【备考2026】福建省中考模拟数学试卷1（含解析）

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1．（4分）下列实数中，最小的数是（ ）
A．0B．﹣3C． QUOTE D．1
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）使 QUOTE 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x≥5C．x≠5D．全体实数
4．（4分）杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．如图是常见的一种秤砣，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）不等式x+5＞﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（4分）某数学兴趣小组准备了4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的概率是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
7．（4分）如图，点E在AC上，EF交AB于点G，∠C＝30°，则下列说法不正确的是（ ）
A．若∠2＝80°，∠1＝50°，则AB∥CD
B．若AB∥CD，∠2＝60°，则∠1＝∠C
C．若∠2＝90°， QUOTE ，则AB∥CD
D．若AB∥CD，∠1＝40°，则∠2＝60°
8．（4分）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．（x+3）+10x＝x2B．10（x﹣3）+x＝x2
C．10（x﹣3）﹣x＝x2D．10+（x﹣3）＝x2
9．（4分）如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BDC上的点，若∠BAC＝80°，则∠BDC＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
10．（4分）已知：点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）都在抛物线y＝﹣（x+1）（x+3）+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果温度上升3℃记作+3℃，那么温度下降4℃记作 ．
12．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则斜边AB上的中线的长是 ．
13．（4分）已知点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2）在反比例函数 QUOTE （m是常数）的图象上，则y1、y2的大小关系为 ．
14．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2．将一块边长足够长的三角板的60°角顶点与点A重合，三角板的外侧边沿分别与BC，CD交于点E，F，则四边形AECF的面积是 ．
15．（4分）学校举行篮球技能大赛，评委认为控球技能比投球技能更重要．某选手控球技能得80分，投球技能得90分，现分别赋予控球技能6的权，投球技能4的权．则该选手的综合成绩为 分．
16．（4分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，之后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图．则在第 分钟时，容器内的水量是15L．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：（4﹣π）0 QUOTE ．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠ADC＝180°，CE⊥AB于点E．
（1）求证：CB＝CD．
（2）若AE＝3，求AB+AD的值．
19．（8分）先化简，再求值： QUOTE ．其中x＝5．
20．（8分）甲、乙两人是某高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）
其中，甲、乙成绩的平均数分别是 QUOTE 85， QUOTE ；方差分别是 QUOTE 58.4， QUOTE m．
信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分），
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：
（1）计算m的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；
（2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；
（3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点C在AB的延长线上，BC＝BA，BD⊥AC，CD＝a，BC＝b，且实数a，b满足a2﹣4ab+4b2＝0．
（1）如图1，求证：△ACD为等边三角形；
（2）如图2，连接OC，OD，若OD平分∠COA，求∠COA的度数．（提示：在x轴正半轴上取点F，使OF＝OC，连接DF）
22．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请用尺规在AB上作点O，使点O到边BC的距离OD的长等于它到点A的距离（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若BC＝8，AB＝10，试求OA的长．
23．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）二次函数的最值．
24．（12分）（1）找出几个使不等式2x﹣2.5≤15成立的x的值；
（2）x＝3，6，9能使不等式2x﹣2.5≤15成立吗？
（3）写出不等式2x﹣2.5≤15的解集．
25．（14分）在⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为点H，分别连接CA、OA、DA．
（1）如图1，求证：∠CAB＝∠OAD；
