【备考2026】福建省中考仿真数学试卷1（含解析）

这是一份【备考2026】福建省中考仿真数学试卷1（含解析），文件包含加伏特舞曲pptx、《加伏特舞曲》教案doc、加伏特舞曲单簧管独奏mp3、加伏特舞曲钢琴独奏mp3、旋律线1mp4、旋律线mp4、旋律线2mp4、法国介绍视频mp4等8份课件配套教学资源，其中PPT共15页， 欢迎下载使用。
1．（4分）下列实数中，最小的数是（ ）
A． QUOTE B．0C．﹣2D．101
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）若式子 QUOTE 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x≤﹣2D．x＜﹣2
4．（4分）杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．如图是常见的一种秤砣，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）不等式6﹣3x≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（4分）作为中国四大名绣之一，粤绣工艺自成一家，不仅讲究刺绣的针法技术，更加注重绣品的艺术效果，讲求“功”为“艺”用．下面有三张正面分别印有粤绣图案（分别记作A、B、C）、形状、大小、质地都相同的正方形卡片，将它们背面朝上，随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回，再随机抽取一张，则两次抽到的卡片中至少有一张“A”被抽中的概率为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
7．（4分）如图，已知∠DAC＝∠C，则与∠B相等的角是（ ）
A．∠BACB．∠CC．∠DACD．∠EAD
8．（4分）某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（30+x）（100﹣20x）＝2800
B．（30+x）（100﹣4x）＝2800
C．（30﹣x）（100+20x）＝2800
D．（30﹣x）（100+4x）＝2800
9．（4分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的度数为（ ）
A．32°B．52°C．62°D．72°
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx+3+c＝0的根是（ ）
A．1或7B． QUOTE 或 QUOTE C． QUOTE 或 QUOTE D． QUOTE 或 QUOTE
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是今有两数若其意义相反．则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作﹣5步，那么向南走7步记作 ．
12．（4分）直角三角形斜边上的中线与高线长分别是5和4，这个三角形的面积是 ．
13．（4分）若点A（﹣2，y1）和点B（﹣1，y2）都在反比例函数y QUOTE 的图象上，则y1 y2．（用“＜”“＞”或“＝”填空）
14．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2．将一块边长足够长的三角板的60°角顶点与点A重合，三角板的外侧边沿分别与BC，CD交于点E，F，则四边形AECF的面积是 ．
15．（4分）若x1，x2，x3，x4的平均数为4，x5，x6，x7，…，x10的平均数为6，则x1，x2，…，x10的平均数为 ．
16．（4分）在一次女子800m测试中，小静和小茜同时起跑，同时到达终点；所跑的路程s（m）与所用的时间t（s）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 s．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算： QUOTE ．
18．（8分）如图在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．若∠A＝105°，∠C＝50°，求∠DEC的度数．
19．（8分）先化简，再求值： QUOTE ，其中a QUOTE ．
20．（8分）甲、乙两人是某高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）
其中，甲、乙成绩的平均数分别是 QUOTE 85， QUOTE ；方差分别是 QUOTE 58.4， QUOTE m．
信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分），
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：
（1）计算m的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；
（2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；
（3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？
21．（8分）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB．
（1）求证：△CEF是等边三角形；
（2）试判断CF与DE的关系，并证明你的结论．
22．（10分）（1）如图1，已知钝角△ABC．作底边BC上的高．（尺规作图，不写作法，保留痕迹）
（2）如图2，方格中每个小方格的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．已知线段AB，试在网格图中AB上方找一格点C，使得 QUOTE ；
