2026高考数学二轮复习讲义第三章 重难点比大小（教师版+学生版）

这是一份2026高考数学二轮复习讲义第三章 重难点比大小（教师版+学生版），共7页。学案主要包含了整体点评，典例1-1，典例1-2，变式1-1，变式1-2，典例2-1，典例2-2，变式2-1等内容，欢迎下载使用。
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如ax1和ax2，利用指数函数y=ax的单调性；
②指数相同，底数不同，如x1a和x2a利用幂函数y=xa单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如lgax1和lgax2利用指数函数lgax单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+eθx(n+1)!xn+1
②sinx=x−x33!+x55!−⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)!+(x2n+2)
③csx=1−x22!+x44!−x66!+⋯+(−1)nx2n(2n)!+(x2n)
④ln(1+x)=x−x22+x33−⋯+(−1)nxn+1n+1+(xn+1)
⑤11−x=1+x+x2+⋯+xn+(xn)
⑥(1+x)n=1+nx+n(n−1)2!x2+(x2)
经典真题回顾
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x−1)+f(x−2)，且当x100B．f(20)>1000
C．f(10)f(3)+f(2)>5，
f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，
f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，
f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377
f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，
f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
2．（2024年天津高考数学真题）设a=4.2−0.2，b=4.20.2，c=lg4.20.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则f14>f(0)=0,所以cs14−3132>0，所以b>a,所以c>b>a，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为cb=4tan14，因为当x∈0,π2,sinx1，所以c>b；因为当x∈0,π2,sinx1−2182=3132，故b>a，所以c>b>a．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式x∈0,π2,sinx0，函数g(x)=xex+ln(1−x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>−ln0.9，所以a>c
故选：C.
方法二：比较法
a=0.1e0.1 ， b=0.11−0.1 ， c=−ln(1−0.1) ，
① lna−lnb=0.1+ln(1−0.1) ，
令 f(x)=x+ln(1−x),x∈(0,0.1],
则 f'(x)=1−11−x=−x1−x0 ，即 g'(x)>0 ，
所以 g(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 g(0.1)>g(0)=0 ，即 a−c>0 ，所以 a>c.
故 c0.33π>0，
所以1>b>a，
综上所述：c>b>a，
故选D．
高考预测
1．（2024·江西新余·一模）故a=57−57，b=7535，c=lg3145，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．ba>c
【答案】A
【解析】a=ln2>lne=12，b=cs2a>b.
故选：A
【典例2-2】三个数a=sin32，b=213，c=ln3−ln2的大小顺序是（ ）
A．alg28>lg2e，所以b>c>a．
故选：D.
3．已知a=lg1.40.7，b=1.40.7，c=0.71.4，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．ab>cC．b>a>cD．c>b>a
【答案】D
【解析】因为a=ln22=12ln22=ln24，c=12e=lne2e，
设f(x)=lnx2x,x>0，
则f'(x)=1x⋅(2x)−2lnx(2x)2=1−lnx2x2，
所以当x∈(0,e)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(e,+∞)时，f'(x)0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
又ℎ120，所以存在c∈12,1使得ℎc=0，所以b最大，
因为58=185=11.6=12.56>1e，所以ln58>ln1e=lne−12=−12，
f58=ln58+58>−0.5+58>0，∴a∈12,58，
又ℎ58=1−85+516+25643b>cC．b>a>cD．c>b>a
【答案】B
【解析】设m(x)=lnx−x+1,
则当x>1时m'(x)=1x−1−5+1+64=5−54，
故b>c，
因此a>b>c，
故选：B
高考预测
1．已知a=lnsin1.02，b=1.0251，c=ln1.02，则（ ）
A．a0,f(x)在(0,1)上单调递增，
则f(x)>f(0)=0，即当0sin13=b；
设g(x)=sinx−x+x36(00，
则函数φ(x)，即g'(x)在(0,1)上单调递增，g'(x)>g'(0)=0，
即函数g(x)在(0,1)上单调递增，于是g(x)>g0=0，则当013−(13)36=13−1162=53162≈0.327，而1π≈0.318，即有b=sin13>1π=c，
所以a>b>c.
