2025届高考数学模拟测试题（含解析）模拟卷03（新高考Ⅱ卷专用）（解析版）-

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，求得集合，结合集合的交集、并集和补集的运算，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，解得，所以，
又由不等式，解得，所以，
可得，
且或，
则，，
或，或.
故选：A.
2．已知，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】由，，，得，，于是，
由，取，满足，显然“，”不成立，
所以“，”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知等比数列的公比不为1，且，，成等差数列，则数列的公比为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据等差中项的性质及等比数列通项公式列方程求公比.
【详解】设等比数列an的公比为q，且，
由，，成等差数列，得，
整理得，则.
故选：A
4．已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件求出的范围，结合正弦函数的性质列不等式可求结论.
【详解】因为，，
所以，
由已知，，
所以，
所以的取值范围是.
故选：C.
5．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数的性质可得，构造函数证明即可比较大小.
【详解】令，求导得，即函数在上单调递减，
则，即，因此；
令，求导得，
函数在上单调递增，则，即，因此，
所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
6．设函数，若存在使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】首先求出和的值域范围，根据建立等式关系，然后将表示为一个关于其中一个变量的函数，最后求这个函数的最大值.
【详解】对求导，所以.
当时，，，所以，在上单调递增.
当时，，当时，，所以的值域是.
对求导，所以.
令，即，解得.
当时，，，所以在上单调递增.
当时，，当时，，所以的值域是.
由可得，则.
因为，所以，那么.
令，，则，又因为，，
所以.
设，，对求导，所以.
令，即，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以在处取得最大值.
故选：A.
7．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．圆和圆关于直线对称
B．圆和圆的公共弦长为
C．的取值范围为
D．若为直线上的动点，则的最小值为
【答案】D
【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D.
【详解】对于A，和圆，
圆心和半径分别是，
则两圆心中点为，
若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，
但两圆心中点不在直线上，故A错误；
对于B，到直线的距离，
故公共弦长为，B错误；
对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小，
当四点共线时，的值最大为，
故的取值范围为，C错误；
对于D，如图，设关于直线对称点为，

则解得即关于直线对称点为，
连接交直线于点，此时最小，
，
即的最小值为，D正确.
故选：D.
8．已知点为扇形的弧上任意一点，且，若 （），则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.
【详解】设圆的半径为，由已知可设为轴的正半轴，为坐标原点，过点作轴垂线为轴建立直角坐标系，
其中，其中，
由，
即，
整理得，
解得，
则，
，
所以.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．
B．
C．在上为增函数
D．函数在上有且只有2个零点
【答案】ABD
【分析】根据函数的周期判断A，根据函数的对称轴判断B，根据正弦型函数的单调性判断C，根据数形结合判断D.
【详解】由题意得函数的最小正周期为，所以成立，A项正确；
因为，所以是的最小值，
所以直线是图象的一条对称轴，所以成立，B项正确；
当时，，当时，为减函数，C项错误；
由题意知在有两个不等实根，
设，由函数的图象，如图，
易知与直线有两个不同的交点，D项正确.
故选：ABD
10．如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（ ）
A．该内切球的球面面积为
B．存在点，使得平面
C．平面被球截得的截面圆的面积为
D．当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为
【答案】ACD
【分析】根据内切球半径计算表面积判断A；以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，其中，
利用空间向量法可判断B，应用空间向量法计算点到平面距离计算求出截面面积判断C，确定当为的中点时，
过的平面截该正方体所得截面为边长为的正六边形，利用面积公式求面积判断D.
【详解】对于A，根据已知条件球为以为圆心，半径，内切球的球面面积为 ，A正确；
对于B： 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则由题意可得，，，，
设点，其中，
对于，，，
设平面法向量为，
，，
则，
令，则y=−1，，
为平面的一个法向量，
若存在点，使平面，
只需，因为不成立，所以B错误；
对于C： 设平面法向量为m=x1,y1,z1，，
，，
则，
令，则，，
为平面的法向量，
又因为，
则到平面的距离为，则，
设平面被球截得的截面圆的半径为，
，
所以平面被球截得的截面圆的面积为，C选项正确；
对于D，当为中点时，过的平面截该正方体所得截面为正六边形，，
在中，，所以边长，
所以截面面积，D正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查几何体与球的组合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，平面截正方体问题，关键是：（1）利用球的弦长公式计算弦长；（2）确定平面截正方体所得截面的形状.
11．已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，它们的离心率分别为，，P是它们在第一象限的交点，的内切圆圆心为Q，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为
C．过作直线的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线
D．两个曲线在P点处的切线互相垂直
【答案】ABD
【分析】A选项，根据得到⊥，由椭圆定义和双曲线定义得到，由勾股定理得到方程，求出，故A正确；B选项，由余弦定理得到方程，求出，即，由基本不等式求出的最小值；C选项，作出辅助线，得到，得到H的轨迹是以为圆心，为半径的圆，C错误；D选项，先得到椭圆和双曲线在P点处的切线的斜率，得到椭圆在Px0,y0点处的切线斜率为，双曲线在Px0,y0点处的切线斜率为，又，化简得，从而得到斜率乘积为-1，得到D正确.
【详解】A选项，因为，
所以，
又，
故，
则⊥，
由椭圆定义可得，
由双曲线定义可得，
解得，
由勾股定理得，即，
化简得，
即，
又，所以，A正确；
B选项，若，由余弦定理得，
即，
由（1）得，
代入上式得，即，
即，
因为又，所以，
由基本不等式得，即，
解得，当且仅当时，等号成立，
则的最小值为，B正确；
C选项，过作直线的垂线，垂足为H，延长交于点，
因为平分，由三线合一得，为的中点，
则，
连接，由中位线性质得，
故点H的轨迹是以为圆心，为半径的圆，C错误；
D选项，下面证明椭圆在Px0,y0处的切线方程为，理由如下：
当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：
，
所以，
把代入，得：，
于是，
则椭圆的切线斜率为，切线方程为，
整理得到，
其中，故，即，
当时，此时或，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上：椭圆在Px0,y0处的切线方程为；
下面证明：上一点的切线方程为，
理由如下：设过点的切线方程为，与联立得，
，
由
化简得，
因为，代入上式得，
整理得，
同除以得，，
即，
因为，，
所以，
联立，两式相乘得，，
从而，
故，
即，
令，则，即，
解得，即，
故椭圆：在Px0,y0点处的切线斜率为，
双曲线在Px0,y0点处的切线斜率为，
又，故，
化简得，
又，所以，故
则斜率乘积为，
故两曲线在点处的切线互相垂直，D正确.
故选：ABD
【点睛】过圆上一点的切线方程为：，
过圆外一点的切点弦方程为：.
过椭圆上一点Px0,y0的切线方程为，
过双曲线上一点Px0,y0的切线方程为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若的展开式中的常数项为24，则实数a的值为 ．
【答案】
【分析】根据乘法分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】二项式展开式的通项公式是，
令；令（舍去）
所以.
故答案为：
13．如图，已知过抛物线（）的焦点的直线与抛物线交于两点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，抛物线的准线与轴交于点，为坐标原点，记，，分别为，，的面积.若，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】设直线倾斜角为，，可得，，，用表示，结合题意运算求解即可.
【详解】设直线倾斜角为，，
可知：，
且，解得，
则，
同理可得，
可知：，
，
，
因为，则，
整理得，解得或，
且，则，可得，
所以直线的斜率为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据抛物线的定义可得，利用表示其他量，结合题意运算求解.
14．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角关系式可得，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围，令，则，然后由对勾函数的单调性即可求出．
【详解】在中，由余弦定理得，
且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，
所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，，
所以，即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，进而可以求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．

