苏科版（2024）七年级下册（2024）旋转达标测试

这是一份苏科版（2024）七年级下册（2024）旋转达标测试，共17页。试卷主要包含了旋转的定义，三个核心要素，对应关系，旋转角，图形特征，5，不符合题意；等内容，欢迎下载使用。

考点一：旋转的基本概念
1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
2.三个核心要素：
旋转中心：绕着转动的定点（可以在图形上，也可以在图形外）；
旋转方向：顺时针方向或逆时针方向；
旋转角度：图形转动的角度（旋转前后，对应点与旋转中心连线的夹角）。
3.对应关系：
旋转后，图形上的每个点都绕旋转中心转动了相同的角度，得到对应的点（对应点）、对应的线段（对应线段）、对应的角（对应角）。
考点二：旋转的性质
1.对应点：对应点到旋转中心的距离相等（旋转中心到任意一组对应点的距离都相等）；
2.对应角：对应角相等（旋转不改变图形的形状和大小，对应角大小不变）；
3.对应线段：对应线段相等（旋转不改变图形的大小，对应线段长度不变）；
4.旋转角：所有的旋转角都相等（任意一组对应点与旋转中心连线的夹角，都是旋转角）；
5.图形特征：旋转前后，图形的形状、大小不变，只改变图形的位置；图形的方向可能改变（区别于平移）。
考点三：旋转作图的步骤
1.确定原图形的关键点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点、线段的端点等，关键点越多，作图越准确）；
2.确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；
3.分别画出每个关键点绕旋转中心按指定方向转动指定角度后的对应点（画对应点时，确保对应点到旋转中心的距离等于原关键点到旋转中心的距离，旋转角等于指定角度）；
4.按原图形的形状，依次连接各对应点，得到旋转后的图形，并标注旋转中心、旋转方向和旋转角度。
考点四：旋转对称图形
1.定义：一个图形绕着某一个定点旋转一定的角度后，能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°且小于360°）。
2.关键说明：旋转对称图形是“一个图形”自身的对称关系，旋转角可以是多个（如正方形绕中心旋转90°、180°、270°都能与自身重合）。
3.常见例子：正方形、正三角形、正五边形、圆等。
考点五：中心对称与中心对称图形
1．中心对称（两个图形）
定义：在平面内，把一个图形绕着某一个定点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点成中心对称，这个定点叫做对称中心，旋转后重合的点叫做对应点（对称点）。
核心性质：对应点：对应点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分；对应线段：对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角：对应角相等；两个图形的形状、大小完全相同。
2.中心对称图形（一个图形）
定义：在平面内，把一个图形绕着某一个定点旋转180°，如果它能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点叫做对称中心。
关键说明：中心对称图形是“一个图形”自身的对称关系，是旋转对称图形的特殊情况（旋转角为180°）。
常见例子：平行四边形、正方形、长方形、圆、菱形等（注意：等腰三角形、正三角形不是中心对称图形）。
3.两者的联系与区别
联系：中心对称图形是特殊的旋转对称图形（旋转角为180°）；把成中心对称的两个图形看作一个整体，就是一个中心对称图形；旋转、中心对称都不改变图形的形状和大小。
区别：旋转是图形的运动方式；旋转对称图形是一个图形自身的对称；中心对称是两个图形的对称，中心对称图形是一个图形自身的对称。
题型一：认识生活中的旋转现象
【典例精讲】（2025秋•宣化区期末）同学们，在我们学过的英语字母中，下列哪一组字母是通过旋转得到的（ ）
A．bdB．bpC．pqD．bq
【分析】根据旋转的意义，找出图中字母按顺时针方向旋转180°后的形状即可选择答案．
【解答】解：根据旋转的意义，字母按顺时针方向旋转180°，即两个字母成中心对称，
从而可确定为D图，故选D．
【变式训练1】（2025•沿河县三模）下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据旋转的定义解答即可．
【解答】解：以上车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是A．
故选：A．
【变式训练2】（2025秋•鸡西期中）下列现象不是旋转的是（ ）
A．传送带传送货物B．飞速转动的电风扇
C．钟摆的摆动D．自行车车轮的运动
【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．
【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．
故选：A．
【变式训练3】（2025秋•昆明期中）数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ）
A．地下水位逐年下降
B．传送带的移动
C．升国旗的过程
D．工作中的风力发电机叶片
【分析】旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，据此依次判断即可．
【解答】解：A、地下水位逐年下降是垂直方向的变化，无旋转中心，不符合题意；
B、传送带的移动是物体沿直线运动，属于平移，不符合题意；
C、升国旗的过程是国旗沿旗杆直线上升，属于平移，不符合题意；
D、工作中的风力发电机叶片绕中心轴转动，符合题意．
故选：D．
题型二：判断由一个图形旋转而成的图案
【典例精讲】（2025秋•怀仁市期中）如图，将该图按顺时针方向旋转90°后的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变；图片按顺时针方向旋转90°，分析可得答案．
【解答】解：根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转90°，可得B符合．
故选：B．
【变式训练1】（2024秋•河津市期末）如图，下列选项为一组传统竹编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用面动成体的特征解答即可．
【解答】解：
近似看作由旋转一周得到的是．
故选：B．
【变式训练2】（2025秋•卢龙县期末）如图：将图形绕点O顺时针旋转90°，得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据旋转的定义即可求解．
【解答】解：∵将图形绕点O顺时针旋转90°，
∴旋转后的图形是，
故选：C．
题型三：找旋转中心、旋转角、对应点
【典例精讲】（2025秋•南平期末）如图，在6×3的方格纸中，格点三角形①经过一次旋转后得到格点三角形②，则旋转中心是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【分析】分别作对应点连线的垂直平分线，相交于点D，可知旋转中心是点D．
【解答】解：如图，分别作对应点连线的垂直平分线，相交于点D，
∴旋转中心是点D．
故选：D．
【变式训练1】（2025春•兴宁市期末）如图，在12×6的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，△ABC旋转180°后得到△A′B′C′，则旋转中心是（ ）
A．点PB．点C′C．点OD．点R
【分析】根据旋转的性质，连接对应点AA′，BB′，CC′，交点即为旋转中心O．
【解答】解：如图所示，连接AA′，BB′，CC′，
则AA′，BB′，CC′的交点为O，
∴旋转中心是O．
故选：C．
