2026高考高三二轮专题复习数学专题强化练_专题三　微专题二　数列求和及其综合应用 （含解析）

这是一份2026高考高三二轮专题复习数学专题强化练_专题三　微专题二　数列求和及其综合应用 （含解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·阳泉模拟)已知等差数列{an}中，a7是函数f(x)=sin2x-π6的一个极大值点，则tan(a5+a9)的值为( )
A.33B.3
C.±3D.-3
2.已知函数f(x)=xα的图象过点(4，2)，令an=1f(n+1)+f(n)(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 024等于( )
A.2 024+1B.2 025-1
C.2 024-1D.2 025+1
3.(2024·双鸭山模拟)在一个数列中，如果∀n∈N*，都有an·an+1·an+2=8，且a1=1，a2=2，则a1+a2+a3+…+a12等于( )
A.28B.20
C.24D.10
4.(2024·绵阳模拟)已知数列{an}的各项均为正数，a1=1，an+1-an=1an+1+an，若[x]表示不超过x的最大整数，则[a1]+[a2]+…+[a20]等于( )
A.10B.49
C.54D.70
5.(2024·杭州模拟)设数列{an}，{bn}满足a1=b1=1，an+bn+1=2n，an+1+bn=2n.设Sn为数列{an+bn}的前n项和，则S7等于( )
A.110B.120
C.288D.306
6.(2024·南充模拟)如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列{an}的前4项. 记S=1a1+1a2+…+1a100，则下列结论正确的为( )
A.S>87 B.S=87
C.S1，则a1=1,q=2,可得an=2n-1，
则bn=|2lg2an-7|
=|2lg22n-1-7|
=|2n-9|=9-2n,n≤4,2n-9,n≥5,
则S10=b1+…+b5+b6+…+b10
=7+5+3+1+1+3+…+11=52.
10.154
解析 因为后3个数成等差数列且和为15，故可依次设后3个数为5-d，5，5+d(d≠0且d≠5)，
又前3个数构成等比数列，
则第一个数为(5-d)25，
即(5-d)25+5-d+5=k，
化简得d2-15d+75-5k=0，
因为满足条件的数列只有一个，即关于d的方程只有一解，
即Δ=0，解得k=154.
11.解 (1)由{Sn-n}是首项与公差均为1的等差数列，得Sn-n=1+(n-1)×1=n，
则Sn=n2+n，当n≥2时，
Sn-1=(n-1)2+(n-1)，
两式相减得an=2n，
当n=1时，a1=S1=2，也满足上式，故数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)由(1)得bn=(-1)n(an+1)Sn
=(-1)n(2n+1)n(n+1)
=(-1)n1n+1n+1，
所以数列{bn}的前2 024项的和为
T2 024=-1+12+12+13-13+14+…+12 024+12 025=-1+12 025=-2 0242 025.
12.解 (1)因为4a1-3Sn=14n-1，
当n=1时，得4a1-3a1=1，
即a1=1≠0，3Sn=4-14n-1，①
当n≥2时，3Sn-1=4-14n-2，②
由①-②得
3an=14n-2-14n-1，an=14n-1，
又a1=1也满足，所以an=14n-1.
(2)因为bn=nan=n14n-1，
所以Tn=1×140+2×141+3×142+…+n×14n-1，
14Tn=1×141+2×142+…+(n-1)×14n-1+n×14n，
两式相减得34Tn=140+141+142+…+14n-1-n×14n
=1-14n1-14-n14n
=43-n+4314n，
故Tn=169-43n+4314n，
由Tn≤169+3λan，
得169-43n+4314n
≤169+3λ14n-1，
即λ≥-n9-427，
依题意，∀n∈N*不等式λ≥-n9-427恒成立，因为y=-n9-427随着n的增大而减小，
所以λ≥-727，即λ的取值范围为-727，+∞.
13.-1 012
解析 因为z=i+2i2+3i3+…+2 024i2 024，
z·i=i2+2i3+3i4+…+2 024i2 025，
两式相减，得z·(1-i)=i+i2+i3+…+i2 024-2 024i2 025=i(1-i2 024)1-i-2 024i2 025，①
因为i4=1，所以i2 024=i4×506=1，
i2 025=i4×506+1=i，
所以化简①可得z=-2 024i1-i=-2 024i(1+i)(1-i)(1+i)=-2 024i+2 0242
=1 012-1 012i，
所以虚部为-1 012.
14.0
解析 因为an=n3-n=n(n-1)(n+1)，所以当n的个位数字为1，4，5，6，9，0时，
an的个位数字为0，则在数列{an}中，每连续10项中就有6项的个位数字为0，
而2 017=336×6+1，由此推断数列{bn}中的第2 017项相当于数列{an}中的第3 361项，
即b2 017=a3 361=3 3613-3 361，
而3 361=480×7+1，所以3 361除以7余数为1，
而(7k+1)3=(7k)3+3(7k)2+3·7k+1，k∈N*，
所以3 3613除以7余数也为1，
而它们的差3 3613-3 361一定能被7整除，所以b2 017被7除所得余数为0.