初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）单项式乘多项式练习题

这是一份初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）单项式乘多项式练习题

考点一：单项式乘多项式法则
m(a+b+c)=ma+mb+mc，单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
考点二：注意事项
①单项式与多项式相乘，实质上是利用乘法分配律将其转化为单项式乘单项式；
②单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；
③计算过程中要注意符号，单项式乘多项式的每一项时，要包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号；
④对于混合运算，应注意运算顺序；最后有同类项的，必须合并同类项从而得到最简结果．
题型一：单项式乘多项式法则
【典例精讲】（2025秋•道里区校级期中）计算：（6ab2﹣4a2b）•3ab的结果是（ ）
A．18a2b3﹣12a3b2B．18ab3﹣12a3b2
C．18a2b3﹣12a2b2D．18a2b2﹣12a3b2
【变式训练1】（2025秋•道外区期中）公式p（a+b+c）＝pa+pb+pc的运算依据是（ ）
A．乘法结合律B．乘法分配律
C．积的乘法法则D．同底数幂的乘法法则
【变式训练2】（2025春•曹县期末）计算：2a（2a﹣1）等于（ ）
A．4a2﹣1B．4a2﹣2aC．2a2﹣2aD．2a2﹣1
【变式训练3】（2025秋•浦东新区校级期末）一个多项式P与单项式3a的积为12a3﹣6a2+3a，则P＝ ．
题型二：单项式乘多项式运算
【典例精讲】（2025秋•镇原县期末）计算：（﹣2x2）（4xy3﹣y2）+（2xy）3．
【变式训练1】（2025秋•西宁期中）计算：
（1）4xy•（﹣3y）+2y（6xy+2）；
（2）12ab2(2a2b−3ab2)．
【变式训练2】（2025春•紫金县期中）计算：(12x2−3xy+34y2)(−2x)2．
题型三：单项式乘多项式化简求值
【典例精讲】（2025秋•固原校级期末）先化简．再求值．x2（3﹣x）+x（x2﹣2x）+1，其中x＝3．
【变式训练1】（2025秋•固原校级期末）先化简．再求值．x2（3﹣x）+x（x2﹣2x）+1，其中x＝3．
【变式训练2】（2025秋•永和县月考）先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
题型四：单项式乘多项式中错解问题
【典例精讲】（2025春•茌平区期末）某同学在计算﹣3x加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是3x3﹣3x2+3x，由此可以推断出正确的计算结果是（ ）
A．﹣x2﹣2x﹣1B．x2+2x﹣1C．﹣x2+4x﹣1D．x2﹣4x+1
【变式训练1】某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是（ ）
A．4x2﹣x+1B．x2﹣x+1
C．﹣12x4+3x3﹣3x2D．无法确定
【变式训练2】已知：A=12x，B是多项式，王虎同学在计算A+B时，误把A+B看成了A×B，结果得3x3﹣2x2﹣x．
（1）求多项式B．
（2）求A+B．
题型五：单项式乘多项式新定义问题
【典例精讲】（2025春•东明县期中）定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（ ）
A．72m2n﹣45mn2B．72m2n+45mn2
C．24m2n﹣15mn2D．24m2n+15mn2
【变式训练1】（2025春•·江西赣州期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：abcd=ad−bc．
(1)2−1−44=___________．
(2)求aba2b+a3a2b−ab2的值．
(3)当a=12,b=2时，请求出（2）的值．
【变式训练2】（2025春•·江苏南京期中）a△b按照图①的程序进行计算，a☆b按照图②的程序进行计算．
(1)a△b=___________；a☆b=___________；
(2)下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号）；
①a△b=b△a； ②a△b△c=a△b△c；
③a☆b=b☆a； ④a☆b☆c=a☆b☆c．
(3)若a△b☆c与a△b☆a△c相等，求m，n满足的条件．
题型六：单项式乘多项式含参问题（不含某一项）
