2025届高考数学模拟测试题（含解析）模拟卷07（新高考Ⅱ卷专用）-（解析版）

这是一份2025届高考数学模拟测试题（含解析）模拟卷07（新高考Ⅱ卷专用）-（解析版），共8页。试卷主要包含了已知火箭在时刻的速度为，直线过抛物线，已知复数，，下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】集合，，
则．故选：B．
2．设，，是非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则，；
若，则，即.
“”是“”的必要而不充分条件；故选：B.
3．已知，，则（ ）
A．8B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以.故选：D
4．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，所以．故选：C.
5．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（ ）
A．0.8B．0.675C．0.74D．0.82
【答案】D
【解析】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取人，
从乙队中抽取人，
这人答对题目的平均数为，
所以这人答对题目的方差为.
故选：D.
6．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（ ）（，）．
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足，
因为经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，
可得，火箭耗尽燃料时速度为，
两式相除得.
故选：C．
7．直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，若使的直线恰有2条，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由抛物线方程知：抛物线焦点为，通径长为，
当垂直于轴时，两点坐标为，
此时，且，
即抛物线的焦点弦中，通径最短，
所以.
故选：A．
8．已知定义在上的函数满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】因为，所以为奇函数；
又因为，所以关于直线对称；
由知的一个周期为.
因为当时，，所以在上单调递增，
函数的图象如图所示，
根据图象可知，若，则，，
解得，，
所以实数的取值范围是，.
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．若，则
D．若，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以或，即或，故A正确；
对于B，因为，所以，即，
则或，所以或，所以，故B正确；
对于C，设，，，
所以，，
因为，所以，
则，整理得.
所以不一定为0，故C错误；
对于D，因为，所以复数在复平面内所对应的点在圆上，
复数在复平面内所对应的点在圆上，
因为两圆的圆心距为，所以的最大值为，故D正确.
故选；ABD．
10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（ ）
A．B．
C．的离心率为D．直线的斜率为
【答案】ACD
【解析】如图，由，可设，.
因为，所以.
设，，则，，，解得，
则，，
所以，故A选项正确；，故B选项错误；
在中，由，得，则，
从而的离心率为，故C选项正确.
又，所以直线的斜率为，故D选项正确.
故选：ACD.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象
B．若，则当时，的值域为
C．若在区间上恰有个零点，则
D．若在区间上单调递增，则
【答案】AD
【解析】
，
当时，，则将的图象向左平移个单位长度得到：
，故A正确；
当时，，当时，，
故，则的值域为，故B错误；
令，，则，，
又，
若在区间上恰有个零点，则，解得，故C错误；
若在区间上单调递增，
则，又，所以，解得，
又，所以，
由可得，
要使在区间上单调递增，则，解得，故D正确．
故选：AD．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设，若，则 .
【答案】11
【解析】令，则，则，
的通项为：，
令可得，令可得，
所以由可得，所以.
13．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为 ．(若，则)
【答案】/0.5
【解析】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，
由可得，，
所以，解得：，故σ至多为．
14．若圆C：关于直线对称，由点P向圆C作切线，切点为A，则线段PA的最小值为 ．
【答案】
【解析】圆化为，
圆的圆心坐标为，半径为．
圆关于直线对称，所以在直线上，
∴，即，
点与圆心的距离为，
所以点向圆所作切线长：
当且仅当时切线长最小为．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分）为了有针对性地提高学生对音乐课程的积极性，某校需要了解学生爱好音乐是否与性别有关，随机抽取100名该校学生进行问卷调查，得到如下列联表.
已知从这100名学生中任选1人，爱好音乐的学生被选中的概率为.
(1)完成上面的列联表；
(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关.
附：，其中.
【解】（1）设这100名学生中爱好音乐的学生有x人，则， ………………………2分
解得. ………………………3分
列联表完成如下.
………………………6分
（2）由（1）可知， ………………………10分
因为， ………………………12分
故没有90%的把握认为该校学生爱好音乐与性别有关. ………………………13分
16．(本小题满分15分）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为下底面圆周上异于、的点．

(1)点为线段的中点，证明：直线平面；
(2)若四棱锥的体积为3，求直线与平面夹角的正弦值．
【解】（1）取中点，连接，
则有，， ………………………2分
如图：

在等腰梯形中，，
所以，，
则四边形为平行四边形，所以， ………………………4分
又平面，平面，所以直线平面． ………………………5分
（2）过点作于，在等腰梯形中，，
所以梯形的高，所以等腰梯形面积为，
所以四棱锥的体积，解得，
在中，由射影定理得或， ………………………7分
当时，以为坐标原点，
以过点平行与的方向，所在直线为坐标轴，
建立如图所示的空间直角坐标系；

则有， ………………………9分
故，，
设平面的法向量，故，
令，得， ………………………11分
设直线与平面夹角的大小为，
则，
所以直线与平面夹角的正弦值为； ………………………13分
当时，以为坐标原点，以过点平行与的方向，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系；

则有，
故，，
设平面的法向量，故，
令，得，
设直线与平面夹角的大小为，
则，
所以直线与平面夹角的正弦值为，
综上所述，直线与平面夹角的正弦值为或． ………………………15分
17．(本小题满分15分）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围.
【解】（1），. ………………………1分
当时，恒成立，在上单调递减； ………………………3分
当时，由，
解得，即在上单调递增，
由，解得，即在上单调递减. ………………………6分
（2）当时，由（1）知， ………………………8分
，恒成立，在上单调递增，
所以， ………………………10分
由题意知，即. ………………………11分
设，则，所以为增函数，……………………13分
又，所以，
即的取值范围是. ………………………15分
18．(本小题满分17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，是上两点（点，不同于点），直线，分别交直线于，两点，若，证明：直线过定点．
【解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意得， ………………………3分
解得， ………………………5分
故椭圆的标准方程为. ………………………6分
（2）

由（1）知，由题意可知直线的斜率不为0，
否则位于轴同侧，，不符合题意； ………………………7分
设的方程为，代入，得
，
由，
设，则， ………………………9分
所以，
， ………………………10分
直线的方程为，令，得，
故，同理可得， ………………………12分
所以， ………………………13分
由，得，
即，所以， ………………………15分
所以，解得或（舍去），
所以直线的方程为，
故直线过定点. ………………………17分
19．(本小题满分17分）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为.
(1)试求，的值；
(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系；
(3)设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和.
【解】（1）易得，
不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则，………………………1分
不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则，………………………2分
不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，
则，所以， .………………………4分
（2）在不大于的正整数中，只有p的倍数不与互素，而p的倍数有个，
因此. ………………………6分
由p，q是两个不同的素数，得，， ………………………7分
在不超过的正整数中，p的倍数有个，q的倍数有个，
于是，
所以. ………………………10分
（3）根据（2）得， ………………………11分
所以， ………………………13分
， ………………………14分
两式相减，得， ………………………15分
所以，
故. ………………………17分
爱好音乐
不爱好音乐
总计
男
16
女
26
总计
100
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
爱好音乐
不爱好音乐
总计
男
16
34
50
女
24
26
50
总计
40
60
100