（2）如图2，延长AO交CD于点F，连接OB交CD于点E，求证：CF＝DE；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠DEB＝∠BAO+∠ACD，AO+AD QUOTE CD，DH＝3，求⊙O半径的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．【考点】实数大小比较；算术平方根
【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
解：∵﹣3＜0＜1 QUOTE ，
∴最小的数是：﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．【考点】中心对称图形；轴对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故此选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故此选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形；故此选项不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．【考点】二次根式有意义的条件
【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可．
解：使 QUOTE 有意义的x的取值范围是x﹣5≥0，即x≥5，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
4．【考点】简单组合体的三视图
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解：从正面看，可得它的主视图是．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
5．【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【分析】利用数轴表示不等式的解集，先通过移项求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可，注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示．
解：x+5＞﹣1，
解得：x＞﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查解一元一次不等式，正确进行计算是解题关键．
6．【考点】列表法与树状图法；轴对称图形
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：把4张卡片分别记为：A、B、C、D，轴对称图形为A、C，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，这两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的结果有8种，
则这两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的概率为 QUOTE ，
故选：D．
【点评】此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．【考点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【分析】延长FE交CD于点H，A选项：根据三角形外角的性质得出∠EHC＝50°，于是得到∠EHC＝∠1，从而证得AB∥CD；B选项：根据平行线的性质得出∠EHC＝∠1，根据三角形外角的性质求出∠EHC的度数，即可得出∠1的度数，从而判断即可；C选项：先求出∠A的度数，再根据平行线的判定定理得出AB∥CD即可；D选项：根据平行线的性质得出∠EHC＝∠1＝40°，根据三角形外角的性质求出∠2的度数进行判断即可．
解：如图，延长FE交CD于点H，
A、∵∠2是△CEH的一个外角，
∴∠2＝∠C+∠EHC，
∵∠2＝80°，∠C＝30°，
∴∠EHC＝50°，
∵∠1＝50°，
∴∠EHC＝∠1，
∴AB∥CD，
正确，故此选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴∠EHC＝∠1，
∵∠2是△CEH的一个外角，
∴∠2＝∠C+∠EHC，
∵∠2＝60°，∠C＝30°，
∴∠EHC＝30°，
∴∠1＝30°，
∴∠1＝∠C，
正确，故此选项不符合题意；
C、∵∠2＝90°， QUOTE ，
∴sinA QUOTE ，
∴∠A＝30°，
∵∠C＝30°，
∴∠A＝∠C，
∴AB∥CD，
正确，故此选项不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠EHC＝∠1＝40°，
∵∠2是△CEH的一个外角，
∴∠2＝∠C+∠EHC，
∵∠C＝30°，
∴∠2＝30°+40°＝70°，
不正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
8．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设周瑜逝世年龄的个位数字为x，根据题意列出方程即可．
解：设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则该数的十位数字为（x﹣3），
根据题意得，10（x﹣3）+x＝x2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
9．【考点】切线的性质；圆周角定理
【分析】连接OB，OC，由切线的性质得AB⊥OB于点B，AC⊥OC于点C，则∠OBA＝∠OCA＝90°，而∠BAC＝80°，由∠BOC+90°+90°+80°＝360°，求得∠BOC＝100°，则∠BDC QUOTE ∠BOC＝50°，于是得到问题的答案．
解：连接OB，OC，
∵AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，
∴AB⊥OB于点B，AC⊥OC于点C，
∴∠OBA＝∠OCA＝90°，
∵∠BOC+∠OBA+∠OCA+∠BAC＝360°，且∠BAC＝80°，
∴∠BOC+90°+90°+80°＝360°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠BDC QUOTE ∠BOC＝50°，
