2026年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语、不等式第02讲常用逻辑用语(复习讲义)(学生版+解析)
展开 这是一份2026年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语、不等式第02讲常用逻辑用语(复习讲义)(学生版+解析),共17页。学案主要包含了方法技巧,易错分析,变式训练1-1,变式训练1-2,变式训练2-1,变式训练2-2,变式训练2-3,变式训练3-1等内容,欢迎下载使用。
01 TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc199408774" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199408774 \h 2
\l "_Tc199408775" 02 体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc199408775 \h 3
\l "_Tc199408776" 03 核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc199408776 \h 3
\l "_Tc199408777" 知能解码 PAGEREF _Tc199408777 \h 3
\l "_Tc199408778" 知识点1 充分条件与必要条件 PAGEREF _Tc199408778 \h 3
\l "_Tc199408779" 知识点2 全称量词命题与存在量词命题 PAGEREF _Tc199408779 \h 4
\l "_Tc199408780" 知识点3 含有一个量词的命题的否定 PAGEREF _Tc199408780 \h 5
\l "_Tc199408781" 题型破译 PAGEREF _Tc199408781 \h 5
\l "_Tc199408782" 题型1 充分必要条件的判断 PAGEREF _Tc199408782 \h 5
【方法技巧】充分、必要条件的判断方法
\l "_Tc199408783" 题型2 充分必要条件的探求 PAGEREF _Tc199408783 \h 7
\l "_Tc199408784" 题型3 根据充分必要条件求参数 PAGEREF _Tc199408784 \h 8
【方法技巧】根据充分必要条件求解参数的步骤
【易错分析】混淆充分条件和充分不必要条件
\l "_Tc199408785" 题型4 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 PAGEREF _Tc199408785 \h 10
【方法技巧】判断全称量词命题、存在量词命题的真假方法
\l "_Tc199408786" 题型5 全称量词命题、存在量词命题的否定 PAGEREF _Tc199408786 \h 12
\l "_Tc199408787" 题型6 根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 PAGEREF _Tc199408787 \h 13
【方法技巧】含量词命题求参数范围的方法
\l "_Tc199408788" 04 真题溯源.考向感知 PAGEREF _Tc199408788 \h 15
\l "_Tc199408789" 05 课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc199408789 \h 18
知识点1 充分条件与必要条件
1.充分条件与必要条件的概念
2.集合判断法判断充分条件、必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即,
自主检测已知、,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由可得且,
因为“”“且”,“”“且”,
因此,“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
知识点2 全称量词命题与存在量词命题
1.全称量词和存在量词
(2)全称量词命题和存在量词命题
自主检测已知命题,,命题,,则( )
A.和都是真命题B.和都是真命题
C.和都是真命题D.和都是真命题
【答案】B
【详解】对于命题,不妨取,则,则命题为假命题,
对于命题,由可得或,则命题为真命题,
因此,和都是真命题.
故选:B.
知识点3 含有一个量词的命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题,如下所示:
常用的正面叙述词语和它的否定词语
自主检测命题“”的否定是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【详解】由存在量词命题的否定是全称量词命题,
则“”的否定为.
故选:D
题型1 充分必要条件的判断
例1-1已知集合,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若,则,则,,此时,
当时,也能得到,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
例1-2已知a,b均为正数,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由,可得,所以,即,
所以,所以,所以“”是“”的充分条件;
取,可得,故“”是“”的不必要条件;
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
方法技巧 充分、必要条件的判断方法
(1)命题判断法:
①如果命题:“若,则”为真命题,那么是的充分条件,同时是的必要条件;
②如果命题:“若,则”为假命题,那么不是的充分条件,同时也不是的必要条件.
(2)集合法:(小集合可以推出大集合)若对应的集合为,对应的集合为,
若,则是的充分条件;若,则是的必要条件.
【变式训练1-1】“”是“”的 条件(选择用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空)
【答案】必要不充分
【详解】解:因为由可得或,
所以即且.
