2026届高三数学二轮复习讲义：专题突破　专题六　第一讲　不等式（含解析）

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1.(2025·全国Ⅱ卷，T4)不等式x-4x-1≥2的解集是( )
A.{x|-2≤x≤1}B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x1}
2.(2025·北京，T6)已知a>0，b>0，则( )
A.a2+b2>2abB.1a+1b≥1ab
C.a+b>abD.1a+1b≤2ab
3.(2021·新高考全国Ⅰ卷，T5)已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.13B.12C.9D.6
4.(2021·全国乙卷，文T8)下列函数中最小值为4的是( )
A.y=x2+2x+4B.y=|sin x|+4|sinx
C.y=2x+22-xD.y=ln x+4lnx
5.(多选)(2020·新高考全国Ⅰ卷，T11)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A.a2+b2≥12B.2a-b>12
C.lg2a+lg2b≥-2D.a+b≤2
6.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷，T12)若x，y满足x2+y2-xy=1，则( )
A.x+y≤1B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1
命题热度：
本讲是历年高考命题常考的内容，特别是基本不等式经常和函数、数列、三角函数、解析几何等相结合考查，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为5~6分.
考查方向：
一是不等式的解法，主要是结合集合考查一元二次、分式、绝对值不等式的解法；二是三个一元二次之间的关系，不等式恒成立的问题；三是基本不等式，主要考查利用基本不等式求最值，以及基本不等式的应用.
1.答案 C
解析 x-4x-1≥2即为x+2x-1≤0，即(x+2)(x-1)≤0，x-1≠0，故-2≤x4，所以选项B不符合题意.
(或设|sin x|=t，则t∈(0，1]，根据函数y=t+4t在(0，1]上单调递减可得ymin=1+41=5，所以选项B不符合题意.)
选项C，因为y=2x+22-x≥22x·22-x=4，当且仅当2x=22-x，即x=2-x，即x=1时不等式取等号，所以ymin=4，所以选项C符合题意.
选项D，当01，即2a-b>12，故B正确；
对于C，lg2a+lg2b=lg2ab≤lg214=-2，故C错误；
对于D，由(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤2，得a+b≤2，故D正确.
6.答案 BC
解析 因为ab≤a+b22≤a2+b22(a，b∈R)，
由x2+y2-xy=1可变形为
(x+y)2-1=3xy≤3x+y22，
解得-2≤x+y≤2，
当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，
当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；
由x2+y2-xy=1可变形为
(x2+y2)-1=xy≤x2+y22，
解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确；
因为x2+y2-xy=1可变形为
x-y22+34y2=1，
设x-y2=cs θ，32y=sin θ，
所以x=cs θ+33sin θ，
y=233sin θ，
因此x2+y2=cs2θ+53sin2θ+233sin θcs θ=1+33sin 2θ-13cs 2θ+13
=43+23sin2θ-π6∈23，2，
所以当x=33，y=-33时满足等式，
但是x2+y2≥1不成立，所以D错误.
考点一 不等式的解法
例1 (1)设集合A={x||x-a|3，总存在至少一个k-分集
C.若S是2-分集，则|x-y|>23
D.若S是1-分集，则(x-2)2+(y-4)20，y>0，x+y=6，得xy≤x+y22=622=9，当且仅当x=y=3时等号成立，即(xy)max=9.
对于A，当k=3时，则S={(x，y)|x>0，y>0，x+y=6，且xy≥9}，又xy≤9，故S={(x，y)|x=y=3}={(3，3)}，故A正确；
对于B，当k>3时，xy≥3k>9，不符合(xy)max=9，故B不正确；
对于C，当k=2时，xy≥6，所以|x-y|=(x+y)2-4xy≤62-4×6=12=23，故C不正确；
对于D，当k=1时，xy≥3，又x>0，y>0，x+y=6，所以x(6-x)≥3，解得3-6≤x≤3+6，(x-2)2+(y-4)2=(x-2)2+(6-x-4)2=2(x-2)2≤2(1+6)2=14+46