故选：C．
【点评】此题重点考查切线的性质、四边形的内角和等于360°、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
10．【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】分别把各点坐标代入，用m表示y1，y2，y3，再比较大小即可．
解：分别把点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）代入y＝﹣（x+1）（x+3）+m，得
y1＝﹣（﹣1+1）（﹣1+3）+m＝m，
y2＝﹣（﹣2+1）（﹣2+3）+m＝1+m，
y3＝﹣（﹣4+1）（﹣4+3）+m＝﹣3+m，
∴﹣3+m＜m＜1+m，
即：y3＜y1＜y2，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的增减性，在函数值表示比较简单的情况下，可以通过将自变量的值代入解析式表示函数值，从而比较函数值的大小．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【考点】正数和负数
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
解：“正”和“负”相对，所以，如果温度上升3℃记作+3℃，那么温度下降4℃记作﹣4℃．
故答案为：﹣4℃．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
12．【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】根据勾股定理求得斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求得斜边上的高的长．
解：∵Rt△ABC中，直角边AC＝5，BC＝12，
∴AB QUOTE 13，
∴斜边AB上的中线长是 QUOTE AB QUOTE 13＝6.5
故答案为：6.5．
【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线，关键是相关知识的熟练掌握．
13．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据反比例函数的增减性进行判断即可．
解：由条件可知反比例函数 QUOTE 的图象在第一、三象限，且第三象限内y随x的增大而减小，
∵A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），﹣1＞﹣3，
∴y1＜y2，
故答案为：y1＜y2．
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14．【考点】菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【分析】连接AC，过点A作AH⊥CD于点H，证明△ABC和△ADC均为等边三角形，进而得AB＝AC＝AD，∠ACE＝∠D＝∠CAD＝60°，再根据∠EAF＝∠CAD＝60°得∠EAC＝∠FAD，由此可依据“ASA”判定△EAC和△FAD全等得CE＝CF，S△EAC＝S△FAD，继而得S四边形AECF＝S△ACD，在Rt△ADH中，根据∠DAH＝90°﹣∠D＝30°得DH QUOTE AD＝1，再由勾股定理得AH QUOTE ，然后根据三角形面积公式得S△ACD QUOTE CD•AH QUOTE ，据此即可得出四边形AECF的面积．
解：连接AC，过点A作AH⊥CD于点H，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，且AB＝2，
∴BC＝CD＝DA＝AB＝2，AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC和△ADC均为等边三角形，
∴AB＝AC＝AD，∠ACE＝∠D＝∠CAD＝60°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠EAF＝∠CAD＝60°，
∴∠EAF﹣∠CAE＝∠CAD﹣∠CAE
即∠EAC＝∠FAD，
在△EAC和△FAD中，
QUOTE ，
∴△EAC≌△FAD（ASA），
∴CE＝CF，S△EAC＝S△FAD，
∴S四边形AECF＝S△EAC+S△ACF＝S△FAD+S△ACF＝S△ACD，
∵AH⊥CD于点H，
∴△ADH都是直角三角形，
在Rt△ADH中，∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，
∴DH QUOTE AD＝1，
由勾股定理得：AH QUOTE ，
∴S△ACD QUOTE CD•AH QUOTE ，
∴S四边形AECF＝S△ACD QUOTE ．
故答案为： QUOTE ．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积的面积公式是解决问题的关键．
15．【考点】加权平均数
【分析】根据题意，运用加权平均数的计算方法计算即可．
解：根据加权平均数公式，得： QUOTE （分），
∴该选手的综合成绩为84分，
故答案为：84．
【点评】本题考查了加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
16．【考点】一次函数的应用
【分析】根据图象分别求出进水速度和出水速度，从而分别写出当0≤x≤4、12≤x≤20时y与x之间的函数关系式，当y＝15时，求出对应x的值即可．
解：进水速度为20÷4＝5（L/min），
出水速度为5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）＝3.75（L/min），
当0≤x≤4时，y与x之间的函数关系式为y＝5x，
当y＝15时，得5x＝15，
解得x＝3，
30÷3.75＝8（min），
12+8＝20（min），
当12≤x≤20时，y与x之间的函数关系式为y＝30﹣3.75（x﹣12）＝﹣3.75x+75，
当y＝15时，得﹣3.75x+75＝15，
解得x＝16，
∴在第3分钟或第16分钟时，容器内的水量是15L．
故答案为：3或16．
【点评】本题考查一次函数的应用，根据图象求出函数关系式是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．【考点】实数的运算；零指数幂
