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    2025届高考数学一轮复习教师用书第二章第二节基本不等式讲义(Word附解析)

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    2025届高考数学一轮复习教师用书第二章第二节基本不等式讲义(Word附解析)

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    第二节 基本不等式【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.基本不等式2.利用基本不等式求最值(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P.(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14S2.【微点拨】利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 (  )A.两个不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的B.函数y=x+1x(x>0)的最小值是2C.函数f(x)=sin x+4sinx的最小值为4D.x>0且y>0是xy+yx≥2的充分不必要条件【解析】选BD.A.不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;不等式a+b2≥ab成立的条件是a>0,b>0,故A不正确.B.由基本不等式可知y=x+1x≥2,当且仅当x=1时等号成立,故B正确.C.函数f(x)=sin x+4sinx没有最小值,故C不正确.D.由x>0且y>0可以得到xy+yx≥2,反之不成立,所以x>0且y>0是xy+yx≥2的充分不必要条件,故D正确.2.(忽视等号成立的条件)函数y=x2+4x2-2(-13【解析】选D.令t=x2,00,则fx=4x+9x的最小值为 (  )A.4 B.9 C.12 D.21【解析】选C.因为x>0,由基本不等式得:fx=4x+9x≥2 4x·9x=12,当且仅当4x=9x,即x=32时等号成立,即fxmin=12.(2)已知a,b∈R,且2a-b-2=0,则9a+13b的最小值为 (  )A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选C.因为2a-b-2=0,所以2a-b=2,因为32a>0,3-b>0,所以9a+13b=32a+3-b≥232a×3-b=232a-b=232=6,当且仅当32a=3-b2a-b=2,即a=12b=-1时,取等号,故9a+13b的最小值为6.【解题技法】利用基本不等式求最值的条件必须满足的三个条件为“一正、二定、三相等”.(1)“一正”:各项必须为正数.(2)“二定”:要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.角度2 配凑法[例2](1)若x0,y>0,x+3y=2,则1x+1y的最小值为 (  )A.3 B.1+ 3C.2+ 32 D.2+ 3【解析】选D.因为x>0,y>0,且x+3y=2,所以1x+1y=121x+1yx+3y=124+3yx+xy≥2+ 3yx·xy=2+ 3,当且仅当3yx=xy,即y=3- 33,x= 3-1时取等号.(2)已知b满足a+b=ab-1,求a+b的最小值.【解析】因为a+b=ab-1,所以a=b+1b-1>0,所以b>1.所以a+b=b+1b-1+b=b-1+2b-1+b=1+2b-1+b=1+2b-1+(b-1)+1=2+(b-1)+2b-1≥2+2 (b-1)·2b-1=2+2 2(当且仅当b=1+ 2,a=1+ 2时,取等号).【解题技法】1.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.2.常数代换法求最值适用的题型及解题通法当式子中含有两个变量,且条件和所求的式子分别为整式和分式时,常构造出(ax+by)(mx+ny)(a,b,m,n为常数且大于0)的形式,利用(ax+by)(mx+ny)=am+bn+bmyx+anxy≥am+bn+2abmn(当且仅当bmyx=anxy时,等号成立)得到结果.角度4 消元法[例4](2024·烟台模拟)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为__________. 【解析】方法一(换元消元法):由已知得9-(x+3y)=xy=13·x·3y≤13·(x+3y2)2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号.即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,得t≥6,即x+3y的最小值为6.