2026中考数学高频考点一轮复习：整式（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：整式（试题含解析），共24页。
A．a3•b3＝（ab）3B．a2•b3＝a6
C．a6÷b3＝a2D．（a2）3＝a5
2．（2025春•新郑市期末）若a，b是正整数，且满足4a+4a+⋯+4a︸16个4a相加=4b×4b×⋯×4b︸16个4b相乘，则a与b的关系正确的是（ ）
A．2a＝b16B．2a＝16bC．2+a＝b16D．2+a＝16b
3．（2024秋•辛集市期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a+b）＝a2+ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
4．（2025春•高青县期末）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10B．20C．30D．40
5．（2025春•宜兴市期末）若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6）+4，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M＝N
C．M＜ND．由x的取值而定
6．（2025春•睢宁县期中）若a、b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则a与b的关系是（ ）
A．a＝bB．a＝3bC．a＝3b﹣1D．a＝b2﹣1
7．（2025春•渭城区校级期末）若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣n，则mn的值为（ ）
A．1B．﹣1C．6D．﹣6
8．（2025春•沭阳县校级期末）已知（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝63，则代数式a+b的值（ ）
A．4B．8C．±4D．±8
9．（2024秋•天河区期末）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①，②两种方式摆放（图②是小正方形在大正方形内部）．则下列说法不正确的是（ ）
A．小正方形的边长为a-b4
B．大正方形的边长为a+b4
C．图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为ab
D．若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为ab2-b34
10．（2025春•新昌县期末）换元是一种重要的数学方法，通过引入新的字母（称为元）替换原式中的部分表达式，简化问题结构．若y＝3x﹣2，则代数式（3x﹣2）2﹣6x+7可以表示为（ ）
A．y2﹣2y﹣3B．y2﹣2y+3C．y2﹣2y+11D．y2﹣2y+5
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•两江新区期末）对于一个三位正整数M=abc，如果M的各个数位的数字均不相等且都不为零，满足a+b+c＝16，那么称这个数M为“四方数”．例如：对于286，∵2+8+6＝16，∴286是“四方数”；对于567，∵5+6+7＝18≠16，∴567不是“四方数”．那么最大的“四方数”为 ．若M、N都是“四方数”，M的百位数字是4，N的个位数字是5，M、N各自去掉个位数字后得到的两位数之和能被13整除，规定F（M，N）＝M+N，则F（M，N）的最大值为 ．
12．（2024秋•西陵区期末）如图，将一张正方形纸片分割成三个长方形①，②，④，以及一个正方形③．其中，长方形②，④的周长之和为10，则正方形纸片与正方形③的周长之和为 ．
13．（2025春•鼓楼区期末）把4a2﹣2a+1加上一个单项式 成为一个多项式的平方（写出一个即可）．
14．（2025春•仪征市期末）观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
根据规律计算：﹣22025+22024﹣22023+22022﹣⋯+24﹣23+22﹣2+1的值是 ．
15．（2025春•新昌县期末）图1是某月日历，平移图2所示不透明“十字星”硬纸板去覆盖日历的日期部分，日历中的五个数字恰好被完全遮住．若a，b，c，d，e代表对应被遮住的数字，则代数式ab﹣cd的值为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•余姚市期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式x2+2x+2的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法：
解；x2+2x+2＝（x2+2x+12﹣12）+2＝（x+1）2+1．因为（x+1）2是非负数，所以当（x+1）2＝0时，（x+1）2+1的值最小，最小值为1，所以x2+2x+2的最小值是1．
（1）求代数式y2﹣5y﹣4的最小值．
（2）求代数式k2+1k2+5的最小值．
17．（2025春•平陆县期中）阅读与思考
下面是小颖同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务
（1）这种利用几何图形解释代数恒等式的数学思想是 ．
（2）观察图2，若a+b+c＝10，a2+b2+c2＝40，求图中阴影部分的面积．
（3）请结合小颖的方法构造一个可以验证等式（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2的几何图形．
18．（2025春•扬州期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）⊗（3，4）＝12+42﹣2×3＝11．
