3.整式——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

这是一份3.整式——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
一、基础题
1．下列运算正确的是（ ）
A．a+a=2a2B．a2⋅a=2a2C．−ab22=ab4D．2a2÷a=4a
2．下列运算中，计算正确的是（ ）
A．a−b2=a2−b2B．3a2⋅2a3=6a6
C．5a−2a=3aD．a32=a5
3．下列运算正确的是（ ）
A．m23=m6B．m2⋅m3=m6C．m−2=−m2D．m2÷m2=m2
4．下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3=a2B．a2+a2=a4C．2a⋅4a2=8a2D．a23=a6
5．若a−b=−3，则2a−2b+1的值是（ ）
A．−5B．7C．5D．−7
6．计算：(3−π)0+2sin30°= ．
7．已知x=2是方程3x−m=x+2n的一个解，则整式m+2n+2025的值为 ．
8．如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入x的值为4时，输出的值为 ．
9．有这样一道题：“求2x3−3x2y−2xy2−x3−2xy2+y3+−x3+3x2y−y3的值，其中x=12024，y=−1”．小明同学把“x=12024”错抄成了“x=−12024”，但他的计算结果竟然正确，请你说明原因，并计算出正确结果．
10．化简求值：3mn−13m−2mn−12n，其中m−n+3+mn−22=0．
二、能力题
11．定义：x※y=1x−1y．已知x−y=4，x※y=2，则xy2−x2y=（ ）
A．−8B．8C．−32D．32
12．下列式子运算正确的是（ ）
A．x2+x3=x6B．x6÷x4=x2C．x23=x8D．x2⋅x3=x6
13．用棋子摆出如图所示的一组“口”字，照样子摆下去，摆第n个“口”字需用棋子（ ）
A．4n枚B．(4n−4)枚C．(4n+4)枚D．n2枚
14．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB、BC、AC的中点，则△DEF的周长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
15．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有999个菱形，则n= ．
16．已知函数f(x)=3x−5，那么f(2)= ．
17．我国在数的发展上有辉煌的成就，中国古代的算筹计数法可追溯到公元前五世纪，算筹是竹制的小棍，摆法有纵式和横式两种（如图）．以算筹计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…，这样纵横依次交替，零以空格表示．如3257表示成“”．算筹“”所表示的数是 ．
18．先化简，再求值：
（1）23x2−4xy−42x2−3xy−1,其中x=1，y=2.
（2）−2x2−−3x2−252x−32+5x,其中x=-2.
19．当地时间10月30日，国家/地区奥委会协会（简称“国际奥协”）第27届全体大会在葡萄牙卡斯凯什开幕，在当次的颁奖典礼上，中国乒乓球运动员马龙获得杰出运动生涯奖，乒乓球一直是中国的“国球”，这个称号不仅源于中国在乒乓球国际竞技赛场上的卓越表现，还与中国深厚的乒乓球文化和广泛的群众基础密切相关，某班准备购买一些乒乓球拍和乒乓球，市场调查情况如下：甲、乙两家店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家店乒乓球拍标价均为每副120元，乒乓球的标价均为每盒40元，甲店每卖一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按标价打8.5折，现该班需购买球拍6副，乒乓球x盒（不少于6盒）．
（1）去甲店购买总费用为 元；去乙店购买总费用为 元．（请用含x的代数式表示）
（2）当购买多少盒乒乓球时，甲、乙两家店所需费用一样？
（3）当购买40盒乒乓球时，去哪家店购买更划算？
（4）当购买40盒乒乓球时，你有其它更省钱的方案吗？并按该方案计算其费用．
20．【综合与实践】有两张长12cm，宽10cm的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．
（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是_______ ；（填“图1”或“图2”）
（2）已知图1中裁去的小正方形的边长为3cm，求做成的纸盒体积；
（3）已知图1，图2中裁去的小正方形边长分别为acm和2acm，设m为图1裁得的纸盒底面周长，n为图2方式裁得的纸盒底面周长，请求出m、n的值．
三、拓展题
21．阅读材料，解答下列问题：
①两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：a与a，2+1与2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
将23+1化简：23+1=2(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−1=2(3−1)2=3−1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
（1）请你写出3+27的有理化因式： ．
（2）计算：13+1+15+3+17+5+⋅⋅⋅+12019+2017．
（3）已知15+x2−26−x2=1，求15+x2+26−x2的值．
22．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．
例如：方程2x=4和x+2=0为“和谐方程”．
（1）若关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“和谐方程”，求m的值；
（2）若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为n，求n的值；
（3）若无论m取任何有理数，关于x的方程2x+ma3=b2+m（a，b为常数）与关于y的方程y+1=2y−2都是“和谐方程”，求ab的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解： A、a+a=2a,故此选项错误；
B、a2⋅a=a3, 故此选项错误；
C、−ab2=a2b2,故此选项错误；
D、2a2÷a=4a,正确.
