【备考2026】湖北省中考仿真数学试卷1（含解析）

这是一份【备考2026】湖北省中考仿真数学试卷1（含解析），共16页。
1．（3分）下列所画数轴正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．（2a3）2＝4a6
C．a6÷a2＝a3D．（a3）2＝a5
4．（3分）下列关于x的方程中两实数根之和为1的是（ ）
A．x2+1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2+x+1＝0D．x2﹣x﹣1＝0
5．（3分）如图，在数学活动课上，小明同学将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放置在矩形的两条对边上，则∠1，∠2的数量关系为（ ）
A．∠2﹣∠1＝30°B．∠1+∠2＝90°C．∠2＝2∠1D．∠1+∠2＝60°
6．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意一个三角形的内角和等于180°
B．投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次
C．射击运动员射击一次，命中10环
D．宁波今年冬天会下雪
7．（3分）如图，▱OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（5，0），（3，8），则点B的坐标为（ ）
A．（5，8）B．（6，6）C．（5，6）D．（8，8）
8．（3分）小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分）与录字速度x（字/分）成反比例函数的图象，该图象经过点（150，10）．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．这篇文章一共1500字
B．当小丽的录字速度为75字/分时，录入时间为20分
C．小丽原计划每分录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分完成任务
D．小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字
9．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 QUOTE AB的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE；分别以点B和点C为圆心，大于 QUOTE BC的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG．直线DE与FG相交于点O，若以点O为圆心，OA为半径作圆，则下列说法错误的是（ ）
A．点B在⊙O上B．⊙O是△ABC上的外接圆
C．AB是⊙O的弦D．AC是⊙O的切线
10．（3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为5，点E和点F分别在边BC与CD上，将AB、AD分别沿AE，AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D．5
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图，矩形ABCD的面积为30cm2，对角线交于点O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B⋯以此类推，则平行四边形AO2024C2025B的面积为 cm2．
12．（3分）已知一次函数y＝kx+10，当﹣1≤x≤2时，函数y的最小值是5，则k＝ ．
13．（3分）某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道，8条赛道的编号分别为1到8．若琪琪第一个抽签，她随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是 ．
14．（3分）计算 QUOTE 的结果是 ．
15．（3分）如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），三角形APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：
（1）点P在AB上运动的时间为 s；
（2）当t为 s时，三角形APD的面积为10cm2．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）计算： QUOTE ．
17．（6分）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，该剧中“油纸伞”是最重要的道具．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，为什么？
18．（6分）如图，无人机爱好者小明在家附近放无人机，当无人机飞行到小明头顶一定高度D点时，无人机测得楼房BC顶端点C处的俯角为30°，已知小明A和小区楼房BC之间的距离为36米，楼房BC的高度为12 QUOTE 米．求此时无人机离地面的高度．
19．（8分）大连森林动物园作为大连市民的休闲好去处，森林防火至关重要，为了解学生对森林防火知识的掌握情况，某学校在七、八年级各随机抽取40名学生进行知识测试，测试成绩（分数）x均为整数，划分为A、B、C、D、E五个等级，分别是A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60，并给出了部分信息：
①八年级B等级中由高到低的14个分数分别为：