【变式训练2】（2025秋•石家庄校级期末）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转到△A′BC′的位置，使得A、B、C′三点在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【分析】由三角板可知，∠A＝30°，∠ABC＝60°，由旋转的性质可知，∠A′BC′＝60°，进而得到∠ABA′＝120°，即可求出三角板ABC旋转的角度．
【解答】解：由三角板可知，∠A＝30°，∠ABC＝60°，
由旋转的性质可知，∠A′BC′＝60°，
∴∠ABA′＝180°﹣∠A′BC′＝120°，
即三角板ABC旋转的角度是120°，
故选：D．
【变式训练3】（2025秋•固安县期末）如图，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若E，A，B三点共线，AC＝6，AD＝4，则BE的长为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【分析】根据旋转的性质即可得到结论．
【解答】解：∵把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴AE＝AC＝6，AB＝AD＝4，
∴BE＝AE+AB＝10，
故选：B．
题型四：利用旋转的性质求解
【典例精讲】（2024秋•霍林郭勒市期末）关于论述：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等；④把△OAB绕点O旋转90°后得到△OA′B′，则△OAB和△OA′B′关于点O对称．正确的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等，以及中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一分析判断即可求解．
【解答】解：①对应点到旋转中心的距离相等，故①说法正确；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故②说法正确；
③旋转前、后的图形全等，故③说法正确；
④把△OAB绕点O旋转180°后得到△OA′B′，则△OAB和△OA′B′关于点O对称，故④说法错误；
综上，正确的有①②③．
故选：B．
【变式训练1】（2025秋•渝中区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A'B'C当点A'恰好落在BA的延长线上时，则∠BCB′的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【分析】根据旋转的性质推出∠A'AC＝∠AA'C＝70°，以及∠BCA＝∠B'CA'，据此解答．
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠A'AC＝70°，
∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A'B'C，
∴AC＝A'C，
∴∠A'AC＝∠AA'C＝70°，
∴∠ACA'＝180°﹣2×70°＝40°，
∵旋转，
∴∠BCA＝∠B'CA'，
∴∠BCB'＝∠ACA'＝40°，
故选：C．
【变式训练2】（2025秋•合肥期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC，若A，D，E三点在同一条直线上，∠ACB＝n°，则∠ABC的度数是（ ）
A．（m﹣n）°B．(90+n−12m)°
C．(90−12n+12m)°D．(90−n+12m)°
【分析】根据旋转的性质即可得到∠DCE＝∠ACB＝n°，∠ACE＝m°，AC＝CE，∠ABC＝∠EDC，再根据三角形内角和定理求出∠ADC，再根据三角形内角和定理得出∠CAD，再根据平角的定义求出∠EDC，进而可求出∠ABC．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝n°，∠ACE＝m°，AC＝CE，∠ABC＝∠EDC，
∴∠ACD＝m°﹣n°，∠CAD=12(180°−m°)，
∵在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，
∴∠ADC=180°−∠CAD−∠ACD=180°−12(180°−m°)−(m°−n°)=90°+n°−12m°=(90+n−12m)°，
∵A，D，E三点在同一条直线上，
∴∠EDC=180°−∠ADC=180°−(90+n−12m)°=(90−n+12m)°
∴∠ABC=(90−n+12m)°
故选：D．
【变式训练3】（2024秋•静安区期末）俄罗斯方块游戏中出现的图案可进行向左、向右平移，也可以顺时针、逆时针旋转．小海在玩游戏时，想把正在下降的“L”型插入下方空缺部分，目的是消除界面中的三行方块．那么下列操作中，正确的是（ ）
A．绕点P旋转180°，再向右平移
B．绕点P按逆时针方向旋转90°，再向右平移
C．绕点P按顺时针方向旋转90°，再向右平移
D．直接向右平移
【分析】在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把每行排满，需要旋转和平移，通过观察即可得到．
【解答】解：消除界面中的三行方块，需要绕点P按顺时针方向旋转90°，再向右平移．
故选：C．
题型五：画旋转图形
【典例精讲】（2025秋•合肥期末）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都在格点上，O为格点．请用无刻度直尺完成以下作图：
（1）在网格中画出△ABC关于O点的中心对称图形△A1B1C1；
（2）以B点为旋转中心将△ABC顺时针旋转90°，请在网格中画出旋转后的△A2BC2．
【分析】（1）连接AO，并延长使A1O＝AO，连接BO，并延长使B1O＝BO，连接CO，并延长使C1O＝CO，得出点A1，B1，C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）先根据旋转的性质得出点A2，C2的位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：（1）△ABC关于O点的中心对称图形△A1B1C1，如图1即为所求；
（2）将△ABC顺时针旋转90°后的△A2BC2，如图2即为所求．
【变式训练1】（2025秋•湄潭县期末）如图，在5×5的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图．
（1）如图1，作出△ABC关于点O对称的△DCB；
（2）如图2，△ABC旋转得到△DEF，标出旋转中心点P．
【分析】（1）作出点A的对应点D，连接CD，BD即可；
（2）线段AD，CF的垂直平分线的交点P即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，△DCB即为所求；
（2）如图2中，点P即为所求．
【变式训练2】（2025秋•余庆县期末）图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB1C1，在图中对应处写出“B1”和“C1”；
（2）画出与△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2，在图中对应处写出“A2”“B2”和“C2”．
【分析】（1）根据旋转的性质即可在图中画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB1C1，点B、C的对应点分别为“B1”和“C1”；
（2）根据中心对称的性质即可在图中画出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2，点A，B、C的对应点分别为“A2”“B2”和“C2”．
【解答】解：（1）根据旋转的性质即可在图中画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB1C1，点B、C的对应点分别为“B1”和“C1”，如图，△AB1C1即为所作；