【分析】根据零指数幂，算术平方根的定义和二次根式的性质进行计算即可．
解： QUOTE
QUOTE
＝﹣5+3
＝﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
18．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【分析】（1）过点C作CF⊥AD于点F，易得∠CEB＝∠CEA＝90°，根据角平分线的性质可得CE＝CF，再利用AAS证明△BCE≌△DCF，利用全等三角形的性质即可证得CB＝CD；
（2）证明△BCE≌△DCF（AAS），推出AE＝AF，通过线段的和差与等量代换即可证得结论．
（1）证明：如图，过点C作CF⊥AD于点F，
∴∠CFD＝90°．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝∠CEA＝90°，
∴∠CFD＝∠CEB．
又∵AC平分∠BAD，
∴CE＝CF．
∵∠FDC+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠FDC＝∠B，
在△BCE和△DCF中，
QUOTE ，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴BC＝CD；
（2）解：由（1）知：△BCE≌△DCF，
∴CE＝CF．
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴∠CEA＝∠CFA＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC．
在△ACE和△ACF中，
QUOTE ，
∴△ACE≌△ACF（AAS），
∴AE＝AF，
∴AB+AD＝AE+BE+AD＝AE+DF+AD＝AE+AF＝2AE，
∵AE＝3，
∴AB+AD＝6．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
19．【考点】分式的化简求值
【分析】先算分式的除法，再算减法，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
解： QUOTE
QUOTE 1
QUOTE • QUOTE 1
QUOTE 1
QUOTE
QUOTE ，
当x＝5时，原式 QUOTE 1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．【考点】方差；加权平均数
【分析】（1）根据方差公式可得a的值，再根据平均数和方差的意义解答即可；
（2）根据两人10次成绩判断即可；
（3）根据两人10次成绩判断即可．
解：（1）由题意得：m QUOTE [2×（82﹣85）2+2×（83﹣85）2+（84﹣85）2+（85﹣85）2+2×（86﹣85）2+（87﹣85）2+（92﹣85）2]＝8.2，
两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，所以乙的成绩更稳定；
（2）选甲更合适，理由如下：
因为当地近五年高中数学联赛获奖分数的平均数为： QUOTE 89.6（分），在两个人的10次成绩中，甲有4次超过89.6，乙只有1次超过89.6，所以甲获奖的概率更高，所以选甲更合适；
（3）选甲更合适，理由如下：
因为在两个10次成绩中，甲有4次达到90分或90以上，乙只有1次达到90分或90以上，所以选甲更合适．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握这些知识点是关键．
21．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【分析】（1）由题意得a＝2b，得出CD＝AC，CD＝AD，可证得结论；
（2）在x轴上取点G，使OG＝OD，连接DF，证明△OCD≌△OFD（SAS），由全等三角形的性质得出∠OCD＝∠OFD，CD＝DF，由四边形内角和证得∠AOC+∠ADC＝180°，则可求出答案．
（1）证明：∵a2﹣4ab+4b2＝0，
∴（a﹣2b）2＝0，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b，
∴CD＝2BC，
∵BC＝BA，BD⊥AC，
∴CD＝AC，CD＝AD，
∴CD＝AC＝AD，
∴△ACD为等边三角形；
（2）解：在x轴取点F，使OC＝OF，连接DF，
∵OD平分∠COA，
∴∠COD＝∠DOF，
∵OD＝OD，
∴△OCD≌△OFD（SAS），
∴∠OCD＝∠OFD，CD＝DF，
∵△ACD为等边三角形，
∴CD＝DA，
∴DA＝DF，
∴∠OFD＝∠DAF，
∴∠OCD＝∠DAF，
∵∠OAD+∠DAF＝180°，
∴∠OCD+∠OAD＝180°，
∵∠OCD+∠OAD+∠AOC+∠ADC＝360°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠AOC＝120°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．【考点】作图—复杂作图；勾股定理
【分析】（1）先作∠BAC的平分线交BC于D点，再作AD的垂直平分线EF交AB于点O，则点O满足条件；
（2）设OA＝R，则OD＝R，先勾股定理计算出AC＝6，再证明OD∥AC，则可判断△BDO∽△BCA，利用相似三角形的性质得到OD：AC＝BO：BA，即R：6＝（10﹣R）：10，然后解方程即可．
解：（1）如图，点O为所作；
（2）设OA＝R，则OD＝R，
∵∠C＝90°．BC＝8，AB＝10，
∴AC QUOTE 6，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴△BDO∽△BCA，
∴OD：AC＝BO：BA，
即R：6＝（10﹣R）：10，
解得R QUOTE ，
即OA的长为 QUOTE ．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理．
23．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值
【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点可得对称轴为 QUOTE ，由此可求出b的值，再把点代入解析即可求解；
（2）运用配方法将抛物线化成顶点式即可求解．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为 QUOTE ，