故答案为：D.
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简求出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、a−b2=a2−2ab+b2≠a2-b2，∴此选项不符合题意；
B、3a2⋅2a3=6a5≠6a6，∴此选项不符合题意；
C、5a−2a=3a，∴此选项符合题意；
D、a32=a6≠a5，∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”可求解；
B、根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解；
C、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：A.m23=m6，运算正确，∴此选项符合题意；
B.m2⋅m3=m5≠m6，原选项计算错误，∴此选项不符合题意；
C.m−2=1m2≠-m2，原选项计算错误，∴此选项不符合题意；
D.m2÷m2=1≠m2，原选项计算错误，∴此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】A、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
C、根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、a6÷a3=a3，故该选项错误，不符合题意；
B、a2+a2=2a2，故该选项错误，不符合题意；
C、2a·4a2=8a3，故该选项错误，不符合题意；
D、a23=a6，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据同底数幂的除法、合并同类项、单项式乘法及幂的乘方的运算规则，然后再逐个验证选项，即可求解。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：2a-2b+1=2（a-b）+1=2×（-3）+1=-5.
故答案为：A.
【分析】逆用乘法分配律将所求代数式变形，将已知代数式的值代入，根据有理数的加减乘法则计算即可.
6．【答案】2
【解析】【解答】解：由题意得(3−π)0+2sin30°=1+2×12=2，
故答案为：2
【分析】根据零指数幂结合特殊角的三角函数值进行运算，进而即可求解。
7．【答案】2029
【解析】【解答】解：把x=2代入方程3x−m=x+2n，得：6−m=2+2n，
则m+2n=4，
所以m+2n+2025=4+2025=2029．
故答案是：2029．
【分析】将x=2代入方程可得m+2n=4，再整体代入代数式即可求出答案.
8．【答案】3
【解析】【解答】解：当x=4时，
4×−96×−0.25×148−−1
=4×−96×−14×148+1
=4×96×14×148+1
=2+1
=3，
故答案为：3．
【分析】本题考查简单的数值运算程序，以及有理数混合运算法则，根据输入x=4，得到运算的式子4×−96×−0.25×148−−1，结合有理数乘法运算法则，计算求解，即可得到答案．
9．【答案】解：2x3−3x2y−2xy2−x3−2xy2+y3+−x3+3x2y−y3=2x3−3x2y−2xy2−x3+2xy2−y3−x3+3x2y−y3
=−2y3，
∴此题的结果与x的取值无关，
所以当y=−1时，原式=−2×−13=2
【解析】【分析】先根据整式运算法则对原式化简，可得结果−2y3，其中不含x，即可解答．
10．【答案】解：3mn−13m−2mn−12n
=3mn−m−2mn+n
=mn−m+n；
∵m−n+3+mn−22=0，
∴m−n+3=0，mn−2=0，
∴m−n=−3，mn=2，
∴原式=mn−m+n=mn−m−n=2+3=5．
【解析】【分析】先利用整式的加减法化简可得mn−m+n，再利用非负数之和为0的性质求出m−n=−3，mn=2，最后将其代入mn−m+n计算即可.
11．【答案】B
【解析】【解答】解：∵x※y=1x−1y=−x−yxy=−4xy=2
∴xy=−2，
∴xy2−x2y=−xyx−y=2×4=8
故选：B
【分析】
先利用新定义和分式减法得到xy=−2，再对所求式子进行因式分解并整体代入计算即可．
12．【答案】B
【解析】【解答】解：A、x2和x3不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、x6÷x4=x2，故原选项计算正确，符合题意；
C、x23=x6，故原选项计算错误，不符合题意；
D、x2⋅x3=x5，故原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
13．【答案】A
【解析】【解答】由题可得：第一个“口”有1×4=4枚旗子；
第2个“口”有2×4=8枚旗子；
第3个“口”有3×4=12枚旗子；
⋯
∴ 摆第n个“口”字需用 4n枚 棋子，
故答案为：A.
【分析】根据摆前面的几个口所需的棋子数得到规律，进而得到摆第n个口所需的棋子数，从而求解.
14．【答案】C
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别为△ABC三边的中点，
∴EF=12AB，DE=12AC，DF=12BC
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB+AC+BC=6，
∴△DEF的周长=EF+DE+DF=12AB+AC+BC=3，
故答案为：C．
【分析】先利用三角形中线的性质可得EF=12AB，DE=12AC，DF=12BC，再利用等边三角形的性质及周长公式可得∴AB+AC+BC=6，最后求出△DEF的周长即可.