23．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）二次函数的最值．
24．（12分）阅读下列解题过程，再解题．
已知m＜n，试比较﹣2023m+1与﹣2023n+1的大小．
解：因为m＜n，①
所以﹣2023m＜﹣2023n，②
故﹣2023m+1＜﹣2023n+1．③
问：（1）上述解题过程中，从第 步开始出现错误；
（2）错误的原因是什么？
（3）请写出正确的解题过程．
25．（14分）在⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为点H，分别连接CA、OA、DA．
（1）如图1，求证：∠CAB＝∠OAD；
（2）如图2，延长AO交CD于点F，连接OB交CD于点E，求证：CF＝DE；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠DEB＝∠BAO+∠ACD，AO+AD QUOTE CD，DH＝3，求⊙O半径的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．【考点】实数大小比较；算术平方根
【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
解：∵﹣2＜0 QUOTE 101，
∴最小的数是：﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
2．【考点】中心对称图形；轴对称图形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
解：A、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、该图既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、该图既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3．【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
解：∵式子 QUOTE 在实数范围内有意义，
∴2x+4≥0，
∴x≥﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件就是被开方数大于等于0．
4．【考点】简单组合体的三视图
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解：从正面看，可得它的主视图是．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
5．【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
解：6﹣3x≥0，
移项得：﹣3x≥﹣6，
解得：x≤2，
所以原不等式的解集：x≤2．
把解集在数轴上表示如下：
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，掌握“画图时，小于向左拐，大于向右拐”是解本题的关键．
6．【考点】列表法与树状图法
【分析】画树状图展示所有9种等可能得结果，再找出两张卡片中至少有一张“A”的结果数，然后根据概率公式计算．
解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两张卡片中至少有一张“A”的结果数为5种，
所以两次抽到的卡片中至少有一张“A”被抽中的概率 QUOTE ．
故选：A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
7．【考点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【分析】根据平行线的判定与性质判断求解即可．
解：∵∠DAC＝∠C，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD，
故A、B、C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
8．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设每件衬衫售价降低x元，根据店里每星期衬衫的利润要达到3125元，列方程即可得到结论．
解：设每件衬衫售价降低x元，
根据题意得，（30﹣x）（100+4x）＝2800，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键．
9．【考点】切线的性质；圆周角定理
【分析】根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，再根据四边形内角和等于360°计算即可．
解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB＝128°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣128°＝52°，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10．【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据表格，可知对称轴为x＝4，根据抛物线经过点 QUOTE ，得到抛物线也经过点 QUOTE ，将方程ax2+bx+3+c＝0变形为ax2+bx+c＝﹣3，根据一元二次方程和二次函数的关系即可求出方程的根．
解：∵抛物线经过点（1，0.28）和（7，0.28），
∴抛物线对称轴为x QUOTE 4，
