2025-2026学年下学期河南新乡高二数学3月阶段测试含答案

这是一份2025-2026学年下学期河南新乡高二数学3月阶段测试含答案，共3页。试卷主要包含了 已知抛物线 C等内容，欢迎下载使用。
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为 120 分钟,满分 150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1. 已知函数 fx=csx ,则 f′π3=
A. 0 B. 32 C. −32 D. 12
2. 若方程 x23+k+y22−k=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为
A. −∞,−3 B. 2,+∞
C. −12,2 D. −3,−12
3. 若直线 2x+ay−1=0 与 x+4y−2=0 的交点在第二象限,则实数 a 的取值范围是
A. (−∞,2] B. −∞,8 C. (−∞,2] D. 2,8
4. 已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车.现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有
A. 20 种 B. 6 种 C. 8 种 D. 5 种
5.有 6 位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排 3 人.若后排每位同学比他正前面的同学身高高, 则不同的站法有
A. 90 种 B. 120 种 C. 270 种 D. 540 种
6. 已知等比数列 an 的首项为 1,前 n 项和为 Sn ,若 S9S3=3 ,则 a7=
A. 1 或 2 B. 1 或 4 C. 2 或 4 D. 4
7. 已知抛物线 C:x2=2pyp>0 的焦点为 F ，圆 M:x2+y+12=16 与抛物线 C 交于 A ， B 两点. 若直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为 −13 ，则 AF=
A. 2 B. 3
C. 72 D. 4
8. 已知三次函数 fx=x3−6x2+9x ,若不等式 fx≤m 的解集为 {x∣x≤m} ,则实数 m 的值为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 函数 fx 的导函数 f′x 的部分图象如图，则下列说法正确的有

A. 函数 fx 在区间 3,5 上单调递减
B. 函数 f′x 在区间 −1,3 上单调递增
C. 函数 fx 在 x=−1 处取得极小值
D. 函数 fx 在 x=3 处取得极大值
10. 已知数列 an 的首项 a1=1 ,且 an+1=3an+2n ,则下列结论正确的有
A. a2=6 B. 数列 an 是递增数列
C. 数列 an+2n 是等比数列 D. an=2n+3n
11. 已知点 F1,F2 分别为双曲线 C:x29−y24=1 的左、右焦点,点 P 为 C 左支上一动点,则下列说法正确的有
A. 双曲线 C 与双曲线 y24−x29=1 有相同的焦点
B. 若 PF1⊥PF2 ,则 △PF1F2 的周长为 217+13
C. 若 2PF1=PF2 ,则 △PF1F2 的面积为 817
D. 若 M 为圆 E:x−132+y2=1 上一点，则 PM−PF1 的最大值为 7
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知直线 ax+y+1=0 与曲线 y=ex+2+x3 在 x=−2 处的切线垂直，则 a= _____.
13.小李从网上选了 4 道不同的 A 型题和 2 道不同的 B 型题,现将这 6 道题组成一份练习题.要求 B 型题不相邻且前 3 道题中至少有 1 道 B 型题,则 6 道题不同的安排顺序有_____种.
14. 已知等差数列 an 的公差 d≠0 ,前 n 项和为 Sn,S7=28 . 若 a3,a4,a8 成等比数列,则 a8= _____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)已知数列 an 满足 a1=1,a2n=2an+1,n∈N∗ .
(1)若数列 an 是等差数列，求数列 an 的通项公式；
(2)设 bn=a2 ， +1 ，证明:数列 bn 是等比数列.
16.(15分)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 2Sn+an=2n+2 .
(1)证明:数列 an−1 是等比数列；
(2)设 bn=nan−1 ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
17. (15分)已知函数 fx=lnx+a+e−bx−aa,b∈R .
(1)当 a=0,b=1 时，判断函数 fx 的单调性.
(2)是否存在 a,b ，使得 x=0 为函数 fx 的极值点? 若存在，求 a,b 满足的条件；若不存在，请说明理由.
18.(17 分)如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为_____，省点 E ， F 分别是棱 BC,CD 上的动点 (包含端点),且 CE=DF .
(1)证明: B1F⊥D1E ；
(2)当三棱锥 C−C1EF 的体积最大时,求平面 C1EF 与平面 CEF 夹角的余弦值；
(3)若直线 DB1 和平面 C1DE 所成角的正弦值为 3311 ，求 BE 的长.

19.(17 分)已知 △ABC 的两个顶点 A ， B 的坐标分别为 −2,0 ， 2,0 ，且边 AC ， BC 所在直线的斜率之积为 −14 .
(1)求顶点 C 的轨迹方程；
(2)已知过点 P1,0 的直线 l 与顶点 C 的轨迹相交于 M ， N 两点.
①若直线 l 的斜率为 12 ，求 △BMN 的面积；
②若直线 AM 与 BN 相交于点 Q ，求 BQ 的取值范围.