方法二(代入消元法):由x+3y+xy=9,得x=9-3y1+y,所以x+3y=9-3y1+y+3y=9-3y+3y(1+y)1+y=9+3y21+y=3(1+y)2-6(1+y)+121+y=3(1+y)+121+y-6≥23(1+y)·121+y-6=12-6=6,当且仅当3(1+y)=121+y,即y=1,x=3时取等号,所以x+3y的最小值为6.答案:6【解题技法】利用消元法、换元法求最值的方法(1)消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.(2)换元法,求较复杂的式子的最值时,通常利用换元法将式子恰当变形,简化式子,再利用基本不等式求解.[例5](必修第一册P58T5变形式)若a,b>0,且ab=a+b+3,则ab的取值范围为________. 【解题导思】【解析】解法一(基本不等式法):由已知得a+b=ab-3,又a,b>0时,a+b≥2ab,所以ab-3≥2ab,所以(ab)2-2ab-3≥0,则(ab-3)(ab+1)≥0,所以ab≥3或ab≤-1(舍去),所以ab≥3,则ab≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立,所以ab的取值范围为[9,+∞).解法二(换元法):令ab=t(t>0),则a=tb(t>0),代入ab=a+b+3,整理得b2+(3-t)b+t=0,因为该方程有正根,所以Δ=(3-t)2-4t≥0,t-3>0,t>0即t≥9或t≤1,t>3,,解得t≥9,所以ab的取值范围为[9,+∞).答案:[9,+∞)【高考链接】(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 (  )A.1+322 B.4C.1+32 D.7【解析】选C.解法一(换元法):令x-y=t,则x=t+y,代入x2+y2-4x-2y-4=0,整理得2y2+(2t-6)y+t2-4t-4=0,因为存在实数y,则Δ≥0,即(2t-6)2-4×2(t2-4t-4)≥0,化简得t2-2t-17≤0,解得1-32≤t≤1+32.所以x-y的最大值为1+32.解法二(基本不等式法):由a2+b2≥2ab(a,b∈R)得a2+b22≥a+b22,由已知得(x-2)2+(y-1)2=9,所以92=(x-2)2+(y-1)22=(x-2)2+(1-y)22≥(x-2)+(1-y)22,当且仅当x-2=1-y,即x=4+322,y=2-322或x=4-322,y=2+322时,等号成立.即92≥x-y-122,所以(x-y-1)2≤18,则|x-y-1|≤32,所以1-32≤x-y≤1+32,故x-y的最大值为1+32.[溯源点评]从命题情境角度上,高考真题与教材题目“形似”,都考查了二元二次方程相关的知识.从解题方法上看“法同”,通过构造变形采用基本不等式法和换元法求解.体现了高考试题对于同一考点可以变换角度与变换题型进行考查.【对点训练】1.(2024·曲靖模拟)已知00(a>0,b>0)的解集为(-∞,-1)∪(12,+∞),则下列结论错误的是(  )A.2a+b=1B.ab的最大值为18C.1a+2b的最小值为4D.1a+1b的最小值为3+2 2【解析】选C.由题意,不等式(2a+3m)x2-(b-3m)x-1>0的解集为(-∞,-1)∪12,+∞,可得2a+3m>0,且方程(2a+3m)x2-(b-3m)x-1=0的两根分别为-1和12,所以-1+12=b-3m2a+3m-1×12=-12a+3m,所以2a+3m=2,b-3m=-1,所以2a+b=1,所以A正确,不符合题意;因为a>0,b>0,所以2a+b=1≥2 2ab,可得ab≤18,当且仅当2a=b=12时取等号,所以ab的最大值为18,所以B正确,不符合题意;由1a+2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2 ba·4ab=4+4=8,当且仅当ba=4ab时,即2a=b=12时取等号,所以1a+2b的最小值为8,所以C错误,符合题意;由1a+1b=(1a+1b)(2a+b)=3+ba+2ab≥3+2ba·2ab=3+22,当且仅当ba=2ab时,即b= 2a=2-1时,等号成立,所以1a+1b的最小值为3+2 2,所以D正确,不符合题意.4.已知ab>0,a+b=1,则a+4bab的最小值为______. 【解析】因为ab>0,a+b=1,所以a+4bab=a+b1b+4a=ab+4ba+5≥2ab·4ba+5=9,当且仅当ab=4ba即a=23,b=13时,等号成立.所以a+4bab的最小值为9.答案:9考点二 基本不等式的综合应用[例6](1)对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为 (  )A. 2 B.2 2 C.4 D.92【解析】选B.因为对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,所以m2+2n2≥amn,即a≤m2+2n2mn=mn+2nm恒成立,因为mn+2nm≥2 mn·2nm=2 2,当且仅当mn=2nm,即m= 2n时,取等号,所以a≤2 2,故实数a的最大值为2 2.(2)已知正数x,y满足4x+9y=xy且x+y

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