2025-2026学年下学期湖北襄阳五中高二数学3月月考含答案

这是一份2025-2026学年下学期湖北襄阳五中高二数学3月月考含答案，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知直线 l1:ax−y+2=0 与 l2:x−ay+q+1=0 平行，则 a= ()
A、 0 B. -1 C. 1 D. ±1
2. 已知数列 an 中， a1=1 ， an+1=−11+an 则 a2025= ( )
A. 1 B. 12 C. -1 D. -2
3. 函数 y=x3−3x 的图象与直线 y=m 恰有两个公共点，则 m= ( )
A、 -1 或 0 B. -1或1 C. -2 或 0 D. -2 或 2
4. 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,若 a4+a5=24.S6=48 ,则数列 1an+1⋅an+2 的前 2024 项和为 ( )
A 5064049 B. 5064051 C. 5074048 D. 464059
5. 学校要求学生从物理、化学、生物、历史、地理、政治这 6 科中选 3 科组合学习, 要求物理历 史两科中必须选且只能选择其中一科，则选科方式共有( )种.
A. 24 B. 20 C. 12 D、 6
6. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左，右焦点分别为 F1,F2 ，点 P 在该椭圆上，若满足 △PF1F2 为直角三角形的点 P 共有 8 个，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A. 22,1 . B. 22,1 C. 0,22 D. 0,22
7. 若函数 fx=ex−ax 恰有两个零点，则实数 a 的取值范围为( )
A. 0,1e B. 0,e C. e,+∞ D. 1,+0
8. 已知 F 是椭圆 C:x24+y23=1 的左焦点,经过坐标原点的直线与 C 交于 P,Q 两点,若 PF=2QF , 则 PQ= ( )
A. 103 B. 2303 C. 2313 D. 823
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题 目要求.
9. 已知 x>y>0 ，则下列不等式正确的有 )
A. ex−ey>x−y B. lnx−lny>x−y C. lnx≥1−1x D. lnx−lnyx−yy+x>2
10. 已知抛物线 y2=2pxp>0 ，直线 x=ty+m 与抛物线交于 A,B 两点， O 为坐标原点，则()
A. 若 m=p2 ,则 y1y2=−p2 B. 若 m=p ，则 x1x2=p24
C. 若 m=2p ，则 OA⊥OB D. 若 m=4p ，则 △OAB 面积最小值为 82p2
11. 已知函数 fx=lnxx ，则下列结论正确的是( )
A. f20,b>0 的左、右焦点分别为 F1−c,0,F2c,0 ,点 P 在 C 上, OP=c ，直线 PQ 是 ∠F1PF2 的内角平分线， OQlIPF2 ， OQ=2b . 则双曲线 C 的离心率 e= _____.
四、解答题:(本大题共 5 大题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (本题 13 分) 已知函数 fx=2lnx+a2x2a∈R ，在 x=1 处的切线与直线 x+y+1=0 垂直. (1)求 a 的值；(2)求函数 fx 的最大值.
16. (本题 15 分) 如图所示，在长方体 ABCD−EFGH 中， AB=22,AD=4,AE=3 ，点 M 在棱 EF 上，点 P 在棱 FG 上，且 EM=GP=1 .
(1)证明: MP⊥BH ；
(2)在棱 FP 上是否存在点 Q ，使得 Q 到平面 BMP 的距离与 Q 到平面 BFM 的距离相等？若存在， 求出 FQ 的长; 若不存在,说明理由.

17. (本题 15 分) 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=3 ,且 2Sii=n+1an . (1)求 an 的通项公式.
(2) 设 bn=an3⋅4n ，记数列 bn 的前 n 项和为 Bn .
i) 求 Bn ; (ii) 若 4−9Bn≤9tbn 对任意 n∈N∗ 恒成立,求 t 的取值范围.
18. (本题 17 分) 在平面直角坐标系中,已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1,a>b>0 的左、右顶点分别为 A−3,0,B3,0,F 为椭圆 C 的右焦点， P 为椭圆 C 上不同于 A 、 B 的动点，若 kPA⋅kPB=−59 ，直线 PF 与椭圆 C 的另一个交点为 Q .
