2026高考数学二轮复习讲义第二章 不等式与复数（教师版+学生版）

这是一份2026高考数学二轮复习讲义第二章 不等式与复数（教师版+学生版），共7页。学案主要包含了典例1-1，典例1-2，变式1-1，变式1-2，典例2-1，典例2-2，变式2-1，变式2-2等内容，欢迎下载使用。
1、几个重要的不等式
（1）a2≥0a∈R,a≥0a≥0,a≥0a∈R.
（2）基本不等式：如果a,b∈R+，则a+b2≥ab（当且仅当“a=b”时取“”）．
特例：a>0,a+1a≥2;ab+ba≥2（a,b同号）．
（3）其他变形：
①a2+b2≥a+b22（沟通两和a+b与两平方和a2+b2的不等关系式）
②ab≤a2+b22（沟通两积ab与两平方和a2+b2的不等关系式）
③ab≤a+b22（沟通两积ab与两和a+b的不等关系式）
④重要不等式串：21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22a,b∈R+即
调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知x,y∈R+．
（1）如果x+y=S（定值），则xy≤x+y22=S24（当且仅当“x=y”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果xy=P（定值），则x+y≥2xy=2P（当且仅当“x=y”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：mx+nx≥2mn(m>0,n>0)，当且仅当x=nm时等号成立；
模型二：mx+nx−a=m(x−a)+nx−a+ma≥2mn+ma(m>0,n>0)，当且仅当x−a=nm时等号成立；
模型三：xax2+bx+c=1ax+b+cx≤12ac+b(a>0 , c>0)，当且仅当x=ca时等号成立；
模型四：x(n−mx)=mx(n−mx)m≤1m⋅（mx+n−mx2)2=n24m(m>0,n>0,0bB．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由9m=10可得m=lg910=lg10lg9>1，而lg9lg11lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0.
又lg8lg10m，
所以b=8m−90>b.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由9m=10，可得m=lg910∈(1,1.5)．
根据a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1) ，则f'(x)=mxm−1−1，
令f'(x)=0，解得x0=m11−m ，由m=lg910∈(1,1.5) 知x0∈(0,1) .
f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a>b ，
又因为f(9)=9lg910−10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
16．（2021年浙江省高考数学试题）已知α,β,γ是互不相同的锐角，则在sinαcsβ,sinβcsγ,sinγcsα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】法1：由基本不等式有sinαcsβ≤sin2α+cs2β2，
同理sinβcsγ≤sin2β+cs2γ2，sinγcsα≤sin2γ+cs2α2，
故sinαcsβ+sinβcsγ+sinγcsα≤32，
故sinαcsβ,sinβcsγ,sinγcsα不可能均大于12.
取α=π6，β=π3，γ=π4，
则sinαcsβ=1412,sinγcsα=64>12，
故三式中大于12的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设αcsγ,sinα0 , b>0，则1a+ab2+b的最小值为 ．
【答案】22
【解析】∵a>0 , b>0，
∴1a+ab2+b≥21a⋅ab2+b=2b+b≥22b⋅b=22，
当且仅当1a=ab2且2b=b，即a=b=2时等号成立，
所以1a+ab2+b的最小值为22.
故答案为：22.
考点一：基本不等式二元式
解题思路： 如果a>0 ， b>0，那么ab≤a+b2，当且仅当a=b时，等号成立．其中，a+b2叫作a ， b的算术平均数，ab叫作a ， b的几何平均数．即正数a ， b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
不等式可变形为：(a+b)2≥4ab或ab≤(a+b2)2，其中a ， b∈R+．
【典例1-1】[新考法]（2024·浙江宁波·一模）不等式x2−ax−1x−b≥0对任意x>0恒成立，则a2+b2的最小值为（ ）
A．22−2B．2C．22D．22+2
【答案】A
【解析】由题意可得，需满足x=b是x2−ax−1=0的一个根，
即b2−ab−1=0，且b>0，所以a=b−1b，
a2+b2=b−1b2+b2=2b2+1b2−2≥22−2，
当且仅当2b2=1b2，即b=412时取等号.
所以a2+b2的最小值为22−2.
