第07讲数列与不等式讲义-2026年高考数学二轮复习数列专题（新高考通用）（原卷版+解析版）

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TOC \ "1-2" \h \u
\l "_Tc18429" 思维导图 PAGEREF _Tc18429 \h 2
\l "_Tc15424" 高考分析 PAGEREF _Tc15424 \h 2
\l "_Tc4693" 学习目标 PAGEREF _Tc4693 \h 3
\l "_Tc3818" 知识要点 PAGEREF _Tc3818 \h 4
\l "_Tc5729" 解题策略 PAGEREF _Tc5729 \h 5
\l "_Tc23364" 题型归纳 PAGEREF _Tc23364 \h 6
\l "_Tc16885" 题型01：比较大小 PAGEREF _Tc16885 \h 6
\l "_Tc22603" 题型02：判断数列不等式是否成立或由数列不等式求n的范围 PAGEREF _Tc22603 \h 9
\l "_Tc14015" 题型03: 根据不等式恒成立求参数范围 PAGEREF _Tc14015 \h 16
\l "_Tc29933" 题型04: 数列不等式存在求参数取值范围 PAGEREF _Tc29933 \h 52
\l "_Tc13295" 题型05: 证明与通项有关的不等式 PAGEREF _Tc13295 \h 59
\l "_Tc14261" 题型06: 直接求和证明不等式 PAGEREF _Tc14261 \h 63
\l "_Tc8629" 题型07: 先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式 PAGEREF _Tc8629 \h 76
\l "_Tc7344" 题型08: 先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式 PAGEREF _Tc7344 \h 80
\l "_Tc30203" 题型09: 与导数有关的数列不等式. PAGEREF _Tc30203 \h 98
\l "_Tc27601" 题型10: 数学归纳法证明数列不等式 PAGEREF _Tc27601 \h 105
\l "_Tc9176" 题型11: 数列不等式与三角函数综合 PAGEREF _Tc9176 \h 109
\l "_Tc4892" 题型12: 数列不等式与概率统计 PAGEREF _Tc4892 \h 115
\l "_Tc4986" 题型13：新定义数列 PAGEREF _Tc4986 \h 119
\l "_Tc11089" 巩固提升 PAGEREF _Tc11089 \h 123
一、 分值占比与题型分布
数列不等式是高考数学的核心交汇考点，分值占比约10-15分，常融合在数列解答题中，部分试卷会以选择/填空的压轴题形式出现。
1. 基础题型：选择/填空考查数列项的大小比较、简单的放缩判断、基本不等式求数列最值，难度中等偏易。
2.综合题型：解答题多为数列与不等式的交汇题，常作为次压轴题，以“求通项→求和→证明不等式”的三段式结构命题，部分新高考卷会结合新定义、实际情境（如数列模型的最优解问题）命题。
二、 核心考点与命题趋势
1. 核心考点
◦ 基础层：等差/等比数列的通项与求和公式结合不等式的基本运算；利用数列单调性求最值；基本不等式的应用。
◦ 进阶层：放缩法证明数列不等式（裂项放缩、等比放缩是高频考点）；数列不等式恒成立问题（转化为数列最值求解参数范围）；S_n与a_n互化后的不等式分析。
◦ 拔高层：数学归纳法证明数列不等式；构造函数法结合导数处理复杂数列不等式；柯西不等式在数列最值中的应用（新高考卷偶有涉及）。
2. 命题趋势
◦ 难度分层明显：基础题保分，综合题拉分，区分度高。
◦ 注重方法迁移：强调放缩的“适度性”、函数与数列的转化思想，淡化复杂技巧，强化通性通法。
◦ 情境化创新：结合实际问题（如增长率、产量优化）设置数列模型，考查不等式的实际应用。
一、 基础目标（全体学生必达）
1. 能结合等差数列、等比数列的通项与求和公式，解决简单的数列项或前n项和的不等式判断、求解问题。
2. 掌握基本不等式的使用条件，会用其求数列相关的最值，能通过作差、作商比较数列中两项的大小关系。
3. 理解数列单调性与不等式的关联，能通过作差法判断数列单调性，进而求解数列的最大、最小值。
二、 进阶目标（多数学生突破）
1. 熟练运用裂项放缩、等比放缩的基本技巧，证明形如Sn < k（k为常数）的数列不等式，把握放缩的“适度性”。
2. 能将数列不等式恒成立问题转化为数列最值问题，通过分析数列单调性或结合函数工具，求解参数的取值范围。
3. 掌握Sn 与an 的互化方法，能处理含Sn 与an 的不等式问题，且不遗漏n=1的检验步骤。
三、 拔高目标（尖子生冲刺）
1. 会用数学归纳法证明与自然数n相关的复杂数列不等式，能结合导数工具构造函数，利用函数单调性推导数列不等式。
2. 理解柯西不等式等拓展不等式的应用场景，能运用其优化数列不等式的证明过程，提升解题效率。
3. 具备解决新情境、新定义下数列不等式综合题的能力，能实现跨模块知识迁移，同时形成规范的解题书写逻辑。
数列中的不等式问题
一：比较大小
比较的大小,通常作差,转化为判断与0的大小,若,也可以转化为判断与1的大小.