89，88，88，88，87，87，86，86，85，83，82，81，80，80．
②两个年级学生测试成绩统计图：
③两个年级学生森林防火知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
（1）直接写出a，m的值；
（2）你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的学生对森林防火知识掌握较好？请说明理由；
（3）若分数不低于80分表示该生对森林防火知识掌握较好，且该校八年级有1800人，七年级有1060人，请估计该校七、八年级所有学生中，对森林防火知识掌握较好的学生人数．
20．（8分）将连续的奇数1，3，5，7，…，按照一定的规律排成如图，图中的T字框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．
（1）数表中从小到大排列的第9个数是17，第40个数是 ，第100个数是 ，第n个数是 ；
（2）数71排在数表中的第 行，从左往右数第 个数；
（3）设T字框内最小的数为a，请用含a的代数式表示这4个数的和；
（4）若将T字框上下左右移动，框住的四个数的和能分别等于366、2022吗？如果能，请指出框中数字的最大数；如果不能，请说明理由．
21．（8分）如图，△ABD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接OD，过点B作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，过点B作BC⊥OD于点F，交⊙O于点C，连接CD、BD．
（1）求证：∠E＝∠ADC；
（2）若BC＝12，2AD＝3BD，求⊙O的半径．
22．（10分）学校图书馆购买一批图书，发现有两种套装书特别适合学生阅读．一套是革命家故事丛书共18册，一套是青少年科普读物丛书共20册．若购买3套革命家故事丛书，2套青少年科普读物丛书共需1290元，若购买2套革命家故事丛书，3套青少年科普读物丛书则需要1260元；
（1）若学校预算500元，能否各购买一套丛书？
（2）学校各购买一套丛书以后，发现这两套丛书特别受学生欢迎，打算再次购买．其中革命家故事丛书打算购买其中学生比较喜爱的单册（每册价格相同），并再购买一套青少年科普读物丛书．此时，书店有促销活动，青少年科普读物丛书全套购买打九折，同时，革命家故事丛书单册购买价格每册书将上浮20%，若学校预算300元，最多可购买几册革命家故事书？
23．（11分）完成下列各题：
（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．请直接写出BD和CE的数量关系．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出 QUOTE 的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 QUOTE ．连接BD，CE．
①求 QUOTE 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
24．（12分）如图1，抛物线y＝a（x QUOTE ）（x﹣4）（a≠0）分别与x轴，y轴交于A，B（0，﹣4）两点，M为OA的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求△BCD的面积；
（3）点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF．
①当AE QUOTE 时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA＝90°，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【考点】数轴
【分析】根据数轴的三要素进行判定即可．
解：A、缺少单位长度，不符合题意；
B、缺少正方向，不符合题意；
C、三要素具备，符合题意；
D、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答此题的关键．
2．【考点】简单组合体的三视图
【分析】根据解答组合体的三视图进行判断即可．
解：再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置只有在图中的阴影部分，
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法和形状是解决问题的关键．
3．【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方逐项计算即可．
解：A、a2•a4＝a6，故该项不正确，不符合题意；
B、（2a3）2＝4a6，故该项正确，符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故该项不正确，不符合题意；
D、（a3）2＝a6，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．【考点】根与系数的关系
【分析】需要结合一元二次方程根的判别式和韦达定理来分析，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有实数根的条件：根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，由韦达定理，根之和为 QUOTE ，然后逐一分析选项即可．
解：选项A：x2+1﹣0，
Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，无实数根，排除；