∵抛物线经过点 QUOTE ，
∴抛物线也经过点 QUOTE ，
方程ax2+bx+3+c＝0变形为ax2+bx+c＝﹣3，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3的根可以理解为二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣3时所对应的自变量的取值，
所以方程ax2+bx+3+c＝0的根为 QUOTE ．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，能根据对称性写出另一个根是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【考点】正数和负数
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为负，则另一个就用正表示．
解：“正”和“负”相对，所以，如果向北走5步记作﹣5步，那么向南走7步记作+7步．
故答案为：+7步．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
12．【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】先求出直角三角形的斜边长，再利用三角形的面积计算公式求解即可．
解：∵直角三角形斜边上的中线与高线长分别是5和4，
∴直角三角形的斜边长为10，
∴这个三角形的面积 QUOTE 10×4＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”定理，所以熟练掌握该定理并准确运用到问题中求解是关键．
13．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】把x＝﹣2和x＝﹣1分别代入反比例函数 QUOTE 中计算y的值，即可作出判断．
解：令x＝﹣2，
则 QUOTE ，
令x＝﹣1，
则 QUOTE ，
∵﹣1＞﹣2，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，计算出y的值是解题的关键．
14．【考点】菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【分析】连接AC，过点A作AH⊥CD于点H，证明△ABC和△ADC均为等边三角形，进而得AB＝AC＝AD，∠ACE＝∠D＝∠CAD＝60°，再根据∠EAF＝∠CAD＝60°得∠EAC＝∠FAD，由此可依据“ASA”判定△EAC和△FAD全等得CE＝CF，S△EAC＝S△FAD，继而得S四边形AECF＝S△ACD，在Rt△ADH中，根据∠DAH＝90°﹣∠D＝30°得DH QUOTE AD＝1，再由勾股定理得AH QUOTE ，然后根据三角形面积公式得S△ACD QUOTE CD•AH QUOTE ，据此即可得出四边形AECF的面积．
解：连接AC，过点A作AH⊥CD于点H，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，且AB＝2，
∴BC＝CD＝DA＝AB＝2，AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC和△ADC均为等边三角形，
∴AB＝AC＝AD，∠ACE＝∠D＝∠CAD＝60°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠EAF＝∠CAD＝60°，
∴∠EAF﹣∠CAE＝∠CAD﹣∠CAE
即∠EAC＝∠FAD，
在△EAC和△FAD中，
QUOTE ，
∴△EAC≌△FAD（ASA），
∴CE＝CF，S△EAC＝S△FAD，
∴S四边形AECF＝S△EAC+S△ACF＝S△FAD+S△ACF＝S△ACD，
∵AH⊥CD于点H，
∴△ADH都是直角三角形，
在Rt△ADH中，∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，
∴DH QUOTE AD＝1，
由勾股定理得：AH QUOTE ，
∴S△ACD QUOTE CD•AH QUOTE ，
∴S四边形AECF＝S△ACD QUOTE ．
故答案为： QUOTE ．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积的面积公式是解决问题的关键．
15．【考点】加权平均数
【分析】由题意易得x1+x2+x3+x4＝16，x5+x6+x7+⋅⋅⋅+x10＝36，然后问题可求解．
解：由题意得：x1+x2+x3+x4＝16，x5+x6+x7+⋅⋅⋅+x10＝36，
∴ QUOTE 5.2．
故答案为：5.2．
【点评】本题主要考查平均数，熟练掌握求解一组数据的平均数是解题的关键．
16．【考点】一次函数的应用
【分析】根据速度＝路程÷时间求出小茜的速度，再由路程＝速度×时间求出其所跑的路程s与所用的时间t之间的函数；利用待定系数法求出当60≤t≤150时，小静所跑的路程s与所用的时间t之间的函数，二者联立建立方程组并求解，x的值即为答案．
解：小茜的速度是 QUOTE 4（米/秒），
∴小茜所跑的路程s与所用的时间t之间的函数为s＝4t（0≤t≤200）．
当60≤t≤150时，设小静所跑的路程s与所用的时间t之间的函数为s＝kt+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（60，360）和（150，540）分别代入s＝kt+b，
得 QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∴当60≤t≤150时，小静所跑的路程s与所用的时间t之间的函数为s＝2t+240．