因为由“”不能推出“且”;
由“且”可推出“”,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为:必要不充分.
【变式训练1-2】已知a,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】由推不出,例如,;由可得,或,,当,时不能推出,例如,,所以“”是 “”的既不充分也不必要条件.
【变式训练1-3·变载体】已知α,β是两个不同的平面,直线l⊥β,则“”是“l⊥α”的( )
A.充分必要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若,因为l⊥β,所以l⊥α成立;
若l⊥α,因为l⊥β,根据与同一条直线垂直的两个平面平行,所以成立,
所以“”是“l⊥α”的充分必要条件.
故选:A.
题型2 充分必要条件的探求
例2-1(多选)若,则成立的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
【答案】BC
【详解】解:设对应的集合为,使成立的一个充分不必要条件对应的集合为,
由解得,,故,
因为要求使成立的一个充分不必要条件,
所以且,
满足上述条件的选项有BC.
故选:BC.
例2-2设,则“”的充要条件是( )
A.a,b中至少有一个为1B.a,b都不为0
C.a,b都为1D.不都为1
【答案】A
【详解】由题意,
则和中至少有一个为0,即,中至少有一个为1,
所以“”的充要条件是“a,b中至少有一个为1”.
故选:A.
【变式训练2-1】已知,若的一个必要不充分条件是,则的取值范围是 .
【答案】
【详解】或,
则命题对应集合为.
,则命题对应集合为.
因的一个必要不充分条件是,则命题对应集合为命题对应集合的真子集,
则.
故答案为:
【变式训练2-2】不等式成立的一个必要不充分条件是 .(写出一个符合条件的答案即可)
【答案】(满足是其真子集即可,答案不唯一).
【详解】因为,
设:,的一个必要不充分条件是,成立的集合记为B,
所以,,
所以集合A是集合B的真子集,
故(满足集合A是集合B的真子集即可).
故答案为:(满足是其真子集即可,答案不唯一).
【变式训练2-3】已知集合,则使得“且”成立的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】由题可知且,解得,
所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集,
因为只有选项A中的是的真子集,
故选:A
题型3 根据充分必要条件求参数
例3-1已知,若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是 ;若p是q的必要条件,则实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】由p是q的充分条件,知p可推出q,所以;由p是q的必要条件,知q可推出p,所以.
例3-2已知集合.
(1)当时,求;
(2)若,且“”是“”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)当时,或,
则,故;
(2),且“”是“”的充分不必要条件,
故A为的真子集,,
故,结合,解得,
即实数a的取值范围.
方法技巧 根据充分必要条件求解参数的步骤
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解;
②要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
易错分析 混淆充分条件和充分不必要条件
要注意:充分条件包含充分必要条件和充分不必要条件,故在用集合法判断解决题目时,注意两集合之间的关系
【变式训练3-1】已知或,或,若是的必要条件,则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】设集合或,或,
若是的必要条件,则,
当时,即时,此时,成立;
当时,即时,若,此时,该不等式组无解.
综上所述,实数的取值范围是.
故答案为:.
【变式训练3-2】已知.
(1)若p是q的必要且不充分条件,则实数m的取值范围是 ;
(2)若p是q的充要条件,则实数m的取值范围是 .
【答案】
【详解】设集合,集合.(1)若p是q的必要且不充分条件,则.①当时,,此时;②当时,且和不能同时成立,解得.故.(2)因为p是q的充要条件,所以,所以解得.
【变式训练3-3】已知集合.
(1)若“”是“”的充分条件,求实数a的取值范围.
(2)是否存在实数a,使得“”是“”的充要条件?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在,理由见解析
【详解】解:(1)因为,所以.因为“”是“”的充分条件,所以解得,所以实数a的取值范围是.
(2)因为,若“”是“”的充要条件,则解得故a不存在.
题型4 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
例4-1(2025·河北唐山·一模)已知命题;命题.则( )
A.和都是真命题
B.是假命题,是真命题
C.是真命题,是假命题
D.和都是假命题
【答案】B
【详解】对于命题,因为当时,,故命题是假命题;
对于命题,当时,,故命题是真命题.