【典例精讲】（2024秋•武冈市期中）已知（2a﹣4）x2+（b+3）xy﹣（b﹣3）x+（2a+4）y﹣7是关于x、y的多项式，若该多项式不含二次项，试求3a+3b的值．
【变式训练1】（2024秋•江北区校级期中）代数式M=3a2b−[53ab+3(a2b−12ab2)]+ab，其中常数a，b满足关于x的多项式﹣（b﹣2）x2+ax+1+3x与x的取值无关．
（1）化简代数式M；
（2）求常数a，b的值；
（3）求出M的值．
【变式训练2】（2025秋•湖南长沙期末）（1）已知A=x2+3kx−1，B=−3x2+2x−4，且3A+B的值与x无关，求k的值；
（2）某同学在计算一个多项式乘以−3x2时，因抄错运算符号，算成了加上−3x2，得到的结果是x2−4x+1，那么正确的计算结果是多少？
【变式训练3】（2025春•秦都区校级月考）已知计算（5﹣3x+mx2﹣6x3）•（﹣2x2）﹣x（﹣3x3+nx﹣1）的结果中不含x4和x2的项，求m、n的值．
题型七：单项式乘多项式应用问题
【典例精讲】（2025秋•海阳市期末）如图，两个正方形的面积分别为4，94，阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则2a（b﹣1）﹣b（2a﹣2）的值为 ．
【变式训练1】如图，为提高业主的宜居环境，某小区物业准备在一个长为（4a+2b）米，宽为（3a+2b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路，求小路的面积．（要求化成最简形式）
【变式训练2】（2024秋•汉滨区校级期末）如图，有一块长为（2a﹣1）m，宽为am的长方形空地，其中一边靠着墙，现将三面留出宽都是bm的小路，剩下部分设计成菜园ABCD，并用篱笆把菜园不靠墙的三边围起来．
（1）用含a，b的代数式表示篱笆的总长度；
（2）若a＝30，b＝2，篱笆每米20元，请计算篱笆的总价．
【变式训练3】（2025秋•辽宁大连期中）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax−y+6+3x−5y−1的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式=a+3x−6y+5，∵代数式的值与x的取值无关，∴a+3=0，解a=−3．
【理解应用】
（1）若关于x的代数式mx−6x+5的值与x的取值无关，则m值为 ．
（2）已知A=2x+1x−2，B=xm−x，且A+2B的值与x的取值无关，求m的值．
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
题型八：解方程
【典例精讲】解方程：2x（x﹣1）﹣x（2x+3）＝15．
【变式训练1】解方程：x（3x﹣4）+2x（x+7）＝5x（x﹣7）+90．
1．（2024秋•德州期末）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）
A．（2a+b2）B．（a+2b）C．（3ab+2b2）D．（2ab+b2）
2．（2025秋•铜梁区校级期中）已知x2+2x﹣1＝0，则代数式4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（ ）
A．1B．﹣1C．5D．﹣5
3．（2025秋•连山区期中）一个长方形的长和宽分别是3a，2a+1，则这个长方形的面积是（ ）
A．6a2+3B．6a2+3aC．6a+3D．6a2
4．（2025秋•龙华区期中）若x2+2x﹣1＝0，则4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
5．（2025秋•武乡县期末）用如图所示的几何图形的面积可以验证的数学恒等式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．2a（a+b）＝2a2+2ab
C．2a（a+2b）＝2a2+4ab
D．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2
6．（2024秋•西青区期末）一个长方体的长，宽，高分别是2a，a2，（3a+1），这个长方体的体积是（ ）
A．6a2+2B．6a3+2aC．6a4+2a2D．6a4+2a3
7．（2025秋•青山区期中）如图，一个边长为4的正方形去掉长方形一角后，求剩余部分（阴影部分）的面积，下列式子错误的是（ ）
A．4b﹣4a+abB．4b+a（4﹣b）C．4a+4b﹣abD．4a+b（4﹣a）
8．（2025春•襄都区期末）利用图可以解释的是（ ）
A．mn（a+b﹣c）＝mna+mnb﹣mnc
B．ma（n+b﹣c）＝man+mab﹣mac