故选：A.
【典例1-2】（2024·陕西宝鸡·二模）已知正数x,y满足x+1y=1，则1x+2y的最小值是（ ）
A．2+22B．6C．42D．3+22
【答案】D
【解析】由x+1y=1可得xy=y−1，因x>0,y>0，则y>1，
于是1x+2y=x+1yx+2y=1+1xy+2y=1+1y−1+2y=3+1y−1+2(y−1)
因1y−1+2(y−1)≥21y−1⋅2(y−1)=22，当且仅当1y−1=2(y−1)时等号成立，
即y=1+22，x=2−1时，1x+2y的最小值为3+22.
故选：D.
【变式1-1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数y=lga(x−1)+1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny−1=0m>0,n>0上，则4m+1n的最小值为（ ）
A．13B．82C．9+42D．8
【答案】C
【解析】当x−1=1时，y=lga1+1=1，即A(2,1)
因为A在直线mx+ny−1=0上，所以2m+n=1
4m+1n=(2m+n)4m+1n =9+4nm+2mn≥9+24nm⋅2mn=9+42
当且仅当n=22m=22−17时，取等号，即4m+1n的最小值为9+42.
故选：C
【变式1-2】[新考法]（2024·广西柳州·一模）设函数fx=xlnx−a+blnx，若fx≥0，则5a+5b的最小值为（ ）
A．1B．2C．5D．25
【答案】D
【解析】因为fx=xlnx−a+blnx=x−a−blnx，
若a+b≤0，则对任意的x>0，x−a−b>0，
则当01，∴a2+b2>1，D选项正确.
故选：ACD.
2．（多选题）若实数a，b满足3a2+3b2+4ab=5，则下列结论正确的是（ ）
A．ab0，所以ab+9ab≥2ab⋅9ab=6，
所以2aba2+b2+a2b2+9≤14，
当且仅当ab=3，即a=b=3，或a=b=−3取等号，
所以a+b=23或a+b=−23.
故选：D
考点五：复数的四则运算
解题思路：
1、复数运算
（1）(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
（2）(a+bi)⋅(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i
(a+bi)⋅(a−bi)=z⋅z=a2+b2=|z|2(注意z2=|z|2)z+z=2a，
其中|z| =a2+b2，叫z的模；z=a−bi是z=a+bi的共轭复数(a, b∈R)．
（3）a+bic+di=(a+bi)⋅(c−di)(c+di)⋅(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2(c2+d2≠0)．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数
【典例5-1】若复数z满足3z−7=i⋅4z+24，则z⋅z=（ ）
A．5B．25C．125D．625
【答案】B
【解析】因为3z−7=i⋅4z+24，所以3z−7=4i⋅z+24i，
所以z3−4i=7+24i，即z=7+24i3−4i=7+24i3+4i25=−3+4i，
所以z⋅z=−3+4i−3−4i=25.
故选：B
【典例5-2】若复数z满足z1+2i=1−i，则z=（ ）
A．−1+iB．1+3iC．1+iD．3+i
【答案】D
【解析】若复数z满足z1+2i=1−i，
则z=1−i1+2i=1+2i−i+2=3+i.
故选：D.．
【变式5-1】[新考法]（2024·陕西咸阳·模拟预测）若复数z满足z2+z+1=0，则z2023+z2024= （ ）
A．1B．−1C．iD．−i
【答案】B
【解析】因为z2+z+1=0，所以z3−1=z−1z2+z+1=0，
故z3=1，
因为2022=3×674，所以z2022=z3674=1，
z2023+z2024=z2022z+z2=z2+z=−1
故选：B
【变式5-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）复数z1、z2满足z1+z2=z1z2,若z1=1+i，则z2=（ ）
A．22B．1C．2 2D．2
【答案】D
【解析】因为z1+z2=z1z2，z1=1+i，
所以z2=z1z1−1=1−i1−i−1=1−i−i，
所以z2=1−i−i=2.