（2）如图，△A2B2C2即为所作．
【变式训练3】（2025秋•烟台期末）如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1．
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；
（2）直接写出旋转角α的度数．
【分析】（1）结合旋转的性质，分别作线段AA1，CC1的垂直平分线，相交于点O，则点O即为所求．
（2）由图可知，∠AOA1＝90°，则可知旋转角α的度数为90°．
【解答】解：（1）如图，分别作线段AA1，CC1的垂直平分线，相交于点O，
则点O即为所求．
（2）由图可知，∠AOA1＝90°，
∴旋转角α的度数为90°．
题型六：旋转对称图形的识别
【典例精讲】（2025秋•湘西州期末）如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（ ）
A．144°B．90°C．72°D．60°
【分析】如图，由于是正五角星，设O的是五角星的中心，那么∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠AOE，所以要使正五角星旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为360°，由此即可求出绕中心顺时针旋转的角度．
【解答】解：如图，设O的是五角星的中心，
∵五角星是正五角星，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠AOE，
∵它们都是旋转角，
而它们的和为360°，
∴至少将它绕中心顺时针旋转360÷5＝72°，才能使正五角星旋转后与自身重合．
故选：C．
【变式训练1】（2025秋•松滋市期末）下列正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与自身重合的是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
【分析】根据正多边形绕中心旋转后能与自身重合的条件是旋转角度为中心角的整数倍，正多边形的中心角为360°除以边数n，据此计算各选项的中心角，判断60°是否为中心角的整数倍，即可解答．
【解答】解：∵正多边形的中心角α=360°n，
∴旋转60°后能与自身重合，当且仅当60°是α的整数倍时，符合题意，
A、正三角形：α=360°3=120°，60°÷120°＝0.5，不符合题意；
B、正方形：α=360°4=90°，60°÷90°=23，不符合题意；
C、正五边形：α=360°5=72°，60°÷72°=56，不符合题意．
D、正六边形：α=360°6=60°，60°÷60°＝1，符合题意；
∴正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与自身重合的是正六边形．
故选：D．
【变式训练2】（2025秋•钱塘区期末）下列图形绕点O旋转90°后，能与原图形重合的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据旋转对称图形的概念作答．
【解答】解：A、绕它的中心旋转120°才能与原图形重合，故本选项不合题意；
B、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项符合题意；
C、绕它的中心旋转108°能与原图形重合，故本选项不合题意；
D、绕它的中心旋转60°能与原图形重合，故本选项不合题意．
故选：B．
题型七：中心对称图形的识别
【典例精讲】（2025秋•汉阳区期末）“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：在四个选项中，只有选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以选项D是中心对称图形．
故选：D．
【变式训练1】（2025秋•唐山期末）下面是几个学科中的图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心．
【解答】解：选项A、C、D的图形不是中心对称图形，选项B的图形是中心对称图形．
故选：B．
【变式训练2】（2025秋•湘西州期末）2025年12月27日，湖南省足球联赛（简称“湘超”）在长沙贺龙体育场落下帷幕，14个市州队徽设计充分体现了各地地方特色与足球元素的融合，见证了湖南足球的荣耀与风采．下列四个地市队徽中的足球元素，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项分析即可得出结果．
【解答】解：A、选项图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、选项图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、选项图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、选项图形是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
题型八：中心对称图形的性质
【典例精讲】（2025秋•徐汇区校级期末）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，连接AD、BC，以下结论错误的是（ ）
A．AO＝CO
B．∠BAO＝∠CDO
C．S△AOB＝S△AOD
D．△AOD与△COB关于点O成中心对称
【分析】根据中心对称的性质和全等三角形的性质判断即可．
【解答】解：∵△AOB与△COD关于点 O 成中心对称，
∴△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，∠BAO＝∠DCO，故A不符合要求，B符合题意；
∵OD＝OB，
∴S△AOB＝S△AOD，故C不符合要求；
∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠BOD，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴△AOD与△COB关于点O成中心对称，故D不符合题意；
故选：B．
【变式训练1】（2025秋•墨玉县期中）已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC≌△A'B'C'B．OC＝OC'
C．点A的对应点是点A'D．∠COB'＝∠AOC'
【分析】由中心对称的性质很容易判断出D选项错误．
【解答】解：由中心对称的性质可得△ABC≌△A'B'C'，OC＝OC'，点A的对应点是点A'，∠COB'＝∠BOC'，
所以D选项不正确．
故选：D．
【变式训练2】（2024秋•同安区校级期末）如图，△ABO与△CBO关于BO轴对称，延长AC到Q，使CQ＝OA，C为BP中点，下列三角形中与△PQC成中心对称的是（ ）
A．△ABOB．△CBOC．△ABCD．△ACP
【分析】利用全等三角形的判定方法得到△PQC≌△BOC，即其是与△PQC成中心对称的一组三角形．
【解答】解：∵△ABO与△CBO关于BO轴对称，
∴△ABO≌△CBO，
∴OA＝OC，
∵CQ＝OA，
∴CQ＝OC，
∵C为BP中点，
∴BC＝PC，
∵∠OCB＝∠QCP，
∴△PQC≌△BOC（SAS），
∴与△PQC成中心对称的△CBO，
故选：B．
【变式训练3】（2025春•山亭区期末）如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线MN将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，利用中心对称图形的性质解决问题即可．
【解答】解：因为平行四边形是中心对称图形，
所以直线经过两个平行四边形的对角线的交点即可，
观察图象可知，选项B，C，D符合题意，
故选：A．