（1）若（x，kx）⊗（2y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值；
（2）若2x+y＝8，且（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝48，求xy的值；
（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积．
19．（2025春•高青县期末）根据图形，回答下列问题：
（1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形、用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 ．
（2）利用等量关系解决下面的问题：
①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值；
②已知x2+1x2=11，求x-1x的值．
20．（2025春•昭平县期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，可以得到有用的等式．
（1）如图1是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，由此图直接写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab它们三者之间的一个等量关系；
（2）根据（1）中的结论，解决下列问题：2x+3y＝8，xy＝2，求2x﹣3y的值；
（3）如图2，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，若a+b＝18，ab＝80，请结合图形，试求阴影部分的面积．
中考数学一轮复习 整式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•扬州期末）下列运算正确的是（ ）
A．a3•b3＝（ab）3B．a2•b3＝a6
C．a6÷b3＝a2D．（a2）3＝a5
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算法则求解即可．
【解答】解：A．a3•b3＝（ab）3，故选项A正确；
B．最简单项式，不需要化简，故选项B错误；
C．底数不同，不能化简，故选项C错误；
D．（a2）3＝a6，故选项D错误．
故选：A．
【点评】此题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
2．（2025春•新郑市期末）若a，b是正整数，且满足4a+4a+⋯+4a︸16个4a相加=4b×4b×⋯×4b︸16个4b相乘，则a与b的关系正确的是（ ）
A．2a＝b16B．2a＝16bC．2+a＝b16D．2+a＝16b
【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】将题目中的加法与乘法表达式转化为指数形式后，通过底数相同指数相等的性质建立方程求解．
【解答】解：将左边变形：16×4a＝42×4a＝4a+2，
右边变形为：（4b）16＝416b，
∴方程可化简为：4a+2＝416b，
由于底数相同，指数相等，得：a+2＝16b，
故选：D．
【点评】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂相乘和幂的乘方，熟练掌握以上知识点是关键．
3．（2024秋•辛集市期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a+b）＝a2+ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
【考点】平方差公式的几何背景；单项式乘多项式．
【专题】常规题型；推理能力．
【答案】D
【分析】根据面积相等，列出关系式即可．
【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．
4．（2025春•高青县期末）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10B．20C．30D．40
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】计算题；综合题；数形结合；几何变换；几何直观．
【答案】C
【分析】观察图形，阴影部分除了在正方形中，还以正方形边长为直角边构造三角形，因此阴影部分可看作由不同三角形组成，每个阴影部分都与其所在三角形有关系，由此可逐个分析：首先令直线BF与直线CD的交点为O（如图），则可看出△BDO与△EFO、△BGF有关，用△BCD与▱ECGF的面积和减去△BGF的面积可得阴影部分△BDO与△EFO的面积，阴影部分△DEF和△CGF的面积可依据正方形的边长a与b各自求出．至此，阴影部分面积可计和求出，然后利用已知条件进行完全平方公式再代入计算数值．
【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；
则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；①
S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2； ②
S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2； ③
∴阴影部分面积＝①+②+③
＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2
＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2
＝（a2+b2）÷2，④