15．【答案】500
【解析】【解答】解：根据题意，得第1幅图中有1个菱形：1=2×1−1 ，
第2幅图中有3个菱形：3=2×2−1 ，
第3幅图中有5个菱形：5=2×3−1 ，
……
∴第n幅图中有(2n−1)个菱形，
当2n−1=999时，
解得：n=500，
故答案为：500．
【分析】先根据前3幅图中菱形的个数得到规律：第n幅图中有(2n−1)个菱形，然后令2n−1=999，解方程求出n的值即可.
16．【答案】-1
【解析】【解答】解：∵f(x)=3x−5
∴f(2)=32−5=3−3=−1
故答案为：-1．
【分析】根据题干中的计算方法，将x=2代入计算即可。
17．【答案】875
【解析】【解答】解：根据题意，
∴个位数为：5，十位数为：7，百为数为：8，
故这个数为：875，
故答案为：875．
【分析】根据摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横以及图标横竖式代表的数值分别得出个位，十位，百位数字即可得出答案．
18．【答案】（1）解：原式=6x2−8xy−8x2+12xy+4=−2x2+4xy+4,
当x=1，y=2时，
原式=-2×1+4×1×2+4
=10.
（2）解：原式=−2x2−−3x2−5x+3+5x=x2−3.
当x=-2时，
原式 =−22−3=4−3=1,
【解析】【分析】（1）先去括号，再合并同类项，再将x=1，y=2代入求值；
（2）先去中括号，再去小括号，合并同类项，再将x=-2代入求值.
19．【答案】（1）40x+480，34x+612；
（2）解： 根据题意，得
40x+480=34x+612，
解得x=22．
答：当购买22盒乒乓球时，甲、乙两家店所需费用一样；
（3）解： 当x=40时，40x+480=40×40+480=2080；
34x+612=34×40+612=1972．
∵2080>1972，
∴当购买40盒乒乓球时，去乙店购买更划算；
（4）解： 有更省钱的方案，
在甲店购买6副球拍，在乙店购买40−6=34（盒)乒乓球，
所需费用为120×6+40×0.85×34=1876．
答：有其它更省钱的方案，在甲店购买6副球拍，乙店购买34盒乒乓球，该方案所需费用为1876元．
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得
去甲店购买总费用为120×6+40x−6=40x+480元；
去乙店购买总费用为120×0.85×6+40×0.85x=34x+612元．
故答案为：40x+480，34x+612；
【分析】（1）根据甲店总费用=购买6副球拍费用+购买(x-6)盒乒乓球费用，乙店总费用=购买6副球拍费用×0.85+购买x盒乒乓球费用×0.85，列式并化简即可；
（2）根据甲、乙两家店所需费用一样，结合（1）所得式子可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）将x=40，代入（1）的结论中，计算出甲、乙两店的总费用，比较即可得出结论；
（4）结合两店给出的优惠方案，找出更省钱的方案（ 去甲商场购买6副乒乓球拍，去乙商场购买34盒乒乓球 ），再求出该方案所需总费用即可．
（1）解：根据题意，得
去甲店购买总费用为120×6+40x−6=40x+480元；
去乙店购买总费用为120×0.85×6+40×0.85x=34x+612元．
故答案为：40x+480，34x+612；
（2）根据题意，得
40x+480=34x+612，
解得x=22．
答：当购买22盒乒乓球时，甲、乙两家店所需费用一样；
（3）当x=40时，40x+480=40×40+480=2080；
34x+612=34×40+612=1972．
∵2080>1972，
∴当购买40盒乒乓球时，去乙店购买更划算；
（4）有更省钱的方案，
在甲店购买6副球拍，在乙店购买40−6=34（盒)乒乓球，
所需费用为120×6+40×0.85×34=1876．
答：有其它更省钱的方案，在甲店购买6副球拍，乙店购买34盒乒乓球，该方案所需费用为1876元．
20．【答案】（1）图2
（2）解：图1中裁去的小正方形边长为3cm，
做成的纸盒的体积：V长=12−3×2×10−3×2×3=72cm3；
（3）解：m=212−2a+10−2a=44−8acm，
n=212−2×2a2+10−2×2a=32−12acm
【解析】【分析】本题考查立体图形的展开与折叠，长方体的体积及长方形的周长计算公式，列代数式，整式的加减运算，理解题意是解题关键．
（1） 因为有盖纸盒需要一个底面和一个盖子，裁剪时需要同时得到底面和盖面的形状，观察图形可知：图1裁剪后只能得到无盖的五个面(底面+四个侧面)图2裁剪后可以得到底面、侧面和盖面，因此做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是图2，由此可得出答案；
（2）根据题意先确定做成的纸盒的长、宽、高：由原纸板长12cm，宽10cm，裁去边长为3cm的小正方形可得：纸盒的长为：12−2×3=6cm；纸盒的宽为：10−2×3=4 cm；纸盒的高为：3cm；再根据长方体体积的计算公式：V长=长×宽×高，代入数据可得：V长=12−3×2×10−3×2×3=72cm3，由此可得出答案；
（3）根据题意：图1(无盖纸盒)底面周长m，裁去的小正方形边长为acm，底面长为：12−2a，底面宽为：10−2a，所以根据长方形周长公式C=2×(长+宽)，代入数据可得：m=2×[(12−2a)+(10−2a)]=2×(22−4a)=44-8a；图2(有盖纸盒)底面周长n，裁去的小正方形边长为2acm，所以底面长为：12−2×2a2=6−2a，底面宽：10−2×2a​=5−2a，所以根据长方形周长公式C=2×(长+宽)，代入数据可得：n=2×[(6−2a)+(10−4a)]=2×(16−6a)=32−12a，由此可得出答案.