故选：A
3．设a=e−1,b=12,c=1−ln32，则（ ）
A．c>a>bB．a>c>bC．b>a>cD．b>c>a
【答案】B
【解析】因为a=e−1>2.25−1=12，所以a>b；
因为函数y=lnx单调递增，e>32，所以ln32b；
构造函数fx=ex−1−2x+1+lnx，则f'x=ex−1−2+1x，
令gx=ex−1−2+1x，则g'x=ex−1−1x2，
显然g'x在1,+∞上单调递增，所以g'x≥g'1=0，
故f'x在1,+∞上单调递增，所以f'x≥f'1=0，所以fx在1,+∞上单调递增，
从而f32>f1=0，故有e−2×32+1+ln32>0，整理得e−1>1−ln32，
所以a>c，故a>c>b．
故选：B
考点五：数形结合
解题思路：
转化为两函数图象交点的横坐标
【典例5-1】函数fx=2x+x，gx=lg2x+x，ℎx=x+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c，的大小顺序为（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．c>a>b
【答案】C
【解析】令fx=0，即2x=−x，
令gx=0，即lg2x=−x，
令ℎx=0，即x=−x，分别作出y=2x，y=lg2x，y=x和y=−x的图象，
如图所示：
由图象可知：c=0，所以b>c>a.
故选：C.
【典例5-2】实数a,b,c∈R满足a−4=lna4c>b
C．b>c>aD．c>b>a
【答案】D
【解析】设fx=x−lnx，则f'x=x−1x，令f'x>0⇒x>1，f'xfc=f2，
且a−4=lna4cB．a>c>bC．c>a>bD．b>c>a
【答案】A
【解析】设fx=0.8x，画出fx的图象，
故fx为下凸函数，
当x1≠x2时fx1+fx22>fx1+x22，
所以0.80.5+0.80.9>2×0.80.7，a=0.80.5+0.80.7+0.80.9>3×0.80.7．
设gx=x0.8x>0，画出gx图象，
故gx为上凸函数，当x1≠x2时gx1+gx220.70.8，所以a>b．
设ℎx=lnx−1+1x00，
所以fx在0,+∞上单调递增，
所以fx>f0=0，即ex>x+1x>0，
所以b2>c2，则b>c，故排除A，B．
因为ab=32e−0.4，325=24332≈7.59，e0.45=e2≈7.39，
所以ab5=325e−0.45≈>1，所以ab>1，
所以a>b．
故选：D．
【变式6-2】（多选题）已知正数x,y满足x−y+1=1x−1y，则（ ）
A．lgy−x+1>0B．csy>csxC．2025y−x>1D．y−2>x−2
【答案】AC
【解析】由题意可得x−1x+1=y−1y>x−1x，
令函数fx=x−1x,x>0，易知fx在0,+∞上单调递增，
由x−1x0，故A正确；
对于B，分别取x=1π2，则csy1，故C正确.
故选：AC．
高考预测
1．已知a=sin1.01，b=11.02，c=ln1.04，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b>a>cB．a>b>cC．a>c>bD．b>c>a
【答案】A
【解析】因为sinπ4a.
故选：D.
考点七：放缩法
解题思路：
放缩法比较指对幂大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保比较结果的准确性。
【典例7-1】（2024·高三·四川德阳·开学考试）已知a=lg32，b=lg43，c=0.51.2，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a>b>cB．a>c>b
C．b>c>aD．b>a>c
【答案】D
【解析】a−b=ln2ln3−ln3ln4=ln2⋅ln4−(ln3)2ln3⋅ln4，
因为ln2,ln4>0，
所以ln2+ln4>2ln2⋅ln4，即ln2⋅ln4c，
故选：D.