由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：
（ a+b）2＝102，
解得a2+b2+2ab＝100，
a2+b2＝100﹣2•20，
化简＝60代入④式，
得60÷2＝30，
∴S阴影部分＝30．
方法2：∵CF∥BD，
∴△BDF的面积＝△BCD的面积，
∴阴影部分的面积＝△BCD的面积+△CGF的面积=12（a2+b2），
∵a+b＝10，ab＝20，
∴12（a2+b2）=12（a+b）2﹣ab＝50﹣20＝30；
故选：C．
【点评】本题考查了几何图形关系，即阴影部分面积与三角形面积和正方形面积的关系，同时考查了完全平方公式的运用和符号计算变化．
5．（2025春•宜兴市期末）若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6）+4，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M＝N
C．M＜ND．由x的取值而定
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再用作差法比较即可．
【解答】解：M﹣N＝（x﹣3）（x﹣4）﹣[（x﹣1）（x﹣6）+4]
＝x2﹣7x+12﹣（x2﹣7x+10）
＝x2﹣7x+12﹣x2+7x﹣10，
＝2＞0，
∴M＞N．
故选：A．
【点评】本题考查了多项式与多项式的乘法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（2025春•睢宁县期中）若a、b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则a与b的关系是（ ）
A．a＝bB．a＝3bC．a＝3b﹣1D．a＝b2﹣1
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【解答】解：∵3a+3a+3a＝3×3a＝3a+1，3b×3b×3b＝33b，
∴3a+1＝33b，
∴a+1＝3b，
∴a＝3b﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．
7．（2025春•渭城区校级期末）若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣n，则mn的值为（ ）
A．1B．﹣1C．6D．﹣6
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】先通过展开左边多项式并与右边比较系数，确定m和n的值，再计算m的n次方，即可作答．
【解答】解：（x+2）（x﹣3）＝x•x+x•（﹣3）+2•x+2•（﹣3）＝x2﹣3x+2x﹣6＝x2﹣x﹣6，
∴x2+mx﹣n＝x2﹣x﹣6，
∴m＝﹣1，n＝6，
得mn＝（﹣1）6＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，已知字母的值求代数式的值，熟练掌握以上知识点是关键．
8．（2025春•沭阳县校级期末）已知（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝63，则代数式a+b的值（ ）
A．4B．8C．±4D．±8
【考点】平方差公式；代数式求值；完全平方公式．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
【分析】先对原式的左边进行变形，进而得出答案．
【解答】解：（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）
＝（2a+2b）2﹣1
＝4（a+b）2﹣1，
由已知可得，4（a+b）2﹣1＝63，
a+b＝±4．
故选：C．
【点评】本题主要考查平方差公式、代数式求值、完全平方公式，对原式的左边进行变形是解题的关键．
9．（2024秋•天河区期末）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①，②两种方式摆放（图②是小正方形在大正方形内部）．则下列说法不正确的是（ ）
A．小正方形的边长为a-b4
B．大正方形的边长为a+b4
C．图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为ab
D．若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为ab2-b34
【考点】整式的混合运算；展开图折叠成几何体；完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】结合图形列出相应算式，再计算即可．
【解答】解：A．小正方形的边长为a-b4，正确，不符合题意；
B．大正方形的边长为b+2×a-b4=a+b2，原计算错误，符合题意；
C．图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为(a+b2)2-4（a-b4）2＝ab，正确，不符合题意；
D．若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为b2×a-b4=ab2-b34，正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键．
10．（2025春•新昌县期末）换元是一种重要的数学方法，通过引入新的字母（称为元）替换原式中的部分表达式，简化问题结构．若y＝3x﹣2，则代数式（3x﹣2）2﹣6x+7可以表示为（ ）
A．y2﹣2y﹣3B．y2﹣2y+3C．y2﹣2y+11D．y2﹣2y+5
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】先将代数式进行变形，再运用换元法解答．
【解答】解：∵y＝3x﹣2，
∴（3x﹣2）2﹣6x+7