故选：D
【变式5-3】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知复数z满足：z=1，1+z+z2+z3为纯虚数，则这样的复数z共有（ ）个.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】法一：设z=a+bia,b∈R，则1+z+z2+z3的实部为0且虚部不为0，
1+z+z2+z3=1+a+bi+a2+2abi−b2+a3+3a2bi−3ab2−b3I
=a3−3ab2+a2−b2+a+1+−b3+3a2b+2ab+bi，
则a3−3ab2+a2−b2+a+1=0，−b3+3a2b+2ab+b≠0，
因为z=1，故a2+b2=1，即b2=1−a2，
则有a3−3ab2+a2−b2+a+1=2a2a2+a−1=0，解得a=0或12或−1，
当a=0时，b2=1，则−b3+3a2b+2ab+b=−b+b=0，舍去；
当a=−1时，b2=0，即b=0，则−b3+3a2b+2ab+b=0，舍去；
当a=12时，b2=34，则−b3+3a2b+2ab+b=−34b+34b+b+b=2b≠0，
故b=±32，即z=12±32i，共有两个.
综上所述，这样的复数z共有两个.
法二：设z的辐角为θ，θ∈−π,π，
zr表示将复数z在复平面内逆时针旋转r−1θ，
由几何图形的对称性：z与z2在复平面内应关于y轴对称，
则解得：θ=π3或π2或π或−π3，
易知：θ≠±π3时，z=0，舍去，
故θ=±π3，故有两个不同的复数z满足题意.
故选：B.
高考预测
1．（2024·湖北·模拟预测）已知复数z满足z1+3i=i2024（i为虚数单位），则z=（ ）
A．3B．10C．4D．5
【答案】B
【解析】由z1+3i=i2024，
则z=i20241+3i=1+3i，
所以z=12+32=10.
故选：B.
2．[新考法]（2024·四川宜宾·模拟预测）已知虚数z满足z3−1=0，且z是z的共轭复数，则下列结论错误的是（ ）
A．z2+z+1=0B．z=1
C．z2=zD．z+z2+z3+⋯+z2024=0
【答案】D
【解析】对A，因为z3−1=0，故z−1z2+z+1=0，因为z为虚数，故z2+z+1=0，故A正确；
对B，由z2+z+1=0可得z=−12±32i，故z=1，故B正确；
对C，当z=−12+32i时，z2=−12−32i，此时z2=z成立，
当z=−12−32i时，z2=−12+32i，此时z2=z成立，故C正确；
对D，z+z2+z3+⋯+z2024=z1−z20241−z，因为z3=1，z2+z+1=0，
故z1−z20241−z=z1−z21−z=z1+z=z2+z=−1，故D错误.
故选：D
3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程x2+ix+1=0（其中i为虚数单位）的两根分别为z1，z2，则有（ ）
A．z12=z22>0B．z1+z2=z1z2C．1+z1=1+z2D．z1z2z1+z2=i
【答案】D
【解析】设方程x2+ix+1=0的根为z=a+bia,b∈R，
代入方程，(a+bi)2+i(a+bi)+1=0,整理得(a2−b2−b+1)+(a+2ab)i=0，
故a2−b2−b+1=0a+2ab=0，则a=0b=−1±52，
不妨令z1=−1+52i,，z2=−1−52i，
对于A：因为z12=5−32,z22=−3+52，即z12≠z22，故A错误；
对于B：z1+z2=−i≠z1z2=1，故B错误.
对于C:1+z1=1+−1+52i=1+(−1+52)2=5−52,
1+z2=1+−1−52i=1+(−1−52)2=5+52，
因此，1+z1≠1+z2,故C错误.
对于D：z1z2z1+z2=1−i=i,故D正确.
故选:D.
4．[新考法]（2024·黑龙江佳木斯·三模）复数Z=i+2i2+3i3+⋅⋅⋅+2024i2024的虚部是（ ）
A．1012B．1011C．−1011D．−1012
【答案】D
【解析】因为Z=i+2i2+3i3+⋅⋅⋅+2024i2024，
Z⋅i=i2+2i3+3i4+⋅⋅⋅+2024i2025，
所以Z⋅1−i=i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2024−2024i2025=i1−i20241−i−2024i2025，①
因为i4=1，所以i2024=i4×506=1，i2025=i4×506+1=i，
所以化简①可得−2024i1−i=−2024i×1+i1−i1+i=−2024i+20242=1012−1012i，
所以虚部为−1012，
故选：D.
