】
根据空余部分体积相等列出等式即可求解.
【详解】
在图1中，液面以上空余部分的体积为；在图2中，液面以上空余部分的体积为.因为，所以.
故选：B
本题考查圆柱的体积，属于基础题.
8．D
【解析】
设，，联立直线与抛物线方程，消去、列出韦达定理，再由直线与抛物线的交点求出点坐标，最后根据，得到方程，即可求出参数的值；
【详解】
解：设，，由，得，
∵，解得或，∴，.
又由，得，∴或，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴代入解得.
故选：D
本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.
9．D
【解析】
结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交．
选D．
10．A
【解析】
根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率.
【详解】
五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，
所有可能的分组共有种，
甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关，
故甲和乙恰好在同一组的概率是.
故选：A.
本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题.
11．A
【解析】
先求出，由正弦定理求得，然后由面积公式计算．
【详解】
由题意，
．
由得，
．
故选：A．
本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解．
12．A
【解析】
根据向量投影的定义，即可求解.
【详解】
在上的投影为.
故选:A
本题考查向量的投影，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积计算公式可得.
【详解】
解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，
在中，，，，如下图所示，
底面圆的半径为，
则所形成的几何体的表面积为.
故答案为：.
本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.
14．①
【解析】
由三角形的正弦定理和边角关系可判断①；由零点存在定理和二次函数的图象可判断②；
由，结合奇函数的定义，可判断③；由函数图象对称的特点可判断④．
【详解】
解：①在中，，故①正确；
②函数在区间上存在零点，比如在存在零点，
但是，故②错误；
③对于函数，若，满足，
但可能为奇函数，故③错误；
④函数与的图象，可令，即，
即有和的图象关于直线对称，即对称，故④错误．
故答案为：①．
本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于中档题．
15．15
【解析】
由题得，，令，解得，代入可得展开式中含x6项的系数.
【详解】
由题得，，令，解得，
所以二项式的展开式中项的系数为.
故答案为：15
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.
16．
【解析】
由三角函数图象相位变换后表达函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理的表达式，进而由三角函数值域求得最大值.
【详解】
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
则
所以，当函数最大，最大值为
故答案为：
本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）点M的极坐标为或（2）
【解析】
（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.
（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】
（1）设点M在极坐标系中的坐标，
由，得，
∵
∴或，
所以点M的极坐标为或
（2）由题意可设，.
由，得，.
故时，的最大值为.
本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.
18．（1）（ⅰ）（ⅱ）分布表见解析；（2）理由见解析
【解析】
（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率．
（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列．
（2）假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P（X＜4）=P（X=0）+ P（X=2）=，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解．
【详解】
（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，
则家长对小孩的排序是随意猜测的，
先考虑小孩的排序为xA，xB，xC，xD为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，
其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：
2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，
∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．
基小孩对四种食物的排序是其他情况，
只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，
假设小孩的排序xA，xB，xC，xD为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，
再研究yAyByCyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，
∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．
（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，
列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，
X的分布列如下表：
（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．
理由如下：
假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，
P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，
三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，
这个结果发生的可能性很小，
∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（1）；（2）不会超过预算，理由见解析
【解析】
（1）求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为，可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；
（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为元，则的可能取值为900，1500.求得，，求得其分布列和期望，对其求导，研究函数的单调性，可得期望的最大值，从而得出结论.
【详解】
（1）某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,
某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为
某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为.
（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为元，则的可能取值为900，1500.
，
令,则
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减,
的最大值为,
实施此方案，最高费用为（万元），
，故不会超过预算.
本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题.
20． (1) ；（2）.
【解析】
（1）由两角差的正弦公式计算；
（2）由正弦定理求得，再由余弦定理求得．
【详解】
（1）因为，所以.
因为，所以，
所以.
（2）在中，由，得，
在中，由余弦定理可得，
所以.
本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，属于中档题．
21．（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）由进行变换，得到，两边开方并化简，证得不等式成立.
（2）将化为，然后利用基本不等式，证得不等式成立.
【详解】
（1），两边加上得，即，当且仅当时取等号，
∴.
（2）.
当且仅当时取等号.
本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用均值不等式即可求证；
（2）利用，结合，即可证明.
【详解】
（1）∵，同理有，，
∴.
（2）∵，∴.
同理有，.
∴
.
本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及的妙用，属综合性中档题.
X
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
P