故选:B.
例4-2下列存在量词命题为假命题的是( )
A.存在,使B.存在,使
C.有的素数是偶数D.有的实数为正数
【答案】B
【详解】A,C,D均正确;B中,对于任意的恒成立.
方法技巧 判断全称量词命题和存在量词命题的真假方法
(1)要判定一个全称量词命题为真命题,需要进行推理证明,或用前面已经学过的定义、定理作证明,而要判断其为假命题,只需举出一个反例即可.
(2)判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性.若找到一个元素,使成立,则该命题是真命题;若不存在,使成立,则该命题是假命题
【变式训练4-1】下列命题既是存在量词命题,又是真命题的是( )
A.
B.任意两个无理数之和仍是无理数
C.
D.至少存在两个质数的平方是偶数
【答案】C
【详解】AB是全称量词命题,排除,CD是存在量词命题,
C,存在使得,故C正确;
对于D,质数中,只有2的平方是偶数,故D错误.
故选:C.
【变式训练4-2】(多选)下列命题是真命题的是( )
A.,B.,
C.,使得D.,且,使得
【答案】AC
【详解】,恒成立,故A正确;
当时,,故B显然错误;
当时,,故C正确;
因为在上单调递增,由可得,故D错误.
故选:AC
题型5 全称量词命题、存在量词命题的否定
例5-1命题“”的否定是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题,故原命题的否定为.
故选:D
例5-2(2025·云南·三模)已知命题p:“是的充分不必要条件”;命题q:“,”.则下列正确的是( )
A.p和q都是假命题B.和q都是假命题
C.p和都是假命题D.和都是假命题
【答案】D
【详解】由,可得或,则可以推出,充分性成立;
当时,或,故必要性不成立,
所以可得是的充分不必要条件,故p是真命题,则是假命题;
令,得到,化简得,解得或,
则“,”,故q是真命题,则是假命题,即和都是假命题,故D正确,
故选:D.
【变式训练5-1】命题“”的否定是 .
【答案】
【详解】命题“”的否定是“”.
故答案为:.
【变式训练5-2· 变考法】定义新运算:,设,命题,则( )
A.,且为假B.,且为假
C.,且为真D.,且为真
【答案】D
【详解】因为,且,
则,,
可得,即命题为假命题,
所以,且为真命题.
故选:D.
题型6 根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数
例6-1(2024·四川攀枝花·一模)命题“”为假命题,则实数a的取值范围为( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【详解】由已知可得,命题“”的否定,
即命题“”真命题,
根据二次函数的性质可得,应有,
解得.
故选:C.
例6-2若命题“,”是真命题,则实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为,所以,当且仅当,即时等号成立.
又命题“,”是真命题,所以,
即实数a的取值范围为.
故答案为:
方法技巧 含量词命题求参数范围的方法
全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,存在量词命题的常见题型是“能成立”问题,故可用参变量分离法,然后转化成函数的最值问题,如下:
①,;②,;
③,;④,.
【变式训练6-1】命题“,使”是假命题,则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】若命题“,使”是真命题,
当时,,解得,舍去;
当时,则,解得,
即当时命题“,使”是真命题;
因为命题“,使”是假命题,
所以,即实数的取值范围是.
故答案为:
【变式训练6-2】已知命题“,”的否定为真命题,则的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意得“,”为真命题,
所以在区间内有解,
又知在区间内单调递增,所以,
故的取值范围为.
故答案为:
【变式训练6-3】命题“”为假命题的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】命题的否定为:“”
若该命题为真命题得,所以,
所以为该命题的一个必要不充分条件,
故选:C.
【变式训练6-4】已知,命题,;命题,.
(1)若p是真命题,求a的最大值;
(2)若p、q中有且只有一个是真命题,求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【详解】(1)若p是真命题,即恒成立,时,的最小值为,所以,
即a的最大值为.