＝（3x﹣2）2﹣2（3x﹣2）+3
＝y2﹣2y+3．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键运用换元法来解答．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•两江新区期末）对于一个三位正整数M=abc，如果M的各个数位的数字均不相等且都不为零，满足a+b+c＝16，那么称这个数M为“四方数”．例如：对于286，∵2+8+6＝16，∴286是“四方数”；对于567，∵5+6+7＝18≠16，∴567不是“四方数”．那么最大的“四方数”为 961 ．若M、N都是“四方数”，M的百位数字是4，N的个位数字是5，M、N各自去掉个位数字后得到的两位数之和能被13整除，规定F（M，N）＝M+N，则F（M，N）的最大值为 1310 ．
【考点】整式的加减；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】961；1310．
【分析】要使“四方数”最大，则百位数字要最大，故可确定最大的“四方数”的百位数字为9，再确定十位数字，进而确定个位数字即可；设M的十位数字为x，N的百位数字为y，则M的个位数字为16﹣4﹣x＝12﹣x，N的十位数字为16﹣5﹣y＝11﹣y，根据题意可得40+x+10y+11﹣y＝x+9y+51能被13整除，则（x+9y﹣1）+52能被13整除，即x+9y﹣1能被13整除，根据1≤x，y≤9，9≤x+9y﹣1≤89，再根据x+9y﹣1是13的倍数讨论求解即可．
【解答】解：由条件可知百位数字要最大，
∴最大的“四方数”的百位数字为9，则最大的“四方数”的十位数字为6，
∴最大的“四方数”的个位数字为1，即最大的“四方数”为961；
设M的十位数字为x，N的百位数字为y，则M的个位数字为16﹣4﹣x＝12﹣x，N的十位数字为16﹣5﹣y＝11﹣y，
由条件可知40+x+10y+11﹣y＝x+9y+51能被13整除，
∴（x+9y﹣1）+52能被13整除，
∴x+9y﹣1能被13整除，
∵1≤x，y≤9，
∴9≤x+9y﹣1≤89，
当x+9y﹣1＝78时，则y=79-x9，
当79﹣x＝72时，x＝7，y＝8，
∴M＝475，N＝835，此时符合题意；
∴此时F（M，N）＝475+835＝1310；
∵79﹣9y＞0，
∴y≤8，且y是正整数，
∴此时x＝7，y＝8都满足是最大，
∴F（M，N）的最大值即为1310．
故答案为：961；1310．
【点评】本题主要考查了新定义，熟练掌握新定义是关键．
12．（2024秋•西陵区期末）如图，将一张正方形纸片分割成三个长方形①，②，④，以及一个正方形③．其中，长方形②，④的周长之和为10，则正方形纸片与正方形③的周长之和为 20 ．
【考点】整式的加减．
【专题】整式；应用意识．
【答案】20．
【分析】设大正方形的边长是a，小正方形的边长是b，长方形②，④的周长之和为10，所以（a﹣b）×2+4b＝10，求出a+b＝5，正方形纸片与正方形③的周长之和为4a+4b，将a+b＝5代入求出结果即可．
【解答】解：设大正方形的边长是a，小正方形的边长是b，
（a﹣b）×2+4b＝10，
即a+b＝5，
4a+4b
＝4（a+b）
＝4×5
＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是分别表示出长方形②，④的周长．
13．（2025春•鼓楼区期末）把4a2﹣2a+1加上一个单项式 ﹣2a 成为一个多项式的平方（写出一个即可）．
【考点】完全平方式；整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣2a．
【分析】利用完全平方式的意义解答即可．
【解答】解：∵4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2，
∴把4a2﹣2a+1加上一个单项式﹣2a，成为一个多项式的平方．
故答案为：﹣2a（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了完全平方式，整式的加减，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．
14．（2025春•仪征市期末）观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
根据规律计算：﹣22025+22024﹣22023+22022﹣⋯+24﹣23+22﹣2+1的值是 -22026-13 ．
【考点】平方差公式；规律型：数字的变化类；多项式乘多项式．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】-22026-13．
【分析】先对原式进行变形，再根据规律即可得出答案．
【解答】解：原式=-13×（﹣2﹣1）×（﹣22025+22024﹣22023+22022﹣⋯+24﹣23+22﹣2+1）
=-13×[（﹣2）2026﹣1]
=-22026-13．
故答案为：-22026-13．
【点评】本题主要考查平方差公式、规律型：数字的变化类、多项式乘多项式，对原式进行变形是解题的关键．
15．（2025春•新昌县期末）图1是某月日历，平移图2所示不透明“十字星”硬纸板去覆盖日历的日期部分，日历中的五个数字恰好被完全遮住．若a，b，c，d，e代表对应被遮住的数字，则代数式ab﹣cd的值为 48 ．
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】48．
【分析】设中间字母e表示的数为x，则a＝x﹣1，b＝x+1，c＝x﹣7，d＝x+7，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：设中间字母e表示的数为x，则a＝x﹣1，b＝x+1，c＝x﹣7，d＝x+7，