当她们第一次相遇时，得 QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∴她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒．
故答案为：120．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．【考点】实数的运算；零指数幂
【分析】先计算立方根、算术平方根及绝对值与零次幂的运算，然后计算加减即可．
解：原式 QUOTE
＝4．
【点评】本题主要考查立方根、算术平方根及绝对值与零次幂的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
18．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【分析】根据BE平分∠ABC可得∠ABE＝∠DBE，然后根据题目中的条件即可证明△ABE和△DBE全等，根据全等三角形的性质及三角形外角的性质即可求出∠DEC的度数即可．
解：在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△ABE和△DBE中，
QUOTE ，
∴△ABE≌△DBE（SAS），
∵∠A＝105°，∠C＝50°，
∴∠BDE＝∠A＝105°，
∴∠DEC＝∠EDB﹣∠C＝105°﹣50°＝55°．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
19．【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
解： QUOTE
＝[8+（a+3）（a﹣3）]• QUOTE
＝（a2﹣1）• QUOTE
＝（a+1）（a﹣1）• QUOTE
QUOTE ，
当a QUOTE 时，
原式 QUOTE
＝3﹣2 QUOTE ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握将分式的分子和分母分解因式是关键．
20．【考点】方差；加权平均数
【分析】（1）根据方差公式可得a的值，再根据平均数和方差的意义解答即可；
（2）根据两人10次成绩判断即可；
（3）根据两人10次成绩判断即可．
解：（1）由题意得：m QUOTE [2×（82﹣85）2+2×（83﹣85）2+（84﹣85）2+（85﹣85）2+2×（86﹣85）2+（87﹣85）2+（92﹣85）2]＝8.2，
两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，所以乙的成绩更稳定；
（2）选甲更合适，理由如下：
因为当地近五年高中数学联赛获奖分数的平均数为： QUOTE 89.6（分），在两个人的10次成绩中，甲有4次超过89.6，乙只有1次超过89.6，所以甲获奖的概率更高，所以选甲更合适；
（3）选甲更合适，理由如下：
因为在两个10次成绩中，甲有4次达到90分或90以上，乙只有1次达到90分或90以上，所以选甲更合适．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握这些知识点是关键．
21．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，得∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．由EF∥AB，结合平行线的性质，得∠EFC＝60°，∠FEC＝60°，不难证明△CEF是等边三角形；
（2）由△ABC与△CDE都是等边三角形，得∠ECF＝∠CED＝60°，结合平行线的判定方法，得出CF和DE的位置关系；根据EF∥AB，易得∠FEC＝∠A＝60°．结合全等三角形判定的ASA定理，证明△CEF≌△ECD，得出CF与ED的数量关系，不难解答本题．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60°．
∵AB∥EF，
∴∠FEC＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝60°，
∴∠ACB＝∠EFC＝∠FEC，
∴△CEF是等边三角形．
（2）解：CF＝DE，CF∥DE．
理由：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴∠ECF＝∠CED＝60°，
∴DE∥CF．
∵AB∥EF，
∴∠FEC＝∠A＝60°．
∵∠A＝∠DCE＝60°，
∴∠FEC＝∠DCE．
∵∠ECF＝∠CED，CE＝EC，
∴△CEF≌△ECD（AAS），
∴CF＝ED．
综上所述，CF＝DE，CF∥DE．
【点评】本题侧重考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、掌握其性质定理是解决此题的关键．
22．【考点】作图—复杂作图；勾股定理
【分析】（1）首先延长BC，过点A以适当长度画弧，交BC的延长线于两点，然后分别以这两点以适当长度画弧，两弧交于一点，连接点A和两弧的交点并延长，交BC的延长线于点D，连接AD，即可得到底边BC上的高；
（2）根据网格的特点求解即可．
解：（1）如图，AD为所作．
（2）如图所示，
∵ QUOTE ， QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴点C即为所求；
【点评】此题考查了尺规作三角形的高，勾股定理和网格问题，解题的关键是熟练掌握网格的特点．
23．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值
【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点可得对称轴为 QUOTE ，由此可求出b的值，再把点代入解析即可求解；
（2）运用配方法将抛物线化成顶点式即可求解．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为 QUOTE ，