【典例7-2】（2024·河南·模拟预测）已知a=e119,b=1918,c=1+ln3735，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a0，则a=e−1>12；
构造nx=ln1+x−x，0≤x≤1，
则n'x=1x+1−1=−xx+1≤0对0≤x≤1恒成立，则nx在[0,1]单调递减，
此时nx=ln1+x−x≤n0=0，当且仅当x=0时取等，
所以n12=ln32−120,0x,00，
故f'x=ex+4sin2x>0恒成立，
故fx=ex−2cs2x在x∈0,π2上单调递增，
又f0=1−2=−10，
由零点存在性定理得α∈0,π4，
令gx=ex−sin2x−1，则g'x=ex−2cs2x，
由上面的求解可知g'x=ex−2cs2x在x∈0,π2上单调递增，
且存在α∈0,π4，使得g'α=0，
当x∈0,α时，g'xlnb，即e1a>b，所以e>ba，选项C正确；
B选项，由C知e>ba，则lne>lnba，即1>alnb，所以B错误；
D选项，因为e1a>b,e1a=ab1+lnb，所以ab1+lnb>b，得a1+lnb>1，D错误.
故选：C.
【变式8-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足lg3a+lgb3=lg3b+lga4，则下列关系式中可能正确的是（ ）
A．∃a,b∈(0,+∞)，使|a−b|>1B．∃a,b∈(0,+∞)，使ab=1
C．∀a,b∈(1,+∞)，有blg3a，所以b>a．
综上所述，bf(a)．
又fx在(0,1)上单调递增，所以b>a．
因为lg3b−1lg3b=lg3a−1lg4ab
【答案】D
【解析】令fx=ex+x，显然fx在R上单调递增，
又a，b，c为正数，所以ec+c=ea+2a>ea+a，即fc>fa，所以c>a，
令gx=ex+2x，则gx在R上单调递增，又ea+2a=eb+3b>eb+2b，即ga>gb，所以a>b，
综上可得c>a>b.
故选：D
2．已知正数a，b，c满足alnb=bec=ca，则（ ）
A．a>b>cB．c>b>aC．b>a>cD．b>c>a
【答案】A
【解析】由alnb=ca得c=lnb，即b=ec，所以b−c=ec−c，
令ℎ(x)=ex−x(x>0)，ℎ'(x)=ex−1(x>0)，
当x∈(0,+∞)时，ℎ'(x)>0，ℎ(x)在(0,+∞)单调递增，
所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，所以ℎ(c)=ec−c>0，
则有b−c=ec−c>0，所以b>c；
由bec=ca得ec·ec=ca，即a=e2cc，
所以a−b=e2cc−ec=e2c−cecc=ec(ec−c)c，
因为ec>0,c>0,ec−c>0，所以a−b>0，即a>b，故a>b>c．
故选：A.
3．（多选题）已知a>0，b>0且满足ab−2b+blnab=e，则下列结论一定正确的是（ ）
A．ab>eB．abe2D．abeb，即ab>e．
而ab−e=b2−lnab，而ab>e，
故2−lnab>0，故abb>cB．abD．b>c>a
【答案】A
【解析】由于13>1π，所以a>c.
设fx=x−sinx0≤x≤1，
f'x=1−csx>0,fx在0,1上单调递增，
所以fx≥f0=0，所以当00,13>sin13，即a>b.
设gx=sinx−x+x360≤x≤1，
g'x=csx−1+x22,csx−1+x22'=−sinx+x≥0，
所以g'x在0,1上单调递增，g'x≥g'0=0，
所以gx在0,1上单调递增，gx≥g0=0，
所以当00,sinx>x−x36，
所以sin13>13−1336=13−1162=53162≈0.327，
而1π≈0.318，所以sin13>1π,b>c，所以a>b>c.
故选：A
【典例9-2】已知a=e0.2−1，b=ln1.2，c=16，则（ ）
A．a