(2)若q是真命题,,解得或,
若q是假命题,,解得,
由已知p、q一真一假,
若p真q假,则,
若q真p假,则,
综上: 或
1.(2025·北京·高考真题)已知函数的定义域为D,则“函数的值域为”是“对任意,存在,使得”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若函数的值域为,则对任意,一定存在,使得,
取,则,充分性成立;
取,,则对任意,一定存在,使得,
取,则,但此时函数的值域为,必要性不成立;
所以“函数的值域为”是“对任意,存在,使得”的充分不必要条件.
故选:A.
2.(2025·天津·高考真题)设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由,则“”是“”的充分条件;
又当时,,可知,
故“”不是“”的必要条件,
综上可知,“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
3.(2024·天津·高考真题)已知,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质,和都当且仅当,所以二者互为充要条件.
故选:C.
4.(2024·北京·高考真题)设 ,是向量,则“”是“或”的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为,可得,即,
可知等价于,
若或,可得,即,可知必要性成立;
若,即,无法得出或,
例如,满足,但且,可知充分性不成立;
综上所述,“”是“或”的必要不充分条件.
故选:B.
5.(2023·北京·高考真题)若,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】解法一:
因为,且,
所以,即,即,所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二:
充分性:因为,且,所以,
所以,
所以充分性成立;
必要性:因为,且,
所以,即,即,所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三:
充分性:因为,且,
所以,
所以充分性成立;
必要性:因为,且,
所以,
所以,所以,所以,
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选:C
6.(2021·全国乙卷·高考真题)已知命题﹔命题﹐,则下列命题中为真命题的是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】由于,所以命题为真命题;
由于在上为增函数,,所以,所以命题为真命题;
所以为真命题,、、为假命题.
故选:A.
7.(2022·北京·高考真题)设是公差不为0的无穷等差数列,则“为递增数列”是“存在正整数,当时,”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为,则,记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列,则,
若,则当时,;若,则,
由可得,取,则当时,,
所以,“是递增数列”“存在正整数,当时,”;
若存在正整数,当时,,取且,,
假设,令可得,且,
当时,,与题设矛盾,假设不成立,则,即数列是递增数列.
所以,“是递增数列”“存在正整数,当时,”.
所以,“是递增数列”是“存在正整数,当时,”的充分必要条件.
故选:C.
8.(2023·全国甲卷·高考真题)设甲:,乙:,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】当时,例如但,
即推不出;
当时,,
即能推出.
综上可知,甲是乙的必要不充分条件.
故选:B
9.(2024·全国甲卷·高考真题)设向量,则( )
A.“”是“”的必要条件B.“”是“”的必要条件
C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的充分条件
【答案】C
【详解】对A,当时,则,
所以,解得或,即必要性不成立,故A错误;
对C,当时,,故,
所以,即充分性成立,故C正确;
对B,当时,则,解得,即必要性不成立,故B错误;
对D,当时,不满足,所以不成立,即充分性不立,故D错误.
故选:C.
1.写出下列命题的否定:
(1);
(2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;
(3);
(4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
【答案】(1);
(2)存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0;
(3);
(4)任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.
【解析】(1)根据全称量词命题的否定写出即可.
(2)根据全称量词命题的否定写出即可.
(3)根据存在量词命题的否定写出即可.
(4) 根据存在量词命题的否定写出即可.
【详解】(1)“”为全称量词命题,故否定为:“”;
(2)“所有可以被5整除的整数,末位数字都是0”为全称量词命题,
故否定为:“存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0”
(3)“”为存在量词命题,故否定为:“”;
(4) “存在一个四边形,它的对角线互相垂直”为存在量词命题,
故否定为:“任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.”
【点睛】本题主要考查了全称量词命题与存在量词命题的否定,属于基础题型.
2.判断下列命题的真假:
(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件;
(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;
(3)是的必要不充分条件;
(4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件.
【答案】(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题.
【解析】(1)根据点与圆的位置关系判断.
(2)举例说明即可.