选项B：x2﹣x+1＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，无实数根，排除；
选项C：x2+x+1＝0，
Δ＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，无实数根，排除；
选项D：x2﹣x﹣1＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5≥0，有实数根，
由韦达定理得，根之和为 QUOTE 1，符合条件．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式（判实根）和韦达定理（根与系数关系），解题关键是先靠根的判别式确认方程有实根，再用韦达定理算根之和．
5．【考点】平行线的性质
【分析】根据三角形外角的性质可得∠3＝30°+∠1，然后利用平行线的性质可得答案．
解：如图，
∵矩形的对边平行，
∴∠2＝∠3，
∵∠3＝30°+∠1，
∴∠2＝30°+∠1，
∴∠2﹣∠1＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
6．【考点】随机事件
【分析】根据生活中的常识进行解题即可．
解：A、任意的一个三角形的内角和等于180°，故是必然事件；
B、投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次是随机事件；
C、射击运动员射击一次，命中10环是随机事件；
D、宁波冬天下雪是随机事件．
故选：A．
【点评】本题考查随机事件，掌握生活的常识是解题的关键．
7．【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质
【分析】根据题意平行四边形的性质可知OA＝BC＝5，B点纵坐标与C点纵坐标相同，进而得出B点坐标．
解：∵▱OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（5，0），（3，8），
∴OA＝BC＝5，B点纵坐标与C点纵坐标相同，
∴顶点B的坐标是（8，8），
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及坐标与图形性质，正确得出点B的横坐标是解题关键．
8．【考点】反比例函数的应用
【分析】A．根据字数＝录入速度×录入时间计算即可；
B．根据录入时间＝字数÷录入速度计算即可；
C．求出小丽实际录入速度，再分别计算原计划和实际完成任务所用的时间并求差即可；
D．根据录入速度＝字数÷录入时间计算即可．
解：这篇文章一共150×10＝1500（字），
∴A正确，不符合题意；
1500÷75＝20（分），
∴当小丽的录字速度为75字/分时，录入时间为20分，
∴B正确，不符合题意；
小丽原计划1500÷125＝12（分）完成任务，
小丽实际录入速度为125×（1+20%）＝150（字/分），则实际1500÷150＝10（分）完成任务，
∴小丽会比原计划提前12﹣10＝2（分）完成任务，
∴C正确，不符合题意；
19：20到19：35经历的时间为15分，
当录入时间为15分时，则录入速度为1500÷15＝100（字/分），
∴小丽每分钟至少应录入100字，
∴D不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握字数、录入时间和录入速度之间的关系是解题的关键．
9．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；点与圆的位置关系；三角形的外接圆与外心；切线的判定
【分析】先根据作图得出A、B、C在以O为圆心，OA为半径的圆上，从而判断求解．
解：连接AO，BO，CO，如图：
由题意得：DE垂直平分AB，FG垂直平分BC，
∴OA＝OB＝OC，
∴点A、B、C在以O为圆心，OA为半径的圆上，
∴点B在⊙O上，AB，AC 为⊙O的弦，⊙O是△ABC的外接圆，
故选：D．
【点评】本题考查了基本作图，掌握外接圆的性质是解题的关键．
10．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质
【分析】由图形折叠可得BE＝EG，DF＝FG，因为正方形ABCD的边长为5，BE＝1，求出EG，EC，在直角△ECF中，运用勾股定理求出GF，再求出EF．
解：由图形折叠可得BE＝EG，DF＝FG，
∵正方形ABCD的边长为5，BE＝1，
∴EG＝1，EC＝5﹣1＝4，CF＝5﹣FG，
在直角△ECF中，
∴EF2＝EC2+CF2，
∴（1+GF）2＝42+（5﹣GF）2，
解得GF QUOTE ，
∴EF＝1 QUOTE ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．【考点】矩形的性质；规律型：图形的变化类；三角形的面积；平行四边形的性质
【分析】由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形AOC1B的面积 QUOTE ，平行四边形AO1C2B的面积 QUOTE ，……，根据规律代入计算，即可得出结论．
解：设矩形ABCD的面积为S，
∵以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，
∴平行四边形AOC1B的面积 QUOTE 矩形ABCD的面积 QUOTE ，
平行四边形AO1C2B的面积 QUOTE 平行四边形AOC1B的面积 QUOTE ，
……，
∴平行四边形AOn﹣1∁nB的面积 QUOTE ，
∴平行四边形AOnCn+1B的面积 QUOTE ，
∵矩形ABCD的面积为30cm2，
∴平行四边形AO2024C2025B的面积为 QUOTE （cm2），