二：判断数列不等式是否成立或由数列不等式求的范围
此类问题,一般先把所给数列不等式转化为关于n的不等式,通过解不等式或利用函数、数列性质求解.
三：根据不等式恒成立求参数范围
不等式恒成立问题,通常通过分离参数,把问题转化为或的形式,再利用数列单调性或函数单调性,求的最值,然后确定的范围.
四：数列的能成立问题
五：证明与通项有关的不等式
求解此类问题,一般是先确定通项,再通过放缩或数列单调性证明.
六：直接求和证明不等式
七：先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式
证明与前n项有关的不等式,若所给数列可以转化为等差（比）数列求和,或可以裂项求和,通常是先求和,再放缩.
八：先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式
此类问题,通常是所给数列无法求和,要先把所给数列放缩成等差（比）数列或可以裂项求和、错位相减法求和的数列,再求和,放缩时要观察待证结论,防止放缩过度或不足.
关于放缩：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①考虑放缩的方向；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②放缩后的常见形式：裂项形，等比形，等差形；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若放缩后超过所证数，则考虑前几项不放缩。
九：借助导数证明与前n项和有关的不等式.
求解此类问题,通常先利用导数证明一个不等式,再把不等式中的自变量用代换,通过累加或累乘法证明所给不等式.
十：数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
归纳奠基→（1）证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立
归纳递推→（2）以当“n=k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件，
推出“当n=k+1时命题也成立”
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
一、 通项与求和类不等式解题策略
1. 基本量运算：针对等差、等比数列，利用通项公式an 和前n项和公式Sn列方程，求解a1,d,q等基本量，代入不等式直接判断或求解范围。
2. Sn 与an互化：务必检验n=1时是否与n≥2的通项一致，再结合不等式分析。
3. 求和技巧结合不等式：
◦ 错位相减、分组求和、裂项相消求出Sn后，直接代入不等式求解参数范围或证明结论。
◦ 若无法直接求和，可先对通项放缩，转化为可求和的数列（如等比数列），再通过求和结果推导不等式。
二、 不等式证明类解题策略

1. 放缩法（核心方法）
◦ 裂项放缩：适用于分式型通项，将an拆成bn - bn−1的形式，放缩后可裂项求和，注意放缩的“度”，避免过度放缩导致证明失败。
◦ 等比放缩：将非等比数列通项放缩为等比数列通项，利用等比数列求和公式放缩求和，常用于证明Sn1时，fx>0恒成立，求正整数k的最大值；
（ii）记an=1+1×21+2×3⋯1+n−1n，bn=e2n−22n，n∈N+且n≥2.试比较an与bn的大小并说明理由.
【答案】(1)−13或1；(2)（i）5 （ii）an>bn，证明理由见解析.
【解析】（1）求出切线，令切线过原点或切线斜率为−1即可；
（2）（i）利用导数，求出fx的最小值fxmin，令fxmin>0求解即可；
（ii）分别对an和bn取对数，对lnan进行放缩，再利用（i）的结论进行累加和裂项求和，证明lnan>lnbn即可.
（1）由已知，fx定义域为0,+∞，
∵fx=lnx−kx−2x+2=lnx+2kx+2−k，
∴f1=ln1+2k1+2−k=k+2，∴切点1,f1即1,k+2，
又∵f'x=1x−2kx2=x−2kx2，
∴由导数的几何意义，函数fx在点1,k+2处的切线斜率为f'1=1−2k，
∴函数fx在点1,k+2处的切线方程为y−k+2=1−2kx−1，
整理得，1−2kx−y+3k+1=0.
若切线在两坐标轴上截距相等，则
①当切线过原点时，3k+1=0，解得k=−13，切线方程为y=53x，
②当切线不过原点时，斜线斜率1−2k=−1，解得k=1，切线方程为x+y−4=0.
∴k的值为−13或1.
（2）（i）由（1）知，f'x=x−2kx2，令f'x=0，解得，x=2k，
若k为正整数，则2k>1，
∴当x∈1,2k时，f'x=x−2kx20，hx=x2+8x+12单调递增.
又h3=32+83+12=143，h5=52+85+12=2350，得函数fx在0,+∞上是增函数，又fn1>0，fn230时，
由函数fnx=−1+x+x222+x332+…+xnn2n∈N*，
可得f'x=1+x2+x23+…+xn−1n>0，故函数fx在0,+∞上是增函数.
由于f11=0，当n≥2时，fn1=122+132+…+1n2>0，即fn1>0.
又fn23=−1+23+k=2n23kk2≤−13+14k=2n23k= −13+142321−23n−11−23=−13⋅23n−10时，
∵fn+1x=fnx+xn+1(n+1)2>fnx，∴fn+1xn>fnxn=fn+1xn+1=0.
由fn+1x在0,+∞上单调递增，可得xn+10，故数列xn为减数列，
即对任意的n、p∈N∗，xn−xn+p>0.
由于fnxn=−1+xn+xn222+⋯+xnnn2=0 （1），
fn+pxn+p=−1+xn+p+xn+p222+⋯+xn+pnn2+xn+pn+1(n+1)2+xn+pn+2(n+2)2+⋯+xn+pn+p(n+p)2 （2）
用（1）减去（2）并移项，利用0