考点六：复数的几何意义
解题思路：
复数的几何意义
（1）复数z=a+bi(a, b∈R)对应平面内的点z(a,b)；
（2）复数z=a+bi(a, b∈R)对应平面向量OZ；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数z=a+bi(a, b∈R)的模|z|表示复平面内的点z(a,b)到原点的距离．
【典例6-1】（2024·吉林·模拟预测）已知复数z满足z+2+z−2=6，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为（ ）
A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线
【答案】C
【解析】设z=x+yix,y∈R，
因为z+2+z−2=6，
所以x+22+y2+x−22+y2=6，
其几何意义为任意一点x,y到点2,0于−2,0的距离和为6，
又点2,0和−2,0之间的距离小于6，符合椭圆定义，
所以复数z在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆.
故选：C.
【典例6-2】（2024·湖南郴州·模拟预测）设复数z=1−ii2024+i，则z的共轭复数z在复平面内对应点的坐标为（ ）
A．(0,1)B．(1,0)
C．(−1,0)D．(0,−1)
【答案】A
【解析】依题意，z=1−i1+i=(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−2i2=−i，
所以z=i在复平面内对应点的坐标为(0,1).
故选：A
【变式6-1】已知复数z=a+bi，其中a,b∈R且a+b=1，则z+1+i的最小值是（ ）
A．2B．2C．22D．322
【答案】D
【解析】复数z=a+bi，其中a,b∈R且a+b=1，
复数z在复平面内对应的点Za,b，在直线x+y=1上，
z+1+i的几何意义是点Za,b到点C−1,−1的距离，
其最小值为点C−1,−1到直线x+y=1的距离，最小值为d=−1−1−112+12=322.
故选：D
【变式6-2】已知复数z1=1−2i，复数z满足z+z1=2，则（ ）
A．z1⋅z1=2+i
B．复数z1在复平面内所对应的点的坐标是−1,2
C．5−2≤z≤5+2
D．复数z在复平面内所对应的点为Zx,y，则(x+1)2+(y−2)2=2
【答案】C
【解析】因为z1=1−2i，所以z1=1+2i，
所以z1⋅z1=12+22=5，又2+i=5，A错误；
z1对应的点的坐标为1,2，B错误；
由z+z1=2知z对应的点在以−z1对应点−1,2为圆心，2为半径的圆上，
又z1=5，因此5−2≤z≤5+2，C正确；
z1对应的点的坐标为1,−2，因此(x+1)2+(y−2)2=4，D错误，
故选：C．
【变式6-3】设z1的实部与虚部相等，且实部不为0，z2的虚部是实部的2倍，且z2在复平面内对应的点位于第三象限，则“z1在复平面内对应的点位于第一象限”是“z1z2在复平面内对应的点位于第二象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据题意，不妨设z1=a+aia∈R,a≠0，z2=b+2bib0，
则z1z2=a+aib+2bi=ab⋅1+i1+2i=ab⋅1+i1−2i1+2i1−2i=ab⋅35−15i，
所以z1z2的实部3a5b0，故对应点在第二象限，
所以“z1在复平面内对应的点位于第一象限”可以推出“z1z2在复平面内对应的点位于第二象限”；
若z1z2在复平面内对应的点位于第二象限，由上可知z1z2=ab⋅35−15i，
所以3a5b0且b0，所以z1在复平面内对应的点位于第一象限，
所以“z1z2在复平面内对应的点位于第二象限”可以推出“z1在复平面内对应的点位于第一象限”；
由上可知，属于充要条件，
故选：C.