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题考查了矩形的性质，掌握平行四边形的性质以及面积的计算是解题的关键．
12．【考点】一次函数的性质
【分析】分情况讨论：①k＞0时，当x＝﹣1时，函数y取得最小值5，②k＜0时，当x＝2时，函数y取得最小值5，分别求解即可．
解：①k＞0时，
当x＝﹣1时，函数y取得最小值5，
∴﹣k+10＝5，
解得k＝5；
②k＜0时，
当x＝2时，函数y取得最小值5，
∴2k+10＝5，
解得k QUOTE ，
综上所述，k＝5或 QUOTE ，
故答案为：5或 QUOTE ．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键，注意分情况讨论．
13．【考点】概率公式
【分析】直接由概率公式求解即可．
解：∵8条赛道的编号分别为1到8，
∴若琪琪第一个抽签，她随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是 QUOTE ，
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
14．【考点】分式的加减法
【分析】先把两个分式通分，然后按照同分母分式相减进行计算即可．
解：原式 QUOTE
QUOTE
QUOTE ，
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分．
15．【考点】动点问题的函数图象
【分析】（1）观察图①、图②，可知当t＝6时，点P与点B重合，所以点P在AB上运动的时间为6s，于是得到问题的答案；
（2）设点P运动的速度为x cm/s，则6x＝6，求得x＝1，所以点P运动的速度为1cm/s，再分三种情况讨论，一是点P在AB边上运动，求得S＝3t，当S＝10时，则3t＝10，求得t QUOTE ；二是点P在BC边上运动，则三角形APD的面积为＝18cm2，此时不存在三角形APD的面积为10cm2的情况；三是点P在CD边上运动，求得S＝54﹣3t，当S＝10时，则54﹣3t＝10，求得t QUOTE ，于是得到问题的答案．
解：（1）由图①、图②可知，当t＝6时，点P与点B重合，
∴点P在AB上运动的时间为6s，
故答案为：6．
（2）设点P运动的速度为x cm/s，则6x＝6，
∴x＝1，
∴点P运动的速度为1cm/s，
当点P在AB边上运动时，则AP＝tcm，
∴S QUOTE 6t＝3t，
当三角形APD的面积为10cm2时，则S＝10，
∴3t＝10，
解得t QUOTE ；
当点P在BC边上运动时，三角形APD的面积为 QUOTE 6×6＝18（cm2），
∴此时不存在三角形APD的面积为10cm2的情况；
当点P在CD边上运动时，则S QUOTE 6（18﹣t）＝54﹣3t，
当S＝10时，则54﹣3t＝10，
解得t QUOTE ，
综上所述，当t为 QUOTE s或 QUOTE s时，三角形APD的面积为10cm2，
故答案为： QUOTE 或 QUOTE ．
【点评】此题重点考查正方形的性质、三角形的面积公式、动点问题的函数图象等知识，正确地求出点P的运动速度是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．【考点】二次根式的混合运算
【分析】先算乘除，再合并同类二次根式即可．
解： QUOTE
＝3 QUOTE 2 QUOTE
＝2 QUOTE ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
17．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【分析】利用SSS证明△ABD≌△ACD即可求解．
解：AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，
理由：在△ABD和△ACD中，
QUOTE ，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
即AP平分∠BAC．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
18．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】过C作CE⊥AD于E，根据矩形的性质得到AE＝BC＝12 QUOTE 米．CE＝AB＝36米，根据三角函数的定义即可得到结论．
解：过C作CE⊥AD于E，
则∠ABC＝∠BAE＝AEC＝DEC＝90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴AE＝BC＝12 QUOTE 米．CE＝AB＝36米，
∵∠DCE＝30°，
∴DE＝CE•tan30°＝36 QUOTE 12 QUOTE （米），
∴AD＝AE+DE＝24 QUOTE 米，
答：此时无人机离地面的高度为24 QUOTE 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数；用样本估计总体；扇形统计图
【分析】（1）按照中位数的定义求出a，再根据五个等级所占百分比之和为1求出m；
（2）根据表格中的数据，可以得到七年级和八年级哪个年级学生掌握森林防火知识更好，并说明理由；
（3）根据统计图中的数据和表格中的数据，可以计算出七年级和八年级森林防火知识掌握优秀的学生共有多少人．
解：（1）八年级40个数据中从小到大排列的第20个数，第21个数分别是81、82，∴中位数a QUOTE 81.5，
∵m%＝1﹣25%﹣30%﹣5%﹣10%＝30%，
∴m＝30；
（2）七年级的学生掌握森林防火知识更好，