解得，b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+c，
∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+c＝0，
解得，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）由（1）可得，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴当x＝1时，抛物线有最小值，最小值为﹣4．
【点评】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，配方法求顶点式的知识是解题的关键．
24．【考点】不等式的性质
【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，分别解答（1）（2）（3）即可．
解：（1）上述解题过程中，从第②步开始出现错误，
故答案为：②；
（2）原因是：错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
（3）正确的解题过程如下：
因为m＜n，
所以﹣2023m＞﹣2023n，
故﹣2023m+1＞﹣2023n+1．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
25．【考点】圆的综合题
【分析】（1）延长AO，交⊙O于点G，连接DG，利用圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余的性质解答即可；
（2）过点O作OM⊥CD于点M，利用垂径定理得到CM＝DM，利用全等三角形的判定与性质得到MF＝ME，再利用等式的性质解答即可；
（3）过点O作OM⊥CD于点M，过点O作OP⊥AB于点P，延长PO交DA的延长线于点N，连接BD，利用等腰三角形的判定定理得到DE＝DB，利用等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和等腰三角形的判定定理得到AN＝AO，利用勾股定理得到MN QUOTE 2DM，利用相似三角形的判定与性质求得DH，AH，利用直角三角形的边角关系定理得到tan∠OBA QUOTE ，设EH＝k，则BH＝2k，利用勾股定理列出方程求得k值，则AB可求，利用垂径定理得到PA，再利用相似三角形的判定与性质求得PO，最后利用勾股定理解答即可得出结论．
（1）证明：延长AO，交⊙O于点G，连接DG，如图，
则AG为⊙O的直径，
∴∠ADG＝90°，
∴∠OAD＝90°﹣∠G，
∵∠C＝∠G，
∴∠OAD＝90°﹣∠C．
∵AB⊥CD，
∴∠CAB＝90°﹣∠C，
∴∠CAB＝∠OAD；
（2）证明：过点O作OM⊥CD于点M，如图，
∵OM⊥CD，
∴CM＝DM QUOTE ．
∵OM⊥CD，AB⊥CD，
∴OM∥AB，
∴∠FOM＝∠OAB，∠EOM＝∠OBA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠FOM＝∠EOM．
在△FOM和△EOM中，
QUOTE ，
∴△FOM≌△EOM（ASA），
∴MF＝ME，
∴CM﹣FM＝DM﹣EM，
∴CF＝DE；
（3）解：过点O作OM⊥CD于点M，过点O作OP⊥AB于点P，延长PO交DA的延长线于点N，连接BD，如图，
由（2）知：△FOM≌△EOM，
∴OF＝OE，
∴∠OFE＝∠OEF，
∵∠OEF＝∠DEB＝∠BAO+∠ACD，
∴∠OFE＝∠DEB＝∠BAO+∠ACD，
∵∠DBE＝∠ABO+∠DBA，∠ABO＝∠BAO，∠DBA＝∠ACD，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB．
由（1）知：∠CAB＝∠OAD，
∴∠CAF＝∠DAB，
∵OM⊥CD，AB⊥CD，
∴MN∥AB，
∴∠N＝∠BAD，∠AON＝∠BAO，
∴∠N＝∠CAF．
∵∠OEF＝∠DEB＝∠BAO+∠ACD，∠OFE＝∠ACD+∠CAF，
∴∠CAF＝∠BAO，
∴∠BAO＝∠DAB，
∴∠N＝∠AON，
∴AN＝AO，
∵AO+AD QUOTE CD，
∴AN+AD＝ND QUOTE CD，
∵MD QUOTE ，
∴ND QUOTE MD，
∴MN QUOTE 2DM，
∵MN∥AB，
∴△DAH∽△DNM，
∴ QUOTE ，
∵DH＝3，
∴AH＝6，
∵∠BAO＝∠BAD＝∠OBA，
∴tan∠OBA＝tan∠BAD QUOTE ，
∴tan∠OBA QUOTE ，
设EH＝k，则BH＝2k，
∴DB＝DE＝3+k．
∵DH2+BH2＝BD2，
∴32+（2k）2＝（k+3）2，
∴k＝0（不合题意，舍去）或k＝2，
∴EH＝2，BH＝4，
∴AB＝AH+BH＝10，
∵OP⊥AB，
∴AP＝BP QUOTE 5，
∵OP⊥AB，AB⊥CD，
∴OP∥EH，
∴△BEH∽△BOP，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴OP QUOTE ，
∴OA QUOTE ．
∴⊙O半径的长 QUOTE ．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键
题号
一
二
三
总分
得分
x
…
1
QUOTE
7
…
y
…
0.28
﹣3
0.28
…
日期队员
2月12日
2月17日
3月4日
3月13日
3月22日
4月8日
4月16日
4月27日
5月7日
5月19日
甲
75
80
73
81
90
83
85
92
95
96
乙
82
83
86
82
92
83
87
86
84
85
年份
2020
2021
2022
2023
2024
获奖分数线
89
90
90
89
90