【变式训练4】（2025春•白银区校级期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 ．
【分析】过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作AE⊥b于点E，证明四边形A′DOF是矩形，则A′F＝OD＝3，同理可知，四边形ABOE是矩形，则AE＝OB＝4，由曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，则AE＝A′D＝OB＝4，AB＝A′F＝3，图形①与图形②面积相等，即可得到答案．
【解答】解：如图，过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作AE⊥b于点E，
∵A′D⊥b于点D．
∠A′FO＝∠FOD＝∠A′DO＝90°，
∴四边形A′DOF是矩形，
∴A′F＝OD＝3，
同理可知，四边形ABOE是矩形，
∴AE＝OB＝4，
∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，
∴AE＝A′D＝OB＝4，AB＝A′F＝3，图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12．
故答案为：12．
题型九：画中心对称图形
【典例精讲】（2025秋•平城区期中）图1和图2都是由连接正八边形部分顶点或部分对边中点构成的图案，每个图案可看作由4个全等的直角三角形、8个全等的小矩形和4个全等的小正方形组成．按下列要求涂阴影．
（1）在图1中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）在图2中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形．
【分析】（1）由轴对称图形、中心对称图形的定义来设计即可得到答案；
（2）由轴对称图形、中心对称图形的定义来设计即可得到答案．
【解答】解：（1）如图即为所求（答案不唯一）；
（2）如图即为所求（答案不唯一）．
【变式训练1】（2025秋•高安市期中）如图在正方形网格中，已知顶点为格点的△ABC．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，作一个四边形ABCD，使它是中心对称图形；
（2）在图2中，作一个△ACM，使它是轴对称图形．
【分析】（1）根据中心对称图形的定义画图即可；
（2）根据轴对称图形的定义画图即可．
【解答】解：（1）如图1，中心对称图形四边形ABCD，如图1即为所求；
（2）轴对称图形△ACM，如图2即为所求．
【变式训练2】（2025春•杭州校级期中）在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答．
（1）在6个图案中，具有中心对称性的图案是 （填写序号）．
（2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有中心对称性．
【分析】（1）根据中心对称图形的定义判断即可；
（2）根据中心对称图形的定义设计图案即可．
【解答】解：（1）由中心对称图形的定义可知，具有中心对称性的图案是②④⑥；
故答案为：②④⑥；
（2）如图所示：
题型十：规律探究型问题
【典例精讲】（2025春•岳阳期末）如图，已知直角三角形ABC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点C、A在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，得到点P1，点P1在直线l上，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，点P2在直线l上，…按照此规律继续旋转，直到得到点P2025，则AP2025＝ ．
【分析】根据题意可知，旋转三次为一组，得到APn的长度依次增加5，4，3，即可得出答案．
【解答】解：已知直角三角形ABC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴将△ABC绕着点A顺时针转到位置①，得到点P1，AP1＝5，
将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，
AP2＝5+4＝9，
将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，得到点P3，
AP3＝5+4+3＝12，
又∵2025÷3＝ 675，
∴AP2025＝675×12＝8100，
故答案为：8100．
【变式训练1】（2025•镇海区校级开学）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（ ）
A．14cm2B．n+14cm2
C．n−14cm2D．(14)ncm2
【分析】设第一个正方形为ABCD，连接AA1，BA1，第一个正方形与第二正方形的两边分别交于点E，F，则∠EA1F＝90°，证明△A1BE≌△A1AF，可得S△A1BE=S△A1AF，从而得到第一个阴影部分的面积为14cm2，再由两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）阴影部分的和，即可求解．
【解答】解：设第一个正方形为ABCD，连接AA1，BA1，第一个正方形与第二正方形的两边分别交于点E，F，则∠EA1F＝90°，
∵点A1是正方形的中心，
∴∠AA1B＝90°，AA1＝BA1，∠A1AF＝∠A1BE＝45°，S△AA1B=14S正方形ABCD=14cm2，
∴∠AA1B＝∠EA1F＝90°，
∴∠BA1E＝∠AA1F，
∴△A1BE≌△A1AF（ASA），
∴S△A1BE=S△A1AF，
∴第一个阴影部分的面积为S△A1AF+S△A1AE=S△A1BE+S△A1AE=S△A1AB=14cm2，
同理其它的阴影部分的面积为14cm2，
根据题意得：两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）阴影部分的和，
∴n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为14(n−1)=n−14cm2．
故选：C．
【变式训练2】（2025春•东海县期中）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝5，AB＝6，点C、A在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置（1），得到点P1，点P1在直线l上；将位置（1）的三角形绕点P1顺时针旋转到位置（2），得到点P2，点P2在直线l上；将位置（2）的三角形绕点P2顺时针旋转到位置（3），得到点P3，点P3在直线l上，⋯⋯按照此规律继续旋转，第2025次旋转得到点P2025，则AP2025＝ ．
【分析】根据题意可知，旋转三次为一组，得到APn的长度依次增加6，5，4，即可得出答案．
【解答】解：已知直角三角形ABC，AC＝4，BC＝5，AB＝6，
∴将△ABC绕着点A顺时针转到位置①，得到点P1，AP1＝6，
将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，
AP2＝6+5＝12，
将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，得到点P3，
AP3＝6+5+4＝15，
又∵2025÷3＝ 675，
∴AP2025＝675×15＝10125，
故答案为：10125．
1．（22-23七年级下·广西贵港·期末）冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，如图，通过旋转180°后得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据旋转的定义判断即可.
【详解】解：选项A是旋转吉祥物“冰墩墩”180°可以得到的图形.