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)求 △PAQ 面积的最大值:
(3)若 P 在 x 轴的上方，设直线 AP 、 BQ 的斜率分别为 k1 、 k2 ，是否存在常数 λ ，使得 k1+λk2=0 成立? 若存在,请求出 λ 的值; 若不存在,请说明理由.

19. (本题 17 分) 函数 fx=ax−xex,a∈R,c 为自然对数的底数.
(1)当 a=2 时，求曲线 y=fx 在点 0,f0 处的切线方程；
(2)当 a>0 时，证明函数 fx 存在唯一的极值点:
(3)若存在 a∈R+ ，使得 fx≤a+b 对任意 x∈R 成立，求实数 b 的取值范围.
襄阳五中 2024-2027 届高二下学期 3 月月考 (数学) 参考答案
12. 64 13.−2,−1 14.52
15.(1) f′x=2x+ax ，依题意 f′1=2+a=1 ，所以 a=−1 ； .5 分
(2) fx 定义域为 0,+∞, fx=2lnx−12x2,f′x=2x−x=2−x2x ，由 f′x=0 . 得到: x=2 当 x 变化时, fx 和 f′x 的变化情况如下表:
所以 fx 在 x=2 时取得最大值,即最大值为 f2=ln2−1 . .13 分
16.(1)证明:连接 FH 交 MP 于点 O ， MH=FP=3 ， FM=HP=222+12=3 ，故 FMHP 为菱形，故 MP⊥FH ，由长方体得 BF⊥ 平面 EFGH ，由 MP⊂ 平面 EFGH ，知 MP⊥BF ； 由 BF∩FH=F,BF⊂ 平面 BFH,FH⊂ 平面 BFH ，知 MP⊥ 平面 BFH ，由 BH⊂ 平面 BFH ， 知 MP⊥BH . .6 分
(2)假设存在点 Q 满足条件，记 Q 到平面 BMP 的距离 =Q 到平面 BFM 的距离 =d ， 则 VC−BFMVC−BMH′=13S△BFM′⋅d13S△BMP′⋅d=S△BFM′S△BMP ，知 S△BFM=12BF⋅FM=323 ， BM=MP=BP=23 ，故 SΔDMP=34⋅232=33 ; 则 VQ−BFMVQ−BMP=S△DFMS△BMP=12 ,另一方面 VQ−BFMVQ−BMP=VB−FMQVB−PMQ=FQQP=12 ,故 FQ=13FP=1 ,综上所述,存在符合题意的 Q 点, FQ=1 . .15分
17. ( 1 )由 2Sn=n+1an 可得， an+1=Sn+1−Sn=n+2an+12−n+1an2⇒2an+1=n+2an+1−n+1an ⇒n+1an=nan+1⇒an+1n+1=ann ,所以数列 ann 是常数列,又因为 a1=3 ,所以 ann=a11=3⇒an=3n ,即 an 的通项公式为 an=3n ; .4 分
(2)(i)由 bn=an3⋅4n=n4n ，则 Bn=14+242+343+⋯+n4n ，可得: 4Bn=1+24+342+⋯+n4n−1 ， 所以 3Bn=1+14+142+⋯+14n−1n4n=1−14n1−14n4n=43−4314nn4n=434−34n3×4n , 即 Bn=49−4+3n9×4n ; .10 分
(ii) 由 4−9Bn≤9tbn 可得: 4−949−4+3n9×4n≤9t×n4n⇒4+3n≤9nt⇒t≥4+3n9n , 由 4−9Bn≤9tbn 对任意 n∈N∗ 恒成立,则 t≥4+3n9nmax ,令 y=4+3n9n=13+49n ,则函数 y=13+49n 在 [1,+∞) 上单调递减，即当 n=1 时， ymax=13+49=79 ，所以 t≥79 ，即 t 的取值范围是 79,+∞ . .15 分