C．ab（m+n﹣c）＝abm+abn﹣abc
D．ac（m+n﹣b）＝acm+acn﹣acb
9．（2025秋•镇海区校级月考）有一个运算程序：若a⊕b＝n，则（a+1）⊕b＝n+4且a⊕（b+1）＝n﹣1．按程序运算，若1⊕1＝2，则25⊕26＝（ ）
A．73B．89C．97D．108
10．若要使x（x2+a）+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣2，﹣2B．2，2C．2，﹣2D．﹣2，2
11．（2025秋•金山区校级期末）若ab2=−12，则ab•（a2b5﹣ab3﹣b）的值是 ．
12．（2025秋•历下区期末）计算：xy（x﹣2y）＝ ．
13．（2025秋•浦东新区期末）计算：12a⋅(3ab−2b)= ．
14．（2025秋•丰台区期末）已知m2﹣4m﹣5＝0，则代数式2m（m﹣4）﹣1的值为 ．
15．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是 ．
16．（2025秋•金山区校级期末）若ab2=−12，则ab•（a2b5﹣ab3﹣b）的值是 ．
17．（2025秋•海阳市期末）如图，两个正方形的面积分别为4，94，阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则2a（b﹣1）﹣b（2a﹣2）的值为 ．
18．（2025秋•浦东新区期中）计算：3x•（2x2﹣x+1）﹣x•（2x﹣3）﹣4（1﹣x2）．
19．（2024秋•梁山县期中）化简：
（1）9x+6x2−3(x+43x2)；
（2）2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣3）﹣2（ab2+2）．
20．计算：
（1）292324×（﹣12）；
（2）33.1﹣10.7﹣（﹣22.9）﹣|−2310|；
（3）解方程：3x4−2x−12=1；
（4）解方程：6x（1﹣x）﹣4x（1﹣x）＝16﹣2（x2﹣2）．
21．（2025秋•太原期中）（1）化简：2a+3b﹣5a﹣b；
（2）下面是小颖同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
2（x﹣xy）﹣x（5﹣y）
＝（2x﹣2xy）﹣（5x﹣xy）…第①步
＝2x﹣2xy﹣5x﹣xy…第②步
＝﹣3x﹣3xy…第③步
任务1：以上化简步骤中，第 步开始出现错误，具体错误是 ．
任务2：请直接写出该整式正确的化简结果，并计算当x=1，y=−12时该整式的值．
22．（2025秋•岳塘区期中）关于a的多项式ma2+3a﹣1与﹣4a2+（n﹣1）a﹣1的和不含a2和a．
（1）求m，n的值；
（2）求（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）的值．
23．（2025春•招远市期中）小明在计算代数式x(3x+2)−3x(x+83)+6(x−43)的值时，发现当x＝2022和x＝2023时，他们的值是相等的．小明的发现正确吗？说明你的理由．
24．（2025秋•龙州县校级月考）已知某长方形的长为（a+b）cm，它的宽比长短（a﹣b）cm，求这个长方形的周长与面积．
25．（25-26七年级上·河北张家口·期中）规定：如果两个数的和等于这两个数积的一半，则称这两个数为和谐数，其和的值称为和谐值，例如：∵1+−2=1×−22=−1，∴1与−2是和谐数，和谐值为−1．
(1)下列几组数是和谐数且和谐值小于0的有___________（填序号）
①3，6 ②−1，2 ③2，0 ④−6，32
(2)已知m，n是和谐数，求代数式32m−mn−22m2n−3n+5+4m2n的值．
26．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若A−B=1，则称A与B是关于1的单位数．
(1)3与______是关于1的单位数，x−3与______（填一个含x的式子）是关于1的单位数；
(2)若A=3x2x+2−2x−1，B=2x32x2+3x−1，判断A与B是否是关于1的单位数，并说明理由．
27．（2025春•鄄城县期中）阅读下列文字，并解决问题．
已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．
分析：考虑到满足x2y＝3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入．
解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．
请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值．