故选：A
2．（2025秋•南皮县期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此即可判断．
【详解】解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，三角形ABC绕点A顺时针旋转得到三角形AEF．∠BAC=25°，∠α=45°，则旋转角的度数是（ ）
A．20°B．25°C．65°D．70°
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
根据旋转的性质，利用旋转角∠BAE=∠BAC+∠α，计算即可．
【详解】解：∵三角形ABC绕点A顺时针旋转得到三角形AEF，
∴∠BAE是旋转角，
∵∠BAC=25°，∠α=45°，
∴∠BAE=∠BAC+∠α=25°+45°=70°，
∴旋转角的度数是70°，
故选：D．
5．（25-26九年级上·云南怒江·月考）如图，把△AOB绕点O顺时针旋转一定角度得到△COD．若AB=12，AO=17，BO=21，则CD的长为（ ）
A．9B．12C．17D．21
【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后对应边相等是解题的关键．
直接利用旋转的性质解答即可．
【详解】解：根据旋转的性质可得：CD=AB=12．
故选：B．
6．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图所示是3×3的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从a,b,c,d四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（ ）
A．aB．bC．cD．d
【分析】本题考查了中心对称图形，理解其定义是解题的关键．
根据中心对称图形的定义解题即可．
【详解】解：由图可知，选取方格为a时，整个阴影部分如图，为中心对称图形．
故选：A ．
7．（2024秋•威海期末）如图，两个半圆分别以O，O1为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，A1，B1在同一直线上，则对称中心为（ ）
A．点OB．点B
C．线段AO1的中点D．线段AA1的中点
【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点．
【解答】解：如图对称中心是线段AA1的中点，
故选：D．
8．（2025春•徐州期末）如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论成立的是（ ）
①点A与点A′关于点O对称；
②BO＝B′O；
③AC∥A′C′；
④∠ABC＝∠C′A′B′．
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【分析】由中心对称的性质可得OB＝OB′，OC＝OC′，点A与点A′关于点O对称，AC∥A′C′，即可求解．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴由中心对称的性质可得，OB＝OB′，OC＝OC′，点A与点A′关于点O对称，∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，AC∥A′C′，
∴①②③正确，④错误，
综上所述，只有选项A正确，符合题意，
故选：A．
9．（2024秋•分宜县校级期末）如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
【分析】连接OA、OB、OC、OD，根据中心对称的性质可得OA＝OC，OB＝OD，然后判定四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的中心对称性写出相等的线段即可得解．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，
∵四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，OE＝OF，AE＝CF，BF＝DE，
相等的线段共有5对．
故选：C．
10．（2025秋•九龙坡区期末）如果△ABC和△DEF关于点O对称（A、B、O三点不共线），且点A、B、C的对应点依次为点D、E、F，那么下列说法不一定正确的是（ ）
A．OA＝ODB．AB∥DEC．∠BAC＝∠EDFD．AD⊥BE
【分析】根据“中心对称的对称点的连线被对称中心平分，对应线段相等，对应角相等”，可以判断选项A、B、C；由△ABC与△DEF关于点O对称，无法证明AD⊥BE，即可判断选项D．
【解答】解：如图，
A．因为△ABC与△DEF关于点O对称，点A与点D是对称点，所以OA＝OD，故本选项说法正确，不符合题意；
B．因为△ABC与△DEF关于点O对称，所以OA＝OD，OB＝OE，所以四边形ABDE为平行四边形，所以AB∥DE，故本选项说法正确，不符合题意；
C．因为△ABC与△DEF关于点O对称，可知∠BAC与∠EDF是对应角，所以∠BAC＝∠EDF，故本选项说法正确，不符合题意；
D．由△ABC与△DEF关于点O对称，无法证明AD⊥BE，故该说法错误，符合题意．
故选：D．
11．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚90°，再按逆时针方向旋转90°，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是（ ）
A．1B．3C．5D．6
【分析】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键．
按题意画出图，找到规律判断即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5，
第二次变换后，朝上的点数为6，
第三次变换后，朝上的点数为3，
由此可知，连续3次变换是一个循环．
∴2026÷3=675…1，
∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5，
故选：C．
12．（2025秋•潮州期中）小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校600m，那么他们两家相距 1200m ．
【分析】根据中心对称得到小强家距离学校也是600m，由两点之间的距离的计算即可求解．
【解答】解：∵小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，小明家距离学校600m，
∴小强家距离学校也是600m，
∴600+600＝1200（m），即他们两家相距1200m，
故答案为：1200m．
13．（2025秋•瑞安市校级月考）如图是可回收垃圾的标志，其形状为等边三角形，将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为 120° ．
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故答案为：120°．
14．（2025秋•皮山县期中）如图，已知△ABC与△ADE关于点A中心对称，若AC＝3cm，则CE的长为 6 cm．
【分析】先根据中心对称的性质得到△ABC≌△ADE，得到AC＝AE，进而可得出CE的长．
【解答】解：根据题意可知，已知△ABC与△ADE关于点A中心对称，AC＝3cm，
∴△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE＝3cm，
∴CE＝AC+AE＝3+3＝6cm．
故答案为：6．
15．（2025秋•怀仁市月考）如图，风车绕其中心旋转一定的角度后可与自身重合，则旋转角的度数至少为 90° ．
【分析】根据风车有4片扇叶，将以中心为顶点的周角等分为4部分，再结合周角的度数，即可求解．
【解答】解：∵360°÷4＝90°，
则风车绕其中心旋转一定的角度后可与自身重合，则旋转角的度数至少90°．
故答案为：90°．
16．（2025春•江宁区校级月考）如图，△ABC与△BCD都是等边三角形．下列说法中，正确的有 ②③ ．
①△BCD可由△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，A与D是一组对应点；
②△BCD可由△ABC绕点C逆时针旋转60°得到，B与D是一组对应点；
③△BCD可由△ABC绕BC中点旋转180°得到，B与C是一组对应点；
④△BCD可由△ABC关于BC作轴对称变换得到，B与C是一组对应点．
