2025-2026学年高二数学下学期第一次月考02（上海专用，范围：沪教版选择性必修第一册第1~2章坐标平面上的直线+圆锥曲线）

这是一份2025-2026学年高二数学下学期第一次月考02（上海专用，范围：沪教版选择性必修第一册第1~2章坐标平面上的直线+圆锥曲线）试卷主要包含了测试范围等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：：沪教版选择性必修一 坐标平面上的直线、圆锥曲线。
一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．）
1．已知点到直线的距离为1，则____________.
【答案】或
【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果.
【详解】因为点到直线的距离为1，
所以，解得或.
故答案为：或.
2．直线：的倾斜角是______.
【答案】
【分析】求出斜率，根据斜率可求得倾斜角.
【详解】因为直线：，斜率，
故倾斜角为.
故答案为：.
3．已知直线l与直线的倾斜角相等，且直线过点，则直线l的方程为_________.
【答案】
【分析】求出直线的斜率，利用点斜式求直线方程即可.
【详解】直线l与直线的倾斜角相等，可得直线的斜率为2，
直线过点，则直线l的方程为，即．
故答案为：．
4．已知，圆的面积为，则______.
【答案】
【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解.
【详解】已知圆的方程为 ，
可得，
此为标准形式，圆心为 ，半径平方为 ，
由 得：，
解方程：.
故答案为：.
5．若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可.
【详解】由题意知：直线过定点 ，
曲线是以 为圆心，1为半径，且位于 轴上半部分的半圆，如图所示
当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 .
当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离 ，解得，
结合图像可知，当 时，直线 和曲线恰有两个交点.
故答案为：.
6．已知椭圆的左顶点为，则该椭圆的离心率为________．
【答案】
【分析】依题意可得，即可求出，从而求出离心率.
【详解】因为椭圆的左顶点为，
所以，则，所以该椭圆的离心率.
故答案为：
7．与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．
【答案】
【详解】试题分析：设所求双曲线为，把点(6,8)代入，得,解得 λ=-4，
∴所求的双曲线的标准方程为．故答案为．
考点：双曲线的性质和应用．
8．若抛物线的焦点在直线上，则______.
【答案】
【分析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数的值.
【详解】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，则，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题.
9．已知分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使得，点在的平分线上，，且，则椭圆的离心率为______．
【答案】/
【分析】根据椭圆的定义，分析几何关系，建立关于的等量关系，即可求解.
【详解】如图，设，延长OQ交于，
则为的中点，则为中点，
，又点在的平分线上，则，
故是等腰直角三角形，
，
即，
又，即，
，在中，，即，
，
即.
故答案为：.
10．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值__________.
【答案】4
【分析】由已知可得，利用基本不等式可求的最小值．
【详解】设圆心为，则为抛物线的焦点．设，则，
要使最小，则需最大，，且，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值是4．
故答案为：4．

11．椭圆的右焦点是F， 过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O是坐标原点，若直线AB上存在异于F的点P，使得，则的取值范围是_____.
【答案】
【分析】分类讨论直线AB的斜率是否为0，设设，联立方程，由数量积结合韦达定理可得，结合基本不等式运算求解即可.
【详解】由题意可知：，则，
因为直线AB过F，可知直线AB与椭圆必相交，
若直线AB的斜率为0，即直线AB为x轴，不妨设，
则，
因为，则，解得，
当，此时点即为点，不合题意；
当，此时点，；
若直线AB的斜率不为0，设，
则，
联立方程，消去x得，
则，
因为，则，
可得，
整理得，则，，
即，
可得，
因为，则，当且仅当，即时，等号成立，
可得，所以；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法
一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．
12．如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为________.