28．（2025春•宿城区校级期末）如图，一个小长方形的长为m+n，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内．
（1）大长方形的长a＝ ，宽b＝ ．（用含m，n的式子表示）
（2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示）
（3）设大长方形的面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，若S1＝4S2，求m与n的数量关系．
29．（2025春•寿阳县期中）如图1，有一长方形菜地，长比宽多20米．求菜地的面积．
老师在黑板上的板书：x（x+20）．
（1）请根据老师的板书说出x的实际意义： ；
（2）请用含x的多项式表示菜地的面积为： ；
（3）如图2，经测量菜地的长为120米．张老爹为了扩大菜地面积，向周围开垦荒地，已知四周开垦的菜地宽度均为a米，通过计算说明菜地开垦后的面积（结果用含a的多项式表示）；
（4）当a＝2米时，求菜地开垦后的面积．
30．已知等式x（ax3+x2+b）+3x﹣2c＝x3+5x+4恒成立，求a2+3b+2c的值．
单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（1）用单项式去乘多项式的每一项，一项都不能漏；
（2）符号最容易错，负号乘进去，每一项都要变号，先定符号，再算数字；
（3）结果要合并同类项，不是乘完就结束，有同类项一定要合并．
单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（1）一定要乘到每一项，不能漏乘；
（2）不要提前合并同类项，先分配乘完，最后再合并.
（1）去括号；
（2）定符号；
（3）合并同类项；
（4）代入数值．
（1）不能漏乘；
（2）先定符号，再算数值；
（3）能化简的一定要先化简，再代入求值，代入负数、分数时必须加括号．
（1）先写出“看错的算式”：把题目里“看错符号”后的式子写出来；
（2）利用看错的结果，求出未知数：把看错的结果代入看错的式子，解出里面的字母
（3）再写出“正确的原式”：把符号改回正确的；
（4）把求出的数代入正确式子，算出答案．
（1）直接改结果的符号，不重新算；
（2）求字母时，符号再次算错
（3）漏乘常数项；
（4）把“看错的式子”和“正确的式子”搞混．
（1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算；
（2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新；
（3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的；
（4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行．
（1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然；
（2）代入时顺序搞反；
（3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面；
（4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算．
（1）写出一般形式的展开式：将单项式与多项式相乘，用代数式表示所有项（含未知参数）；
（2）合并同类项：将同次幂的项合并，整理成标准多项式形式（按降幂排列）；
（3）找出目标项系数表达式；
（4）令目标项系数为0，解方程：根据条件列出方程，求出未知参数的值或关系．
（1）合并同类项后再令系数为0：若展开后有多项是同一字母的同次幂，必须先合并，再令合并后的系数为0；
（2）注意“不含”与“不含有”的区别；
（3）参数的多解可能性：有时参数本身为0时，乘积恒为0，自然不含任何项．
对于单项式乘多项式的实际应用问题，核心是将实际问题转化为数学模型（单项式×多项式），然后按运算法则计算．
（1）建模：将文字转化为代数式；
（2）运算：展开并化简；
（3）解释：将代数结果回归实际问题．
（1）单位统一：实际问题中注意单位换算（如米/厘米，小时/分钟）；
（2）意义检验：结果应为正数或符合实际范围（如人数为整数）；
（3）逆向思维：有时已知结果求参数，需反推运算过程（参考“不含某一项”题型）．
（1）先化简，然后合并同类项，化为一元一次方程；
（2）按照解一元一次方程的解题步骤进行求解即可．
（1）去分母：各项同乘莫漏乘，分子括号要添上；
（2）去括号：正号去括号不变，负号去括全变号；
（3）移项：过等号，变符号；
（4）系数化1：两边除系数，符号要看准．