【分析】①②③根据旋转的性质以及等边三角形的性质判断即可；④根据轴对称的性质判断即可．
【解答】解：由题意可知：
①△BCD可由△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，A与C是一组对应点，故①说法错误；
②△BCD可由△ABC绕点C逆时针旋转60°得到，B与D是一组对应点，说法正确；
③△BCD可由△ABC绕BC中点旋转180°得到，B与C不是一组对应点，说法正确；
④△BCD可由△ABC关于BC作轴对称变换得到，B与C是一组对应点，故④说法错误．
所以正确的有②③．
故答案为：②③．
17．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有______（写出序号）
【分析】本题考查了旋转,平移的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
根据旋转，平移的定义进行判断即可．
【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求；
②翻动书页，是旋转，故符合要求；
③方向盘的转动，是旋转，故符合要求；
④传送带的移动，是平移，故不符合要求．
故答案为：②③．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，△ABC经过旋转后得到△DEC．
（1）旋转中心是点______，旋转角是______；
（2）点A的对应点是点______；
（3）线段AC的对应线段是______；∠ABC的对应角是______．
【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等．
【详解】解：（1）∵△ABC经过旋转后得到△DEC，
∴旋转中心是点C，旋转角是∠ACD（或∠BCE）；
（2）点A的对应点是点D；
（3）线段AC的对应线段是线段DC；∠ABC的对应角是∠DEC．
18．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成中心对称，∠BAD=92∘,B1C1=3，则∠B1A1D1的度数为_____，BC的长度为_____．
【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解．
【详解】解：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成中心对称，
∠B1A1D1=∠BAD=92°，BC=B1C1=3，
故答案为：92°，3．
19．（25-26七年级上·云南昆明·期末）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图1所示叠放，其中∠ABC=90°．含45°角的纸板固定不动，将含30°角的纸板绕点B逆时针旋转，使∠DBC=45°，如图2所示，则∠ABE的度数为___________．
【分析】本题考查了旋转的性质、三角板中角度的计算，熟练掌握三角板中角度的计算方法是解题关键．根据题意知∠ABC=90°，∠DBE=30°，又知∠DBC=45°，即可得出∠ABE的度数．
【详解】解：根据题意知∠ABC=90°，∠DBE=30°，由旋转知∠DBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC−∠DBE−∠DBC=90°−30°−45°=15°．
故答案为：15°．
20．（2025春•长春期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°．将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别为D、E，延长BA交边DE于点F．给出下面五个结论：
①∠BCE＝∠ACD；
②AB＝EF；
③∠EFB＝60°；
④BF⊥CE；
⑤AC∥DE．
上述结论中，正确结论的序号有 ①③④ ．
【分析】首先由旋转前后∠ACB＝∠DCE，AB＝DE即可判断①和②；根据旋转角度可得∠BCE＝60°，再根据三角形内角和即可判断③；由③的结论∠EHF＝90°可判断④；根据内错角的概念判断⑤即可．
【解答】解：①∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，
①结论正确，符合题意；
②∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AB＝DE，
∵DE＝EF+FD，
∴AB≠EF，
②结论错误，不符合题意；
③记CE与BF的交点为H，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠E＝∠B＝30°，
在△HBC中，∠B＝30°，∠BCE＝60°，
∴∠BHC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴∠EHF＝90°，
在△EHF中，∠EFB＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故③结论正确，符合题意；
④由③知，∠EHF＝90°，
∴BF⊥CE，
故④结论正确，符合题意；
⑤∵∠E＝30°，但∠ACE的度数不确定，不一定为30°，
∴AC与BD不一定平行，
故⑤结论错误，不符合题意，
综上所述，正确结论的序号有①③④．
故答案为：①③④．
21．（2025秋•唐河县期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中∠ACB＝∠CDE＝90°，∠ABC＝30°，∠DCE＝45°．三角板ABC固定不动，三角板DCE可绕点C转动，当AB∥EC时，∠DCB的度数为 15°或165° ．
【分析】分两种情况讨论，根据两直线平行内错角相等，再根据角的和差运算即可得到答案．
【解答】解：分两种情况讨论：
①如图1，延长EC到点F，AB∥EC，∠ABC＝30°，∠DCE＝45°，
∴∠BCF＝∠ABC＝30°，∠FCD＝180°﹣∠DCE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DCB＝∠BCF+∠FCD＝30°+135°＝165°；
②如图2，AB∥EC，∠ABC＝30°，∠DCE＝45°，
∴∠BCE＝∠ABC＝30°，
∴∠DCB＝∠DCE﹣∠BCE＝45°﹣30°＝15°；
综上所述，∠DCB的度数为15°或165°．
故答案为：15°或165°．
22．（2025春•灌云县期中）如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影．
（1）请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形；
（2）请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形．
【分析】（1）先确定对称轴，再根据轴对称图形的定义进行画图即可；
（2）先确定对称中心，再根据中心对称图形的定义进行画图即可．
【解答】解：（1）如图2，如果以直线l为对称轴，则涂阴影的两个三角形如图2所示，答案不唯一；
（2）如图3，如果以点O为对称中心，则涂阴影的两个三角形如图3所示，答案不唯一．
23．（2025秋•黄浦区校级期末）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题：
（1）如果将三角形ABC平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形DEF；
（2）画出三角形ABC关于点D成中心对称的三角形A1B1C1；
（3）三角形DEF与三角形A1B1C1 是 （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O．
【分析】（1）由题意得出，需将点B与点C先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得；
（2）分别作出三顶点分别关于点D的对称点，再首尾顺次连接可得；
（3）连接两组对应点即可得．
【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求．
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（3）如图所示，△DEF与△A1B1C1是关于点O成中心对称，
故答案为：是．
24．（2025秋•玉田县期末）在如图所示的正方形网格图中，△ABC的顶点均在格点上，线段A1B1与线段AB关于点O成中心对称．
（1）按要求画图．
