河南信阳2025-2026学年高二下学期 数学3月阶段检测试题

这是一份河南信阳2025-2026学年高二下学期 数学3月阶段检测试题，共9页。试卷主要包含了 已知圆 C等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 函数 fx=1x 在区间 1,4 上的平均变化率为
A. 34 B. 14 C. −14 D. −34
2. 经过点 2,−1 且与直线 4x+2y−1=0 平行的直线方程为
A. 2x+y−3=0 B. 2x+y+3=0
C. x−2y−4=0 D. x−2y+4=0
3. 已知向量 a=−2,1,0,b=0,2,4 ,则向量 b 在向量 a 上的投影向量的坐标为
A. 45,−25,0 B. −45,25,0
C. −25,15,0 D. 25,15,0
4. 已知圆 C:x2+y2−2x+4y+a=0 与 x 轴相切,则圆 C 被 y 轴截得的弦长为
A. 1 B. 3 C. 2 D. 23
5. 在数列 an 中, a1=1,an+1−an=1nn+1 ,则 a2026=
A. 20252026 B. 20272026 C. 40512026 D. 40532026
6. 已知函数 fx=x+tanx ,则 limf0+2Δx−f0Δx=
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
7. 如图，在斜三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AB=BC=BB1,∠ABB1=120∘,∠ABC= ∠B1BC=90∘ ，则直线 AC1 与直线 B1C 所成角的余弦值为

A. 28 B. 26 C. 24 D. 22
8. 定义两点 Ax1,y1,Bx2,y2 的倒影距离 DAB=x1−y2+x2−y1 . 若 A(x+1 , 1), B2x,3lnx ,则 DAB 的最小值为 时:e4>27
A. 32 B. 2 C. 3 D. 32+3ln2
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,已知 a3=−1,S4=−8 ,则
A. a1=−7 B. an=2n−7 C. Sn=n2−6n D. Snn≥a22
10. 已知函数 fx=−x3+3x−2 ,则
A. fx 有两个极值点
B. 当 00 的焦点为 F ,点 P 在 C 的准线上且位于第二象限内, 线段 PF 与 C 交于点 Q ,且 PQ=2,QF=1 ,则 p= _____.
14. 在直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中, AD⊥AB,AB=3,AD=1,DC=2,∠ADC= 135∘ ,若线段 AD1,BD1,CD1 上分别存在点 E,F,H ,使得四边形 DEFH 为菱形,则直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 的体积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知函数 fx=ax+2x−lnxa∈R ，且 f′1=−2 .
(1)求 a 的值；
(2)求 fx 的单调区间.
16.(15分)
如图，四棱锥 P−ABCD 的底面为平行四边形，平面 PCD⊥ 平面 ABCD,AB=4BC= 4,PC=PD=22,∠DAB=60∘ .

(1)证明: AD⊥PB ；
(2)求平面 PAB 与平面 PCD 的夹角的余弦值.
17. (15 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 经过 A−455,55,B0,−1 两点.
(1)求 C 的标准方程.
(2)设直线 l:y=−x+m ( m 为实数)与 C 相交于不同于 A ， B 的两点 P ， Q .
(i) 若 PQ=825 ，求 △BPQ 的面积;
(ii) 若直线 AP 与 y 轴交于点 E ，直线 AQ 与 y 轴交于点 F ，证明: AE=AF .
18. (17分)
设 Sn 是数列 an 的前 n 项和,已知 a1=2,Sn=an+1+n−2 .
(1)证明: an−1 是等比数列；
(2)若 bn=nan ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn ；
(3)记 cn=lg2an−12 ，若不等式 an+12−a2n+1m≥cn−6 恒成立，求实数 m 的取值范围.
19.(17分)
已知函数 fx=−x+1e−x .
(1)求 fx 的最小值.
(2)设曲线 y=fx 在点 M−1,0 处的切线为 l .
(i) 证明: 曲线 y=fx 不在直线 l 的下方;
(ii) 若 a≠b ,且 fa=fb=c ,证明: a+b>1+2−1ec .
高二内部练
数学(人教版) 参考答案
1. C fx=1x 在区间 1,4 上的平均变化率为 14−14−1=−14 .
故选 C.
2. A 设与直线 4x+2y−1=0 平行的直线方程为 4x+2y+m=0 ,则 4×2+2×−1+m=0 , 解得 m=−6 ,所以所求的直线方程为 4x+2y−6 =0 ,即 2x+y−3=0 .
故选 A.
3. B 向量 b 在向量 a 上的投影向量的坐标为 a⋅ba⋅aa=25−2,1,0=−45,25,0 .
故选 B.
4. D 圆 C:x2+y2−2x+4y+a=0 化为标准方程为 x−12+y+22=5−a ,由题意可知, 5−a=2 ,所以 a=1 ,所以 x−12+y+22= 4,显然圆心 1,−2 到 y 轴的距离为 d=1 ,圆 C 的半径 r=2 ,所以圆 C 被 y 轴截得的弦长为 2r2−d2=23 .
故选 D.
5. C 由 an+1−an=1nn+1=1n−1n+1 ,得 an=an−an−1+an−1−an−2+⋯+a2−a1+ a1=1n−1−1n+1n−2−1n−1+⋯+(1− 12+1=2−1n
所以 a2020=40512026 .
故选 C.
6. D f′x=1+sinxcsx′=1+ cs2x+sin2xcs2x=1+1cs2x ,则 f′0=1+112=2 , 所以 limΔx→0f0+2Δx−f0Δx=
2limf0+2Δx−f02Δx=2f′0=4. 故选 D.
7. A 设 BA=a,BC=b,BB1=c ,且 a= b=c=2 ,所以 a⋅b=b⋅c=0,a⋅c=−2 , AC1=AC+CC1=BC−BA+CC1=b−a+c ,则 AC1=b−a+c2=
b2+a2+c2−2a⋅b−2a⋅c+2b⋅c=4,
又 B1C=BC−BB1=b−c ,则 B1C= b−c2=22
AC1⋅B1C=b−a+c⋅b−c=b2−a⋅b+ a⋅c−c2=−2
所以 cs=AC1⋅B1CAC1⋅B1C= −24×22=28
则直线 AC1 与直线 B1C 所成角的余弦值为 28 .
故选 A.
8. C 由倒影距离可知, DAB=x+1−3lnx+ 2x−1 ,
设 fx=x+1−3lnx ,
则 f′x=1−3x=x−3x ,当 00 ,
所以 fx 在 0,3 上单调递减,在 3,+∞ 上单调递增,则 fx≥f3=4−3ln3>0 (因为 e4>27 ).
则 DAB=x+1−3lnx+2x−1 ,
令 gx=x+1−3lnx+2x−1 ,当 x>12 时, gx=3x−3lnx ,则 g′x=3−3x=3x−3x ,
当 12