（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2；
（2）解：图1中裁去的小正方形边长为3cm，
做成的纸盒的体积=12−3×2×10−3×2×3=72cm3；
（3）解：m=212−2a+10−2a=44−8acm，
n=212−2×2a2+10−2×2a=32−12acm．
21．【答案】（1）3−27
（2）解：原式=3−13−1+5−35−3+7−57−5+⋅⋅⋅+2019−20172019−2017
=3−1+5−3+7−5+⋅⋅⋅+2019−20172
=2019−12
（3）解：(15+x2−26−x2)2
=15+x2−215+x2·26−x2+26−x2
=41−215+x2·26−x2
则
215+x2·26−x2=40
(15+x2+26−x2)2
=15+x2+215+x2·26−x2+26−x2
=41+215+x2·26−x2
=81
∵15+x2≥0，26−x2≥0，
∴15+x2+26−x2=9．
【解析】【解答】解：（1）∵3+273−27=9−28=−19，
∴3+27的有理化因式为3−27，
故答案为：3−27.
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可求解；
（2）将原式的各项的分母有理化得到3−13−1+5−35−3+7−57−5+⋅⋅⋅+2019−20172019−2017，即3−1+5−3+7−5+⋅⋅⋅+2019−20172，进而即可求解；
（3）根据题意得到：215+x2·26−x2=40，进而计算(15+x2+26−x2)2即可.
22．【答案】（1）解：∵3x+m=0，解得：x=−m3，
∵4x−2=x+10，
∴x=4，
∵3x+m=0与方程4x−2=x+10是“和谐方程”，
∴−m3+4=0，
∴m=12．
（2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为n，∴另一个方程的解为：−n，
∴n−−n=4或−n−n=4，
解得：n1=2或n2=−2，
∴n的值为2或−2．
（3）解：∵y+1=2y−2，∴y=3，
∴方程2x+ma3=b2+m的解为：x=−3，
∴2×−3+ma3=b2+m，
∴−12+2ma=3b+6m，
∴2a−6m=3b+12，
∵m取任何有理数上式都成立，
∴2a−6=03b+12=0，
解得：a=3b=−4，
∴ab=3×−4=−12．
【解析】【分析】（1）根据题意，分别求得3x+m=0和4x−2=x+10的解，结合方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“和谐方程”，得到方程−m3+4=0，求得m的值，即可得到答案；
（2）根据“和谐方程”的定义，得到一个方程的解为n；另一个方程的解为−n，得到n−−n=4或−n−n=4，求得n的值，即可得到答案；
（3）先解出y+1=2y−2的解，根据“和谐方程”的定义，可得2a−6m=3b+12，结合m取任何有理数上式都成立，列出方程组，求得a和b的值，将其代入计算，即可求解．
（1）解：∵3x+m=0，
解得：x=−m3，
∵4x−2=x+10，
∴x=4，
∵3x+m=0与方程4x−2=x+10是“和谐方程”，
∴−m3+4=0，
∴m=12．
（2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为n，
∴另一个方程的解为：−n，
∴n−−n=4或−n−n=4，
解得：n1=2或n2=−2，
∴n的值为2或−2．
（3）解：∵y+1=2y−2，
∴y=3，
∴方程2x+ma3=b2+m的解为：x=−3，
∴2×−3+ma3=b2+m，
∴−12+2ma=3b+6m，
∴2a−6m=3b+12，
∵m取任何有理数上式都成立，
∴2a−6=03b+12=0，
解得：a=3b=−4，
∴ab=3×−4=−12．