【答案】
【分析】由题意求得点轨迹，根据轨迹判断计算的取值范围.
【详解】设为椭圆的右焦点，连接，如图所示：
、分别为、的中点，，为直径，，
，
所以点轨迹是以为圆心为半径的圆，在圆内，且，
所以，，，
即的取值范围为.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设直线方程为，与双曲线联立消去得，，因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根，所以，即可求出答案.
【详解】依题意知，直线的斜率存在，设为，双曲线的中心为，
因为直线经过双曲线的中心，所以设直线方程为，
由，消去得，，
因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根，
所以，即，解得或，
所以直线l的斜率的取值范围是：.
故选：B.
14．在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，点满足，当点在上运动时，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设点并利用向量关系得出，代入椭圆方程替换即可得点的轨迹方程.
【详解】根据题意可设点，则，
又点在椭圆上，所以，
易知，由可得，
因此，代入即可得，
整理可得点的轨迹方程为.
故选：A
15．已知直线过双曲线的左焦点，且与C的渐近线平行，则l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线焦点坐标求出双曲线的标准方程，然后写出双曲线的渐近线，然后分析所求直线所过的点可知它和双曲线的那一条渐近线平行即可.
【详解】由双曲线方程为：，
所以，由左焦点为，
所以，由，
所以，
所以该双曲线的标准方程为：，
所以渐近线方程为：，
直线恒过点，
且，且过，
所以直线与渐近线平行，
故，
设直线l的倾斜角为，
则，
又，
所以，
故选：D.
16．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题设有，设结合定义得，利用三角形面积公式有，即是曲线与以直线的圆的交点，联立曲线与圆求得，应用两点距离公式求.
【详解】由原点在曲线上，则，
设，则，
所以，则，
所以，
由，且，可得，
所以，易知是曲线与以直径的圆的交点，
联立，且在第一象限，可得，
所以.
故选：B
三、解答题(本大题共有5题，满分78分)
17．（本题14分）已知圆
(1)若直线，，，经过圆心，求的最大值．
(2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程．
【答案】(1)
(2)或.
【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径，
因为直线经过圆心，
所以，又，，
，当且仅当时等号成立，
即，
所以的最大值为；分
（2）过点斜率不存在的直线为，
联立，可得，
所以直线与圆有且只有一个交点，满足条件，
过点的斜率为的直线方程为，
若直线与圆有且只有一个交点，
则点到直线距离为，
所以，化简可得，
解得，即直线方程为，
所以若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，
则该直线方程为或分
18．（本题14分）已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)利用已知条件及，可求得双曲线方程；
(2)以线段为直径的圆经过点转化为，再联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理得到，可得到直线过的定点.
【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
所以右焦点为到渐近线的距离为，
因为双曲线的离心率为，所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为．分
（2）如图，
设，，
联立，得，
则，，，
所以，
，
因为以线段为直径的圆经过点，所以，
所以，即，
所以，
化简得，即，
因为，，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点分
19．（本题14分）在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线.
(1)若点在上，且，求点的坐标；
(2)设抛物线的焦点为，点，若是上的任意一点，求的最小值；
(3)已知过点的直线交抛物线于两点，，求直线的方程.
【答案】(1)或；
(2)
(3)
【分析】（1）联立抛物线和即可求出；
（2）由抛物线的定义，再数形结合可得；
（3）设直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理以及弦长公式求解.
【详解】（1）因为，所以点在圆上，
联立，解得或，则或；分
（2）由题意得，准线方程为，
过点作，垂足为
由抛物线的定义可知，等号成立时三点共线，
则的最小值为；分

（3）由题意可知，直线的斜率不为，故设，
联立，得，
设，则，
则
，
则解，得（负值舍去），则，
故直线的方程为分
20．（本题18分）已知椭圆的两焦点分别为，离心率为，为椭圆上三个不重合的点，且直线经过点与关于轴对称.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标；
(3)求内切圆半径的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为
(3)
【分析】（1）根据焦点坐标，可得c值，根据离心率，可得a值，则可求出，即可得答案.
（2）直线AC的方程为，与椭圆联立，设，则，根据韦达定理，可得表达式，求出直线AB的方程，化简整理，即可得答案.
（3）根据椭圆的定义，可得的周长，即可得内切圆半径r的表达式，根据韦达定理，可得的面积S的表达式，结合基本不等式，可得S的范围，即可得答案.
【详解】（1）由椭圆的焦点分别为，得，
由离心率，得，则，
所以椭圆的标准方程为分
（2）证明：由直线AC过，设直线AC的方程为，
因为不重合且B与关于轴对称，所以m存在且，
联立，得，
设，则，
则
又直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，
整理得
令，得，所以直线AB恒过点分
（3）由椭圆的定义得的周长为，则的面积，
所以，
又
令，由，得，则，
所以，
因为在上单调递增，
所以，则，
所以，即内切圆半径的取值范围为分
21．（本题18分）已知椭圆可由椭圆绕原点逆时针旋转得到.经过（）变换：可将椭圆的方程转化为的方程.
(1)若上的点经过（*）变换后得到上的对应点的坐标为，求的值；
(2)设椭圆的焦点为（其中在第一象限）.
（i）求的坐标；
（ii）过在第一象限内的顶点作切线，过作轴的垂线，在上且在外的一点作的两条切线，切点分别为，直线和分别交直线于两点.证明：直线和的交点在定直线上.
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】 （1）利用信息建立方程组可求解；
（2）（i）由题意得的方程组，求出变换后的焦点坐标，再利用变换求出变换前的焦点坐标；
（ii）求出点A坐标，直线及的方程，设出切点坐标，写出切线方程，切线方程与直线m联立求出交点坐标，再求出直线和的方程及交点坐标即可证明.
【详解】（1）由题意得，解得，所以.
分
（2）(i)由题意得，化简得，解得，
故曲线的焦点坐标为.
设，则，，
解得，所以分
（ii）与联立,得,即，
故，
直线的方程为：，切线，
设，
，则切线：，
因在切线上，故 ；
同理：， .
由，解得 ，
同理可得 .
直线，
直线，
联立解得，
故直线和的交点在定直线上分