①画出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于点O成中心对称；
②画出△ABC关于直线a对称的△A2B2C2．
（2）△A2B2C2与△A1B1C1是否关于某条直线成轴对称？若是，请在图中画出这条直线．
【分析】（1）①根据中心对称的性质画图即可；
②根据轴对称的性质画图即可；
（2）根据成轴对称图形的性质画出对称轴即可．
【解答】解：（1）①根据中心对称的性质画图，△A1B1C1即为所求；
②根据轴对称的性质画图，△A2B2C2即为所求；
（2）是，直线b即为所求．
25．（2025春•玄武区期中）如图1，2002年国际数学家大会在北京召开，为弘扬我国古代数学文明，大会选用了如图的“弦图”作为了会标．
（1）这个图形的对称性是B ．
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．不是轴对称图形，但是中心对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
（2）如图2，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”．（用铅笔画图，保留画图痕迹，并将最后的“弦图”用黑笔描出）
【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可；
（2）先作出正方形的中心，再根据中心对称图形的定义作出图形即可；
【解答】解：（1）这个图形不是轴对称图形，但是中心对称图形；
故选：B；
（2）如图所示：
26．（2025春•高碑店市月考）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若∠ABC＝35°，则∠DEF的度数为 35° ；
（3）若AB＝8，AC＝5，BC＝7，△DEF的周长为 20 ．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接AD，CF即可得对称中心O；
（2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解；
（3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解．
【解答】解：（1）连接AD，CF，交于点O，此点即为对称中心；
（2）由题意可得：∠DEF＝∠ABC＝35°；
故答案为：35°；
（3）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴△ABC和△DEF的周长相等，
∵△ABC的周长为8+5+7＝20，
∴△DEF的周长为20；
故答案为：20．
27．（2025春•临川区期中）如图，△A'B'C'与△ABC关于原点O成中心对称，已知∠BAC＝∠BCA，AB＝2，求B′C′的值．
【分析】根据等角对等边得到BC＝AB＝2，再根据中心对称图形的性质可得B′C′＝BC＝2．
【解答】解：∵∠BAC＝∠BCA，
∴BC＝AB＝2，
∵△A′B′C′与△ABC关于原点O成中心对称，
∴B′C′＝BC＝2．
28．（2025春•蒲城县期中）如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成中心对称，∠BAD＝92°，B1C1＝3，求∠B1A1D1的度数和BC的长度．
【分析】根据成中心对称的性质：成中心对称的两个图形对应边相等，对应角相等求解即可．
【解答】解：由条件可知∠B1A1D1＝∠BAD＝92°，BC＝B1C1＝3．
29．（2025秋•威海期末）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．
（1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，把△OAB以O为中心顺时针旋转，至少旋转 75 度，才能使OB落在OC上；
（2）如图2，如果把图1所示的△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，当∠COA'=13∠DOB′时，∠AOA'为多少度？
（3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把△OAB以O为中心顺时针旋转一周，当旋转 15或195 度时，AB所在直线与CD所在直线垂直？
【分析】（1）根据旋转角的定义计算即可；
（2）设∠AOA′＝∠BOB′＝α，分别表示出∠COA'和∠DOB，进而求解；
（3）分类讨论当△A′OB′在点O的上方和下方时，根据垂直的定义计算即可．
【解答】解：（1）∵∠BOA＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣45°﹣60°＝75°；
故答案为：75；
（2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，
∴∠AOA′＝∠BOB′，
设∠AOA′＝∠BOB′＝α，
则∠COA′＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，
∠DOB′＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α，
∵∠COA′=13∠DOB′，
∴120°−α=13(135°−α)，
∴α＝112.5°，
∴∠AOA′＝α＝112.5°；
（3）当△A′OB′在点O的上方时，延长A′B′交CD于点E，如图，
∵A′B′⊥CD，
∴∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠BOB′＝∠CFE﹣∠A′B′O＝15°；
当△A′OB′在点O的下方时，延长B′A′，CD，相交于点E，如图，
∵A′B′⊥CD，
∴∠DEA′＝90°，
∵∠CDO＝60°，∠OA′B′＝45°，
∴∠EDO＝120°，∠OA′E＝135°，
∴∠DOA′＝360°﹣90°﹣120°﹣135°＝15°，
∴∠BOB′＝∠COD+∠DOA′+∠A′OB′＝195°；
综上所述：旋转的角度为15°或195°时，AB所在直线与CD所在直线垂直．
故答案为：15或195．
30．（2025秋•芜湖期末）如图1，直角三角尺的一个顶点O在直线AB上，且∠COD＝60°，OE平分∠BOC．
（1）若∠DOE＝20°，则∠AOC的度数为 20° ；
（2）将图1中的直角三角尺绕点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若∠DOE＝40°，求∠AOC的度数；
（3）将直角三角尺从图2的位置继续绕点O顺时针旋转，其他条件不变，当点D落在射线OA上时停止旋转，请直接写出在此旋转过程中∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系．
【分析】（1）由题意得，∠COD＝60°，∠DOE＝20°，进而求出∠COE，再根据角平分线的定义和补角的性质求解即可；
（2）由题意得，∠COD＝60°，∠DOE＝40°，进而求出∠COE，再根据角平分线的定义和补角的性质求解即可；
（3）分为两种情况：当直角三角尺旋转超过OB时和当直角三角尺旋转没超过OB时，分别求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，∠COD＝60°，∠DOE＝20°，
∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝80°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝160°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣160°＝20°，
故答案为：20°；
（2）∵∠COD＝60°，∠DOE＝40°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝20°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣40°＝140°；
（3）当直角三角尺旋转没超过OB时，如图，
设∠DOE＝y，则∠COE＝∠COD﹣y＝60°﹣y，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝2（60°﹣y），
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2（60°﹣y）＝2y+60°，
∴∠AOC＝2∠DOE+60°；
当直角三角尺旋转超过OB时，如图，