18.(1)设 Px1,y1 ，则 x129+y12b2=1 ，化简可得 y12=b21−x129 ， kPA⋅kPB=y1x1+3×y1x1−3=y12x12−9=b21−x129x12−9=−59 ,则椭圆的标准方程为 x29+y25=1;…5 分
(2)由(1)可知椭圆的右焦点坐标为 2,0 ，设直线 PF 方程为 x=my+2,Px1,y1 ， Qx2,y2 ， 将直线和椭圆方程联立 x=my+2x29+y25=1 ，代入可得 5m2+9y2+20my−25=0 ，可知 y1+y2=−20m5m2+9,y1⋅y2=−255m2+9 ,则 y1−y2=y1+y22−4y1⋅y2=30m2+15m2+9 , 而 PQ=x1−x22+y1−y22=1+m2y1−y2 ,代入可得 PQ=1+m2×301+m25m2+9=301+m25m2+9 ,点 A−3,0 到直线 PF:x=my+2 距离 d=−3−0−21+m2=51+m2 ,所以 S△PPQ=12×d×PQ=12×51+m2×301+m25m2+9=751+m25m2+9 , 令 t=1+m2≥1 则 m2=t2−1 ，所以 S△APQ=75t5t2+4=755t+4t ，函数 ft=5t+4t 在 [1,+∞) 上单调递增,所以 t=1 即 m=0 时, ftmin=9 , 此时 S△APQ 的面积最大,最大值为 253 ; .11 分
(3)假设存在 λ 使得 k1+λk2=0,k1=y1x1+3,k2=y2x2−3 ，因为 Px1,y1 ， Qx2,y2 在直线 x=my+2 上, x1=my1+2,x2=my2+2 ,故
k1+λk2=y1x1+3+λy2x2−3=y1my1+2+3+λy2my2+2−3=0 ,化简可得 m1+λy1y2+5λy2−y1=0 ,
由(2)知 y1+y2=−20m5m2+9,y1⋅y2=−255m2+9 ，则 y1=−20m5m2+9−y2 ，所以可得
−25m1+λ5m2+9+5λy2+20m5m2+9+y2=0 ,整理化简可得 −25m1+λ+20m5m2+9+5λ+1y2=0 ,
要对任意的 m 都成立,需系数满足 −251+λ+20=05λ+1=0 ,解得 λ=−15 ,
故存在 λ=−15 ,使得 k1+λk2=0 . 17 分
19. ( 1 )当 a=2 时， fx=2x−xex ，则 f′x=2−ex−xex ，所以 f′0=2−1−0=1 ，又 f0=0−0=0 ,所以曲线 y=fx 在点 0,f0 处的切线方程为 y−0=1×x−0 ,
20. 即 y=x : 4 分
(2) f′x=a−ex−xex=a−x+1ex ,当 a>0 时,令 f′x=0 ,则 a=x+1ex , 令 gx=x+1ex ，所以 g′x=x+2ex ，
当 x∈−∞,−2 时, g′x0,gx 单调递增；
当 x→−∞ 时, gx0 ,
画出 gx 大致图象如下:

所以当 a>0 时, y=a 与 y=gx 仅有一个交点,令 gm=a ,则 m>−1 ,
且 f′m=a−gm=0 ,
当 x∈−∞,m 时, a>gx ,则 f′x>0,fx 单调递增;
当 x∈m,+∞ 时, a−1 ,令 ℎx=x2−x−1ex,x>−1 ,
若存在 a ,使得 fx≤a+b 对任意 x∈R 成立,等价于存在 x∈−1,+∞ ,
使得 ℎx≤b ,即 b≥ℎxmin,ℎ′x=x2+x−2ex=x−1x+2ex,x>−1 ,
当 x∈−1,1 时, ℎ′x0,ℎx 单调递增,所以 ℎxmin=ℎ1=−e ,故 b≥−e ,
所以实数 b 的取值范围 [−e,+∞) .17 分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
D
A
C
A
C
C
ACD
ACD
ABD
x
0,2
2
2,+∞
f′x
+
0
-
fx
单调递增
ln2−1
单调递减