理由：七年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，
故七年级的学生掌握森林防火知识更好；
（3）1800 QUOTE 1060×（25%+30%）＝1618（人），
答：估计该校七、八年级所有学生中，对森林防火知识掌握较好的学生人数1618人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．【考点】一元一次方程的应用；列代数式；规律型：数字的变化类
【分析】（1）根据表中数据规律即可得出答案；
（2）求出数71是第36个数，因为每排有5个数，则可得出答案；
（3）设T字框内最小的数为a，其他同一行的两个数依次为a+2，a+4，处于T字框内中间且靠下方的数为a+12，可得出T字框内四个数的和；
（4）由条件得4a+18＝366，解得a＝87，，最大的数为99，则2n﹣1＝99，排在数表的第10行的最右边，它不能处于T字框内中间且靠下方的数，故框住的四个数的和不能等于366；再令4a+18＝2022，解得a即可．
解：（1）∵连续的奇数1、3、5、7、…，
∴第40个数是40×2﹣1＝79，第100个数是100×2﹣1＝199，第n个数是2n﹣1；
故答案为：79，199，2n﹣1；
（2）∵2n﹣1＝71，
∴n＝36，
∴数71在第36个数，
∵每排有5个数，
∴数71排在数表的第8行，从左往右的第1个数，
故答案为：8，1；
（3）由题意，T字框内最小的数为a，其他同一行的两个数依次为a+2，a+4，处于T字框内中间且靠下方的数为a+12，
∴T框内四个数的和为：a+a+2+a+4+a+10+2＝4a+18；
（4）由题意，令框住的四个数的和为366，则有：
4a+18＝366，
解得a＝87，
此时最大的数为：87+12＝99，
∵由于数2n﹣1＝99，
解得n＝10，
∴99是排在数表的第10行的最右边，
∴它不能处于T字框内中间且靠下方的数，所以不符合题意；
令框住的四个数的和为2022，则有：
4a+18＝2022，
解得a＝501，
此时最大的数为：501+12＝513．
∴框住的四个数的不能等于366，能等于2022，此时最大的数为513．
【点评】本题考查了数字变化类、一元一次方程的应用、列代数式，解决本题的关键是寻找题目中隐含的规律．
21．【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【分析】（1）根据切线的性质得出∠EBO＝90°，结合OD⊥BC，根据余角性质得出∠ABC＝∠E，然后结合同弧所对的圆周角相等，即可证明∠E＝∠ADC；
（2）根据垂径定理得出FC＝BF＝6， QUOTE ，在Rt△ABD中，根据2AD＝3BD，得出 QUOTE ，根据 QUOTE ，求出DF＝4，设⊙O的半径为x，则OB＝OD＝x，OF＝x﹣4．根据勾股定理得出x2＝62+（x﹣4）2，求出结果即可．
（1）证明：由条件可知∠E+∠FBE＝90°
∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBO＝90°，即∠ABC+∠FBE＝90°，
∴∠ABC＝∠E，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠E＝∠ADC．
（2）解：由条件可知 QUOTE ， QUOTE ，
∴∠BCD＝∠CBD，
∵∠A＝∠BCD，
∴∠CBD＝∠A，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
在Rt△ABD中，2AD＝3BD，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴DF＝4，
设⊙O的半径为x，则OB＝OD＝x，OF＝x﹣4．
在Rt△OBF中，x2＝62+（x﹣4）2，
解得： QUOTE ，
∴⊙O的半径为 QUOTE ．
【点评】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，三角函数定义．
22．【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用
【分析】（1）设购买一套革命家故事丛书需要x元，购买一套青少年科普读物丛书需要y元，根据若购买3套革命家故事丛书，2套青少年科普读物丛书共需1290元，若购买2套革命家故事丛书，3套青少年科普读物丛书则需要1260元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设可购买m册革命家故事书，学校预算300元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：（1）设购买一套革命家故事丛书需要x元，购买一套青少年科普读物丛书需要y元，
由题意得： QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴x+y＝270+240＝510，
∵500＜510，
∴若学校预算500元，不能各购买一套丛书，
答：若学校预算500元，不能各购买一套丛书；
（2）设可购买m册革命家故事书，
由题意得： QUOTE （1+20%）m+240×0.9≤300，
解得：m≤4 QUOTE ，
∵m为正整数，
∴m的最大值为4，
答：若学校预算300元，最多可购买4册革命家故事书．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．【考点】相似形综合题
【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明△ADB≌△AEC，即可得到：BD＝CE；