设∠DOE＝y，则∠COE＝y﹣∠COD＝y﹣60°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝2（y﹣60°），
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2（y﹣60°）＝300°﹣2y，
∴∠AOC＝300°﹣2∠DOE，
综上所述，∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系为∠AOC＝2∠DOE+60°或∠AOC＝300°﹣2∠DOE．
31．（2025秋•闵行区期末）某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形ABCD绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形ABCD中，AB＜AD，AC是对角线．
（1）如图2，把长方形ABCD绕点A逆时针作“对角旋转”，使边AB落在对角线AC上，此时点B的对应点为点B1，点C的对应点为点C1，点D的对应点为点D1，连接AC1，如果∠CAD度数为α，则“对角旋转角”的度数＝ 90°﹣α （用含有α的代数式表示）；
（2）在（1）的条件下，如果∠C1AD＝50°，那么再把长方形ABCD绕点A顺时针作“对角旋转”，使边AD落在对角线AC上，点B的对应点为点B2，点C的对应点为点C2，点D的对应点为点D2，连接AC2，则∠C2AD＝ 40° ；
（3）在长方形ABCD中，BC+2AB＝4，在第（1）（2）小题的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点C1和点C2，连接CC2，三角形ACC1面积为312，三角形ACC2面积为130，请求出此时长方形ABCD的面积．
【分析】（1）根据对角旋转角的定义解答即可；
（2）根据旋转的性质和角的关系解答即可；
（3）根据三角形的面积公式和关系得出AB与BC的关系，进而解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知：“对角旋转角”为∠BAC，∠BAC+∠CAD＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣α，
∴对角旋转角为：90°﹣α，
故答案为：90°﹣α；
（2）如图，
∵∠C1AD＝50°，
由旋转可知，∠DAC＝∠D1AC1，
∵∠D1AC1+∠C1AD+∠DAC＝90°，
∴∠D1AC1+∠DAC＝90°﹣50°＝40°，
∴2∠DAC＝40°，
∴∠D2AC2+∠DAC＝40°，
∵∠C2AD＝∠C2AD2+∠CAD＝40°，
由旋转可知，∠DAC＝∠D2AC2，
∴∠C2AD＝40°，
故答案为：40°；
（3）在长方形ABCD中，BC+2AB＝4，在第（1）（2）小题的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点C1和点C2，连接CC2，
∵S△ACC1=12AC⋅B1C1=312，S△ACC2=12AC⋅D2C2=130，
∵B1C1＝AD＝BC，D2C2＝AB＝CD，BC＝2AB+4，
∴AB=BC−42，312=12AC⋅AD=12AC⋅BC，12AC⋅D2C2=12AC⋅AB=130，
∴312130=12AC⋅BC12AC⋅AB，
∴130BC＝312AB，即BC＝2.4AB，
∵AB=BC−42，
∴BC=BC−42×2.4，
∴AB＝10，BC＝24，
∴S长方形ABCD＝AB•BC＝10×24＝240．
32．（2025秋•潞州区期末）综合与探究
问题情境：探究三角尺中的学问．一把含45°角的直角三角板AOB的直角顶点O在直线DE上，过点O作射线OC，使得∠COE＝60°，直角三角板AOB的直角边OB从射线OE开始，绕点O以15°/秒的速度顺时针旋转一圈，设旋转的时间为t秒．
问题解决：（1）如图1，当直角边OB在射线OE上，另一边OA在直线DE的上方，则∠AOC的度数为 30° ，∠COD的度数为 120° ；
初步感知：（2）当直角三角板旋转到如图2所示的位置时，射线OB恰好平分∠COE，试猜想此时∠AOC与∠AOD之间的数量关系，并说明理由；
操作操究：（3）在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB，OC，OE中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由角的和差得∠AOC＝90°﹣∠COE，∠COD＝∠AOC+∠AOD，即可求解；
（2）由角的和差及角平分线的定义得∠BOC+∠AOC＝90°，∠BOC+∠AOD＝90°，由余角的性质，即可求解；
（3）分类讨论：①当OB是OC、OE构成夹角的平分线，②当OC是OB、OE构成夹角的平分线，③当OE是OB、OC构成夹角的平分线，结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，
∴∠AOC＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝30°+90°＝120°，
故答案为：30°，120°；
（2）∠AOC＝∠AOD，理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE+∠AOD＝180°﹣∠AOB＝90°，∠BOC+∠AOC＝90°，
∵OB恰好平分∠COE，
∴∠BOC＝∠BOE，
∴∠BOC+∠AOD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOD；
（3）存在；
①如图，当OB是OC、OE构成夹角的平分线，
∴∠BOE=12∠COE=30°，
∴t=30°15°=2；
②如图，当OC是OB、OE构成夹角的平分线，
∴∠BOE＝2∠COE＝120°，
∴t=120°15°=8；
③如图，当OE是OB、OC构成夹角的平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∴OB绕O旋转了360°﹣60°＝300°，
∴t=300°15°=20；
综上，t的值为2或8或20．
紧扣旋转的定义，判断现象是否满足“绕一个定点、按某个方向、转动一个角度”，且形状、大小不变，排除平移、翻折、缩放等其他运动。
（1）忽略“绕固定点转动”，只要没有中心点，就不是旋转。；
（2）旋转后位置判断错误，旋转只改变位置和方向，形状、大小、边长、角度都不变．
观察图案的形状、大小，判断是否能由一个基本图形，绕某个定点旋转一定角度后得到，确保旋转前后基本图形的形状、大小不变，旋转角度合理。
（1）只看像不像，不看“是不是绕同一个点转”，旋转必须所有小图形都绕同一个中心点转动；
（2）忘记旋转后形状、大小、方向都一样，旋转不改变大小、形状，只改变位置和方向；
（3）以为“拼在一起就是旋转”.
旋转中心是所有对应点连线的垂直平分线的交点；旋转角是任意一组对应点与旋转中心连线的夹角；对应点是旋转后重合的点，可通过图形的形状、位置对应判断。
（1） 随便找对应，不看旋转关系，把相邻点当成对应点，分不清原图和旋转后的图；
（2）以为中心在图形里面，旋转中心可以在图形外、边上、顶点上，旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线交点；
（3）把旋转角当成普通角，不看方向．
运用旋转的性质（对应点到旋转中心距离相等、对应线段相等、对应角相等、旋转角相等），结合已知条件，求线段长度、角度大小、旋转角度等。
（1）旋转前后的对应关系不明确，旋转时，图形上每一个点都绕同一个中心，转过相同的角度；
（2）忽略旋转角的多值性，在求旋转角度时，只写出一个锐角，而忽略了对应的钝角也可能是答案；
（3）混淆旋转与轴对称、平移，旋转的核心性质：对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心连线的夹角相等，旋转前后，任意对应点连线段的垂直平分线都经过旋转中心。这个性质常用来确定未知的旋转中心．
严格按照旋转作图三步法（找关键点→画对应点→连对应点），确保对应点到旋转中心的距离等于原关键点到旋转中心的距离，旋转角度准确，作图规范，标注清晰。
（1）定中心：找准旋转中心O；
（2）连线：中心O连原图每个顶点；
（3）转角：按要求方向、角度画射线，量出等长线段；
（4）连点成图：依次连接新顶点，标上′。
（1）旋转中心找错/点错位置，中心一点错，整个图形全歪，一定要先点准中心点。；
（2）旋转方向搞反；
（3）只转一个点，其他点不按同样规则转，所有点都要绕同一个中心、转同一个角度．
紧扣旋转对称图形的定义，判断一个图形是否能绕某一个定点旋转定角度（0°