解得，b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+c，
∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+c＝0，
解得，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）由（1）可得，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴当x＝1时，抛物线有最小值，最小值为﹣4．
【点评】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，配方法求顶点式的知识是解题的关键．
24．【考点】不等式的性质
【分析】（1）直接作答即可；
（2）分别将x＝3，6，9代入2x﹣2.5并计算，若计算结果小于或等于15，则该值能使不等式成立，否则，则不能使不等式成立；
（3）分别利用不等式的基本性质1和2计算即可．
解：（1）当x＝0时，2x﹣2.5＝0﹣2.5＝﹣2.5，﹣2.5＜15；
当x＝1时，2x﹣2.5＝2﹣2.5＝﹣0.5，﹣0.5＜15；
当x＝2时，2x﹣2.5＝4﹣2.5＝1.5，1.5＜15．
∴x＝0，1，2均能使不等式2x﹣2.5≤15成立．
（2）当x＝3时，2x﹣2.5＝6﹣2.5＝3.5，
∵3.5＜15，
∴x＝3能使原不等式成立；
当x＝6时，2x﹣2.5＝12﹣2.5＝9.5，
∵9.5＜15，
∴x＝6能使原不等式成立；
当x＝9时，2x﹣2.5＝18﹣2.5＝15.5，
∵15.5＞15，
∴x＝9不能使原不等式成立．
综上，x＝3，6能使原不等式成立，x＝9不能使原不等式成立．
（3）根据不等式的基本性质1，将2x﹣2.5≤15的两边同时加2.5，得2x≤17.5；
根据不等式的基本性质2，将2x≤17.5的两边同时除以2，得x≤8.75．
∴不等式2x﹣2.5≤15的解集是x≤8.75．
【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的三个基本性质是本题的关键．
25．【考点】圆的综合题
【分析】（1）延长AO，交⊙O于点G，连接DG，利用圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余的性质解答即可；
（2）过点O作OM⊥CD于点M，利用垂径定理得到CM＝DM，利用全等三角形的判定与性质得到MF＝ME，再利用等式的性质解答即可；
（3）过点O作OM⊥CD于点M，过点O作OP⊥AB于点P，延长PO交DA的延长线于点N，连接BD，利用等腰三角形的判定定理得到DE＝DB，利用等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和等腰三角形的判定定理得到AN＝AO，利用勾股定理得到MN QUOTE 2DM，利用相似三角形的判定与性质求得DH，AH，利用直角三角形的边角关系定理得到tan∠OBA QUOTE ，设EH＝k，则BH＝2k，利用勾股定理列出方程求得k值，则AB可求，利用垂径定理得到PA，再利用相似三角形的判定与性质求得PO，最后利用勾股定理解答即可得出结论．
（1）证明：延长AO，交⊙O于点G，连接DG，如图，
则AG为⊙O的直径，
∴∠ADG＝90°，
∴∠OAD＝90°﹣∠G，
∵∠C＝∠G，
∴∠OAD＝90°﹣∠C．
∵AB⊥CD，
∴∠CAB＝90°﹣∠C，
∴∠CAB＝∠OAD；
（2）证明：过点O作OM⊥CD于点M，如图，
∵OM⊥CD，
∴CM＝DM QUOTE ．
∵OM⊥CD，AB⊥CD，
∴OM∥AB，
∴∠FOM＝∠OAB，∠EOM＝∠OBA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠FOM＝∠EOM．
在△FOM和△EOM中，
QUOTE ，
∴△FOM≌△EOM（ASA），
∴MF＝ME，
∴CM﹣FM＝DM﹣EM，
∴CF＝DE；
（3）解：过点O作OM⊥CD于点M，过点O作OP⊥AB于点P，延长PO交DA的延长线于点N，连接BD，如图，
由（2）知：△FOM≌△EOM，
∴OF＝OE，
∴∠OFE＝∠OEF，
∵∠OEF＝∠DEB＝∠BAO+∠ACD，
∴∠OFE＝∠DEB＝∠BAO+∠ACD，
∵∠DBE＝∠ABO+∠DBA，∠ABO＝∠BAO，∠DBA＝∠ACD，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB．
由（1）知：∠CAB＝∠OAD，
∴∠CAF＝∠DAB，
∵OM⊥CD，AB⊥CD，
∴MN∥AB，
∴∠N＝∠BAD，∠AON＝∠BAO，
∴∠N＝∠CAF．
∵∠OEF＝∠DEB＝∠BAO+∠ACD，∠OFE＝∠ACD+∠CAF，
∴∠CAF＝∠BAO，
∴∠BAO＝∠DAB，
∴∠N＝∠AON，
∴AN＝AO，
∵AO+AD QUOTE CD，
∴AN+AD＝ND QUOTE CD，
∵MD QUOTE ，
∴ND QUOTE MD，
∴MN QUOTE 2DM，
∵MN∥AB，
∴△DAH∽△DNM，
∴ QUOTE ，
∵DH＝3，
∴AH＝6，
∵∠BAO＝∠BAD＝∠OBA，
∴tan∠OBA＝tan∠BAD QUOTE ，
∴tan∠OBA QUOTE ，
设EH＝k，则BH＝2k，
∴DB＝DE＝3+k．
∵DH2+BH2＝BD2，
∴32+（2k）2＝（k+3）2，
∴k＝0（不合题意，舍去）或k＝2，
∴EH＝2，BH＝4，
∴AB＝AH+BH＝10，
∵OP⊥AB，
∴AP＝BP QUOTE 5，
∵OP⊥AB，AB⊥CD，
∴OP∥EH，
∴△BEH∽△BOP，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴OP QUOTE ，
∴OA QUOTE ．
∴⊙O半径的长 QUOTE ．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键
题号
一
二
三
总分
得分
日期队员
2月12日
2月17日
3月4日
3月13日
3月22日
4月8日
4月16日
4月27日
5月7日
5月19日
甲
75
80
73
81
90
83
85
92
95
96
乙
82
83
86
82
92
83
87
86
84
85
年份
2020
2021
2022
2023
2024
获奖分数线
89
90
90
89
90