∴ab﹣cd＝（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣7）（x+7）＝x2﹣1﹣（x2﹣49）＝x2﹣1﹣x2+49＝48．
故答案为：48．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•余姚市期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式x2+2x+2的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法：
解；x2+2x+2＝（x2+2x+12﹣12）+2＝（x+1）2+1．因为（x+1）2是非负数，所以当（x+1）2＝0时，（x+1）2+1的值最小，最小值为1，所以x2+2x+2的最小值是1．
（1）求代数式y2﹣5y﹣4的最小值．
（2）求代数式k2+1k2+5的最小值．
【考点】整式的混合运算—化简求值；配方法的应用；解一元一次不等式；非负数的性质：偶次方．
【专题】整式；运算能力；推理能力．
【答案】（1）-414；
（2）3．
【分析】（1）将所求代数式化为（y-52）2-414，再求最小值即可；
（2）将所求代数式化为（k+1k）2+3≥3，再求最小值即可．
【解答】解：（1）y2﹣5y﹣4＝（y-52）2-254-4＝（y-52）2-414，
∴（y-52）2≥0，
∴y2﹣5y﹣4≥-414，
∴y2﹣5y﹣4的最小值为-414；
（2）k2+1k2+5=（k+1k）2+3≥3，
∴k2+1k2+5的最小值为3．
【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握完全平方公式，偶次方的性质是解题的关键．
17．（2025春•平陆县期中）阅读与思考
下面是小颖同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务
（1）这种利用几何图形解释代数恒等式的数学思想是 数形结合 ．
（2）观察图2，若a+b+c＝10，a2+b2+c2＝40，求图中阴影部分的面积．
（3）请结合小颖的方法构造一个可以验证等式（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2的几何图形．
【考点】完全平方公式的几何背景；一元一次方程的应用；多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）数形结合；（2）30；（3）见详解．
【分析】（1）根据题意解答即可；
（2）由图中大矩形的面积＝中间的各图形的面积和可得到公式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，根据公式解答即可；
（3）根据题意可知边长为a的正方形使用2次，边长为b的正方形使用1次，边长为a、b的长方形使用3次，据此画出示意图即可．
【解答】解：（1）利用几何图形解释代数恒等式的数学思想是数形结合；
故答案为：数形结合；
（2）由图可知（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
变形得：2ab+2ac+2bc＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2），
∵a+b+c＝10，a2+b2+c2＝40，
∴2ab+2ac+2bc＝102﹣40＝60，
根据图示可知：ab+bc+ac＝30；
（3）如图所示，即为所求．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式，熟练掌握以上知识点是关键．
18．（2025春•扬州期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）⊗（3，4）＝12+42﹣2×3＝11．
（1）若（x，kx）⊗（2y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值；
（2）若2x+y＝8，且（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝48，求xy的值；
（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积．
【考点】完全平方式；完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）k＝±1；
（2）4；
（3）64．
【分析】（1）根据新定义，求出（x，kx）⊗（2y，﹣y），再根据完全平方式的特征，即可求出k；
（2）根据新定义，求出（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝48的左边，从而得出4x2+y2＝48，再利用完全平方公式的变形即可求出xy；
（3）根据阴影部分的面积等于S△EFG+S△DBF，S△DBF＝S△BCD﹣S△DEF﹣S△BGF﹣S长方形FGCE，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有2x+y，xy的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可．
【解答】解：（1）（x，kx）⊗（2y，﹣y）＝x2+（﹣y）2﹣2kxy，
由题意可得：x2+（﹣y）2﹣2kxy＝x2±2xy+y2，
∴k＝±1；
（2）∵（a，b）⊗（c，d）＝a2+d2﹣bc，
∴（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣（2x2+3y2）×3＝48，
∴9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2＝48，
4x2+y2＝48，
∵2x+y＝8，
∴（2x+y）2＝82，
∴4x2+y2+4xy＝64，