(1)若Q为的中点，证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角正弦值为，求．
【详解】（1）连接并延长，交于点，则为的中点，连接，
因为为直三棱柱，所以平面平面，，，
又分别为的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以， (2分)
又因为平面平面，平面平面，
所以，
因为平面，平面，所以平面，(3分)
同理可得平面， (4 分)
因为平面，且，
所以平面平面， (5 分)
又平面，
所以平面． (6 分)

（2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
设，
则，，，
所以， (7 分)
由直三棱柱可得，为的中点，
所以，则，
设平面的一个法向量为，
由得，，取，则， (10 分)
因为直线与平面所成的角正弦值为，
所以， (12 分)
整理得，，解得或（不合题意舍），
所以． (13 分)

16．（15分）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查，调查结果如下表：
(1)完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关？
(2)为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择：
方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级；
方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级.
已知振华同学答对这4个问题的概率分别为，振华同学回答这4个问题正确与否相互独立，则振华选择哪种方案晋级的可能性更大？
附：
【详解】（1）列联表如下：
(3分)
， (6分)
能有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关. (7分)
（2）记这4个问题为，记振华答对的事件分别记为，
分别记按方案一､二晋级的概率为，
则
， (10分)
， (13分)
因为，振华选择方案一晋级的可能性更大. (15分)
17．（15分）在中，为的中点，，记，.
(1)证明：或；
(2)若，且，求的最大值.
【详解】（1）∵，
∴，
∴， (2分)

在中，则； (3分)
在中，则， (4分)
∵，
∴，
∴， (5分)
∵，
∴或，即或. (7分)
（2）时，

∵，
∴，
∴，
由已知，矛盾； (10分)
时，，

∴，
∴，
∴， (12分)
∴，
∵，
∴的最大值为. (15分)
18．（17分）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)记数列的前n项和为．
（i）若，证明：．
（ii）已知函数，若，证明：．
【详解】（1）设，当时，，
所以在上为增函数，(1分)故当时，，
所以当时， (2分)
设，当时，，
所以在上单调递增，(3分)故当时，，
所以当时， (4分)
故当时， (5分)
因为，当时，，
所以在上为增函数， (6分)
因为当时，，且由，
可得，所以，即，
所以 (7分)
（2）（i）因为，
所以，
则， (8分)
所以，
即， (9分)
所以 (10分)
（ii）函数，
因为当时，，
所以当时，， (11分)
所以当时，，
因此， (12分)
故，即 (13分)
因为，
所以当时，，
综上，，所以， (16分)
所以，
即. (17分)
19．（17分）给出如下的定义和定理：
定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点．
定理：过抛物线上一点处的切线方程为．
完成下述问题：
已知抛物线，焦点为，过外一点（不在轴上），作的两条切线，切点分别为，（在轴两侧）直线分别交轴于两点，
(1)若，求线段的长度；
(2)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；
(3)若点在曲线上，求四边形的面积的范围．
【详解】（1）由题意知，直线，的斜率均不为零，其斜率都存在且异号，
设，因为，， (2分)
不妨设，则方程为，即，，，
所以线段CF的长度为. (4分)

（2）设，直线，
联立，可得. (6分)
在轴两侧，，，
所以点处的切线方程为，整理得， (8分)
同理可求得点处的切线方程为， (9分)
由，可得，
又在直线上，，
直线过定点. (10分)

（3）由（2）可得在曲线上，. (12分)

由（1）可知，
，(13分)
(15分)
令在单调递减， (16分)
∴四边形的面积的范围为 (17分)关注
不关注
合计
男生
55
60
女生
合计
75
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
关注
不关注
合计
男生
55
5
60
女生
20
10
30
合计
75
15
90