（2）根据等腰直角三角形的性质，直角边与斜边的关系，证明△ADB∽△AEC，再根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）①根据 QUOTE ，∠ABC＝∠ADE＝90°，可证△ABC∽△ADE，可得∠DAB＝∠EAC，在Rt△ABC中，求出AC＝5x，在Rt△ADE中，求出AE＝5a，再证△DAB∽△EAC，根据相似三角形的性质即可求解；
②由①得△DAB∽△EAC，由此可证△BGF∽△CGA，得∠BFG＝∠GAC，在Rt△ABC中，根据正弦的计算方法即可求解．
解：（1）BD＝CE，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴ QUOTE ，
∵∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC＝45°，
∴∠DAB＝∠EAC，且 QUOTE ，
∴△ADB∽△AEC，
∴ QUOTE ；
（3）①∵ QUOTE ，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC，即∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
设AB＝3x，BC＝4x，
在Rt△ABC中， QUOTE ，
同理，在Rt△ADE中，设AD＝3a，DE＝4a，则AE＝5a，
∴∠DAB＝∠EAC， QUOTE ， QUOTE ，即 QUOTE ，
∴△DAB∽△EAC，
∴ QUOTE ；
②由①得：△DAB∽△EAC，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BGF＝∠AGC，
∴△BGF∽△CGA，
∴∠BFG＝∠GAC，
∴sin∠BFC＝sin∠BAC，
在Rt△ABC中， QUOTE ，
∴ QUOTE ．
【点评】本题考查了三角形的全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出点A的坐标，进而得到点M的坐标，求出直线AB的解析式，进而求出点C的坐标，求出点D的坐标，根据△BCD的面积 QUOTE •OM进行求解即可；
（3）①根据要求作图即可，连接BF，作FQ⊥OB于点Q，证明△AOE≌△BOF，得到∠OBF＝∠OAE＝45°，BF＝AE QUOTE ，进而得到△FQB为等腰直角三角形，求出F点坐标，将F点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点F是否在抛物线上即可；
②连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，PF，MF，作MH⊥BG于点H，斜边上的中线得到MP QUOTE 2，根据PF≥MF﹣PM，得到当M，P，F三点共线时，PF最小，同①可知，∠OBF＝∠OAE＝45°，得到点F在射线BG上运动，进而得到当MF⊥BG时，即F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH﹣PM，易得△OBG为等腰直角三角形，求出OG的长，进而求出MG的长，易得△MHG为等腰直角三角形，求出MH的长，根据PF最小为MH﹣PM，计算即可．
解：（1）把B（0，﹣4），代入y＝a（ QUOTE ）（x﹣4）（a≠0），
得﹣10a＝﹣4，
解得： QUOTE ，
∴y QUOTE ；
（2）当y QUOTE 0时，
则 QUOTE ，x2＝4，
∴A（4，0），
∵M是OA的中点，
∴M（2，0），
∴OM＝2，
∵B（0，﹣4），
∴设直线AB的解析式为：y＝kx﹣4，把A（4，0），代入，
得k＝1，
∴y＝x﹣4，
∵点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，
∴C（2，﹣2），D（2， QUOTE ），
∴ QUOTE ，
∴△BCD的面积 QUOTE ；
（3）①由题意，作图如下：
连接BF，作FQ⊥OB于点Q，
由（2）可知：OA＝OB＝4，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°
∵将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF，
∴OE＝OF，∠EOF＝90°＝∠BOA，
∴∠AOE＝∠BOF，
又∵OA＝OB，OE＝OF，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠OBF＝∠OAE＝45°， QUOTE ，
∵FQ⊥OB，
∴△FQB为等腰直角三角形，
∴ QUOTE ，
∴OQ＝OB﹣BQ＝3，
∴F（﹣1，﹣3），
对于 QUOTE ，
当x＝﹣1时， QUOTE ，
∴点F在抛物线上；
②连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，MF，作MH⊥BG于点H，如图，
∵∠OPA＝90°，M为OA的中点，
∴ QUOTE ，
∵PF≥MF﹣PM，
∴当M，P，F三点共线时，PF最小，
同①可得，∠OBF＝∠OAE＝45°，
∴点F在射线BG上运动，
∴当MF⊥BG时，即F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH﹣PM，
∵∠OBG＝45°，
∴△OBG为等腰直角三角形，
∴OG＝OB＝4，∠BGO＝45°
∴MG＝OG+OM＝6，△MHG为等腰直角三角形，
∴ QUOTE ，
∴PF的最小值为 QUOTE ．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键
题号
一
二
三
总分
得分
平均数
中位数
众数
八年级
83
a
75
七年级
83
85
76