2025-2026 学年高二下学期素养测评(一) 数学参考答案及评分意见
1.C 因为 fx=csx ,所以 f′x=−sinx ,所以 f′π3=−sinπ3=−32 . 故选 C.
2.C 因为方程 x23+k+y22−k=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,所以 3+k>0,2−k>0,3+k>2−k, 解得 −123 或 x0 ,所以数列 an 是递增数列,故 B 正确. 故选 BC.
11.BD 双曲线 C:x29−y24=1 中, c=13 ,所以 F1−13,0,F213,0 ;
双曲线 y24−x29=1 中, c′=13 ,所以两焦点的坐标分别为 0,−13,0,13 ,故 A 错误.
由题意知 a=3 ,由双曲线的定义得 PF2−PF1=2a=6 ,设 PF1=t ,则 PF2=6+t . 因为 PF1⊥PF2 , F1F2=213 ,所以 t+62+t2=52 ,解得 t=17−3 (负值舍去),所以 PF1=17−3 ,则 PF2=17+
3,所以 △PF1F2 的周长为 PF1+PF2+F1F2=17−3+17+3+213=217+13 ,故 B 正确. 由双曲线的定义得 PF2−PF1=2a=6 ,又 2PF1=PF2 ,所以 PF1=6,PF2=12 .
由题意知 F1F2=213 ,所以 cs∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1PF2=36+144−522×6×12=89 ,
所以 sin∠F1PF2=179 ,所以 △PF1F2 的面积 S=12PF1PF2sin∠F1PF2=12×6×12×179=417 , 故 C 错误. 圆 E:x−132+y2=1 的圆心为 E13,0 ,半径为 1,点 E 即点 F2 ,所以 PE−PF1=PF2−PF1=6 ,所以 PM−PF1=PM+6−PE≤PE+1+6−PE=7 ,当且仅当 M 为线段 PE 的延长线与圆 E 的交点时,等号成立,所以 PM−PF1 的最大值为 7,故 D 正确. 故选 BD.
12. 113 因为 y=ex+2+x3 ,所以 y′=ex+2+3x2 ,所以 y′x=−2=e0+12=13 ,即曲线 y=ex+2+x3 在 x= -2 处切线的斜率为 13. 因为直线 ax+y+1=0 与切线垂直,所以 a=113 .
13.432 第一步,排 4 道 A 型题.4 道 A 型题全排列,有 A♯=24 种安排顺序.
第二步,排 2 道 B 型题.排好后的 A 型题会产生 5 个空位 (包括两端),将 2 道 B 型题插入空位,有 A52=20 种安排顺序. 由分步乘法计数原理,得 B 型题不相邻的安排顺序有 24×20=480 种.
第三步,排除不符合要求的情况. 前 3 道题都是 A 型题的情况,即 2 道 B 型题在第 4 题和第 6 题的位置: 4 道 A 型题全排列,有 A14=24 种安排顺序; 2 道 B 型题全排列,有 A22=2 种安排顺序.
所以不符合要求的安排顺序有 24×2=48 种. 所以不同的安排顺序有 480−48=432 种.
14.16 由题意得, S7=7a1+a72=7a4=28 ,所以 a4=4 .
因为 a3,a4,a8 成等比数列,所以 a3a8=a42 ,即 a4−da4+4d=a42 ,化简得 d2−3d=0 .
因为 d≠0 ,所以 d=3 ,所以 a8=a4+4d=4+4×3=16 .
15.(1)解: 因为 a2n=2an+1,a1=1 ,所以 a2=2a1+1=3 . 2 分
因为数列 an 是等差数列,所以公差 d=a2−a1=2 . 4 分
所以 an=a1+n−1d=2n−1 . 5 分
因为 a2n=4n−1=22n−1+1=2an+1 ,符合题设条件,
所以数列 an 的通项公式为 an=2n−1 . 7 分
(2)证明:因为 bn=a2n+1 ，
所以 bn+1=a2n+1+1=a2×2n+1=2a2n+1+1=2a2n+1=2bn . 10 分
由(1)知， a1=1 ， a2=3 ，所以 b1=a2+1=4 ，
所以数列 bn 是首项为 4,公比为 2 的等比数列. 13 分
16.(1)证明:因为 2Sn+an=2n+2 ，
所以当 n=1 时, 2S1+a1=2×1+2=4 ,即 3a1=4 ,解得 a1=43 . 2 分
当 n≥2 时,由 2Sn+an=2n+2 ,得 2Sn−1+an−1=2n−1+2 ,
两式相减,得 2Sn−Sn−1+an−an−1=2 ,
化简得 3an=an−1+2 ,所以 an=13an−1+23 ,
所以 an−1=13an−1+23−1=13an−1−13=13an−1−1 . 5 分
因为 a1−1=13 ,所以数列 an−1 是首项和公比均为 13 的等比数列. 7 分
(2)解:由(1)知 an−1=13×13n−1=13n ，
所以 bn=nan−1=n×13n , 9 分
所以 Tn=1×13+2×132+3×133+⋯+n×13n ①,
13Tn=1×132+2×133+3×134+⋯+n×13n+1 ②. 11 分
①-②，得
23Tn=13+132+⋯+13n−n×13n+1=131−13n1−13−n×13n+1=12−12+n313n 13 分
所以 Tn=34−34+n2×13n . 15 分
17. 解: (1) 当 a=0,b=1 时, fx=lnx+e−x,x>0 ,
则 f′x=1x−e−x=ex−xxexx>0 . 2 分
记 gx=ex−x ,则 g′x=ex−1>0 在 0,+∞ 上恒成立,
所以函数 gx 在 0,+∞ 上单调递增. 4 分
所以当 x>0 时, gx>g0=1>0 ,
所以 f′x>0 ,所以函数 fx 在 0,+∞ 上单调递增. 6 分
(2)不存在 a,b ，使得 x=0 为函数 fx 的极值点. 7 分
理由如下:
因为 fx=lnx+a+e−bx−a,x>−a ,
当 a≤0 时, x=0 不在函数 fx 的定义域内,所以 a>0 . 8 分
当 a>0 时,若 x=0 为函数 fx 的极值点,则 f′0=0 .