(3)根据集合的关系直接判断
(4)举例说明即可.
【详解】(1)根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件.
故(1)为真命题.
(2)两个三角形面积相等也可能同底等高,全等三角形面积一定相等.故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件.
故(2)为假命题.
(3)是的充要条件.
故(3)为假命题.
(4)当时,满足“x或y为有理数”但“xy为有理数”不成立.
当时满足“xy为有理数”但“x或y为有理数”不成立.
故(4)为真命题.
【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析,属于基础题型.
3.在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;
(2)在一元二次方程中,有实数根,;
(3);
(4);
(5).
【答案】(1)必要不充分条件;(2)充要条件;(3)充分不必要条件;(4)必要不充分条件;(5)既不充分又不必要条件.
【解析】(1)根据等腰三角形与等边三角形的关系分析.
(2)根据二次方程的根分析
(3)根据集合的基本关系分析
(4)根据集合的基本关系分析
(5)举例说明分析
【详解】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形,
故p是q的必要不充分条件.
(2) 一元二次方程有实数根则判别式.
故p是q的充要条件.
(3)因为,故且;当时不一定成立.
故p是q的充分不必要条件.
(4) 因为,故或,所以不一定成立;
当时一定成立.
故p是q的必要不充分条件.
(5) 当时,满足但不成立.
当时,满足但不成立.
故p是q的既不充分又不必要条件.
【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,属于基础题型.
4.设集合满足条件p,满足条件q.
(1)如果,那么p是q的什么条件?
(2)如果,那么p是q的什么条件?
(3)如果,那么p是q的什么条件?
试举例说明.
【答案】(1)充分条件;(2)必要条件;(3)充要条件.
【详解】(1)若,则有,即每个使p成立的元素也使q成立,
即,所以p是q的充分条件.如,,
,是的充分条件.
(2)若,则有,即每个使q成立的元素也使p成立,
即,所以p是q的必要条件.如,,则,
是的必要条件.
(3)若,则,,所以p是q的充要条件.如,
是的充要条件.
5.设证明:的充要条件是.
【答案】见解析
【解析】分别证明充分性与必要性即可.
【详解】证明:(1)充分性:如果,
那么,
.
(2)必要性:如果,
那么,
,.
由(1)(2)知,的充要条件是.
【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型.
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
(1)充分条件、必要条件
(2)全称量词命题与存在量词命题
(3)全称量词命题与存在量词命题的否定
单选题
多选题
填空题
解答题
北京卷T7(5分)
天津卷T2(5分)
全国II卷T2(5分)
全国甲卷(理)T9(5分)
北京卷T5(5分)
天津卷T2(5分)
全国甲卷(理)T7(5分)
全国 I卷T7(5分)
北京卷T8(5分)
天津卷T2(5分)
考情分析:
新高考卷中常用逻辑用语专题为热点内容,主要考查充分必要条件、全称量词与存在量词,题型以单选题为主,分值5分。
近三年考情显示,该专题可直接考察,也可作为知识点载体的形式考察,常与数列,函数等知识点结合,难度随载体的知识点而定。备考需强化反例法和集合思想的运用,注重逻辑链的完整性训练。
复习目标:
1.理解、掌握充分条件、必要条件、充要条件的含义.
2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.
3.能理解全称量词命题与存在量词命题的含义,并能正确对两种命题进行否定.
若,则是的充分条件,q是p的必要条件;
且
是的充分不必要条件
且
是的必要不充分条件
是的充要条件
且
是的既不充分也不必要条件
是的充分条件
是的必要条件
是的充分不必要条件
是的必要不充分条件
是的充要条件
且
是的既不充分也不必要条件
量词名称
符号表示
常见量词
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
表示
全称量词命题
存在量词命题
语言表示
对中任意一个,有p(x)成立
中存在,使成立
符号表示
命题
命题的否定
正面词语
等于()
大于()
小于()
是
否定词语
不等于()
不大于()
不小于()
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多一个
至少一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少两个
一个也没有
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