高考预测
1．（2024·山西太原·一模）复平面内复数z满足z−2=1，则z−i的最小值为（ ）
A．1B．5−1C．5+1D．3
【答案】B
【解析】设z=x+yi(x,y∈R)，
因为|z−2|=|x−2+yi| =(x−2)2+y2=1，所以(x−2)2+y2=1，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：(x−2)2+y2=1，如图，
又z−i= |x+(y−1)i|=x2+(y−1)2，
所以z−i表示圆C上的动点到定点A(0,1)的距离，
所以|z−i|min为|CA|−r=5−1，
故选：B．
2．已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若z1=32+12i（i为虚数单位），向量OA绕原点逆时针方向旋转90∘，且模伸长为原来的2倍后与向量OB重合，则（ ）
A．z2的虚部为32B．z2对应的点在第二象限
C．z1+z2=5D．z2z1=4
【答案】C
【解析】由z1=32+12i可知A32,12，则逆时针旋转90∘后相应点为A'−12,32，
所以B−1,3，即z2=−1+3i，其虚部为3，故A错误；
z2=−1−3i，其对应的点在第三象限，故B错误；
z1+z2=32−1+12+3i,∴z1+z2=34−3+1+14+3+3=5，故C正确；
z2z1=−1+3i32+12i=−1+3i32−12i32+12i32−12i=−32+32+12i+32i=2i，
则z2z1=2，故D错误.
故选：C
3．（多选题）（2024·广西·模拟预测）复数z=x+yi（x,y∈R，i为虚数单位）在复平面内内对应点Zx,y，则下列为真命题的是（ ）
A．若z+1=z−1，则点Z在圆上
B．若z−1+z+1=4，则点Z在椭圆上
C．若z+1−z−1=2，则点Z在双曲线上
D．若x+1=z−1，则点Z在抛物线上
【答案】BD
【解析】|z+1|=(x+1)2+y2表示点(x,y)与(−1,0)之间的距离，
|z−1|=(x−1)2+y2表示点(x,y)与(1,0)之间的距离，记F1(−1,0)，F2(1,0)，
对于A，|z+1|=|z−1|，表示点Z(x,y)到F1、F2距离相等，则点Z在线段F1F2的中垂线上，故A错误；
或由(x+1)2+y2=(x−1)2+y2，整理得x=0，所以点Z在x=0，故A错误；
对于B，由|z−1|+|z+1|=4得ZF1+ZF2>F1F2=2，这符合椭圆定义，故B正确；
对于C，若|z+1|−|z−1|=2，ZF1−ZF2=F1F2=2，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若|x+1|=|z−1|，则(x+1)2=(x−1)2+y2，整理得y2=4x，点Z在抛物线，故D正确．
故选：BD．
高分突破：不等式与复数新定义问题
解题思路：
面对不等式新定义问题，首要步骤是准确理解题目中给出的新定义，把握其本质含义。接着，运用不等式的基本性质，如传递性、可加性、可乘性等，对不等式进行化简。同时，注意结合新定义的特点，灵活运用数学变换和逻辑推理，将复杂不等式转化为熟悉的形式。
复数新定义问题，需深入理解复数概念及其几何意义，熟练运用四则运算，结合题目新定义，灵活运用复数的模、辐角、共轭等性质进行推理计算，注意复数运算的特殊性，确保解题步骤逻辑清晰、严谨无误。两类问题均需注重方法选择和逻辑推导。
【典例7-1】定义:正割secα=1csα，余割cscα=1sinα.已知m为正实数，且m·csc2x+tan2x≥15对任意的实数xx≠kπ+π2,k∈Z均成立，则m的最小值为（ ）
A．1B．4C．8D．9
【答案】D
【解析】由已知可得m·csc2x+tan2x=msin2x+sin2xcs2x≥15，
即m≥15sin2x-sin4xcs2x.
因为x≠kπ+π2(k∈Z)，所以cs2x∈(0,1]，
则15sin2x-sin4xcs2x =151-cs2x-(1-cs2x)2cs2x=17-1cs2x+16cs2x
≤17-21cs2x·16cs2x=9，
当且仅当cs2x=14时等号成立,故m≥9，
故选：D.
【典例7-2】（多选题）一般地，对于复数z=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），在平面直角坐标系中，设z=OZ=rr≥0，经过点Z的终边的对应角为θ，则根据三角函数的定义可知a=rcsθ，b=rsinθ，因此z=rcsθ+isinθ，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，θ称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合0≤θ