因为 f′x=1x+a−be−bx ,所以 f′0=1a−b=0 ,即 1a=b ,
所以 f′x=1x+a−be−bx=1x+a−1ae1ax=ae1ax−x−ax+aae1ax . 11 分
令 tx=ae1ax−x−a,x>−a ,则 t′x=e1ax−1 ,
当 x∈−a,0 时, t′x0 ,函数 tx 单调递增.
所以 tx≥t0=ae0−0−a=0 . 13 分
因为 x+a>0,ae1ax>0 ,所以 f′x≥0 恒成立,
所以函数 fx 在 −a,+∞ 上单调递增,故 x=0 不是极值点.
综上,不存在 a,b ,使得 x=0 为函数 fx 的极值点. 15 分
18. 解: 以 D 为坐标原点, DA,DC,DD1 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.

设 CE=DF=t0≤t≤6 ,则 D0,0,0,B6,6,0,C0,6,0,Et,6,0,F0,t,0,D10,0,6,B16,6,6 , C10,6,6 . 3 分
(1)证明: 因为 B1F=−6,t−6,−6,D1E=t,6,−6 ,
所以 B1F⋅D1E=−6t+6t−6+36=0 ,
所以 B1F⊥D1E ,即 B1F⊥D1E . 6 分
(2)解:三棱锥 C−C1EF 的体积即三棱锥 C1−CEF 的体积,此时 00 ,所以 y1+y2=−2mm2+4,y1y2=−3m2+4 . 12 分方法一:因为点 M 在顶点 C 的轨迹上，所以直线 AM ， BM 的斜率之积为 −14 .
因为直线 BM 的斜率 kBM=y1x1−2 ,所以直线 AM 的斜率 kAM=−14y1x1−2=−x1−24y1 ,
所以直线 AM 的方程为 y=−x1−24y1x+2 . ①
因为直线 BN 的斜率 kBN=y2x2−2 ,所以直线 BN 的方程为 y=y2x2−2x−2 . ②
由①②得 −x1−24y1x+2=y2x2−2x−2 ,
整理得 x−2x+2=−x1−2x2−24y1y2=−my1−1my2−14y1y2
=−m2y1y2−my1+y2+14y1y2=−−3m2+2m2+m2+4−12=13 ,
解得 x=4 . 15 分
又因为点 M 和点 N 的纵坐标均不为 0,
所以直线 AM 与 BN 的交点 Q 的纵坐标不为 0,
所以点 Q 的轨迹方程为 x=4y≠0 .
因为 B2,0 ,所以 BQ>2 ,即 BQ 的取值范围是 2,+∞ . 17 分
方法二: 因为直线 AM 的斜率 kAM=y1x1+2 ,所以直线 AM 的方程为 y=y1x1+2x+2 . ①
因为直线 BN 的斜率 kBN=y2x2−2 ,所以直线 BN 的方程为 y=y2x2−2x−2 . ②
由 ①② 得 y1x1+2x+2=y2x2−2x−2 ,
整理得 x−2x+2=y1x2−2y2x1+2=y1my2−1y2my1+3=my1y2−y1my1y2+3y2=my1y2−y1+y2+y2my1y2+3y2=−3mm2+4−−2mm2+4+y2−3mm2+4+3y2= −mm2+4+y2−3mm2+4+3y2=13,
解得 x=4 . 15 分
又因为点 M 和点 N 的纵坐标均不为 0,
所以直线 AM 与 BN 的交点 Q 的纵坐标不为 0,
所以点 Q 的轨迹方程为 x=4y≠0 .
因为 B2,0 ,所以 BQ>2 ,即 BQ 的取值范围是 2,+∞ . 17 分