∴48+4xy＝64，
∴xy＝4；
（3）∵S△EFG=12×4y×y=2y2，
S△BDC=12⋅2x⋅8x=8x2，
S△DEF=12⋅(2x-y)⋅4y=4xy-2y2，
S△BGF=12⋅(8x-4y)⋅y=4xy-2y2，
S▱FGCE=4y2，
∴S△DBF＝S△BCD﹣S△DEF﹣S△BGF﹣S长方形FGCE，
∴S△DBF=8x2-(4xy-2y2)-(4xy-2y2)-4y2，
∴S△DBF=8x2-8xy，
∴阴影部分的面积为：
8x2﹣8xy+2y2
＝2（4x2+4xy+y2﹣8xy）
＝2[（2x+y）2﹣8xy]，
∵2x+y＝8，xy＝4，
∴阴影部分的面积为：2×（82﹣8×4）＝64．
【点评】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键．
19．（2025春•高青县期末）根据图形，回答下列问题：
（1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形、用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 （m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn ．
（2）利用等量关系解决下面的问题：
①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值；
②已知x2+1x2=11，求x-1x的值．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；应用意识．
【答案】（1）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．
（2）①1；13；②±3．
【分析】（1）方法1，根据“S阴影＝图②中大正方形的面积一图①中长方形的面积”即可得出答案；根据图②中小正方形的边长为（m+n），S阴影＝小长方形的面积即可得出答案；
（2）①由（1）中所得的等量关系得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，将a﹣b＝5，ab＝﹣6，代入即可得（a+b）2的值；再根据以（a+b）2＝52+4×（﹣6）＝1，据此可得所以a2+b2＝25+2ab＝25+2×（﹣6）＝13；
②将x2+1x2=11，配方得(x-1x)2=9，进一步计算即可得出答案．
【解答】解：（1）方法1，因为图②中大正方形的边长为（m+n），所以图②中大正方形的面积为：（m+n）2，因为图①中长方形的长为2m、宽为2n，所以图①中长方形的面积为：2m×2n＝4mn，
因为S阴影＝图②中大正方形的面积一图①中长方形的面积，所以S阴影＝（m+n）2﹣4mn，方法2：由条件可知S阴影 ＝小长方形的面积＝（m﹣n）2，
所以等量关系是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．
故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．
（2）由（1）得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
①所以（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
因为a﹣b＝5，ab＝﹣6，
所以（a+b）2＝52+4×（﹣6）＝1，
所以a2+b2﹣2ab＝25，
所以a2+b2＝25+2ab＝25+2×（﹣6）＝13；
②由x2+1x2=11，
可得x2+1x2-2=9，
即(x-1x)2=9，
所以x-1x=±3．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
20．（2025春•昭平县期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，可以得到有用的等式．
（1）如图1是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，由此图直接写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab它们三者之间的一个等量关系；
（2）根据（1）中的结论，解决下列问题：2x+3y＝8，xy＝2，求2x﹣3y的值；
（3）如图2，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，若a+b＝18，ab＝80，请结合图形，试求阴影部分的面积．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）±4；（3）82．
【分析】（1）根据边长为 （a+b）的正方形面积＝4个长为b，宽为a的长方形面积+边长为 （b﹣a）的正方形面积即可得解；
（2）根据题（1）中（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab将2x+3y＝8，xy＝2代入即可得解；
（3）先由a2+b2＝（a+b）2﹣2ab求出a2+b2再结合S阴能细分的面积＝S△BCD+S梯形DCGF﹣S△BCF即可得解．
【解答】解：（1）由题意，边长为（a+b）的正方形面积＝4个长为b，宽为a的长方形面积+边长为 （b﹣a） 的正方形面积，
即（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）根据（1）题可得，
（2x﹣3y）2＝（2x+3y）2﹣4•2x•3y
＝82﹣24xy
＝64﹣24×2
＝16，
∴2x﹣3y的值为±4；
（3）∵a+b＝18，ab＝80，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝182﹣2×80＝324﹣160＝164，
∴由图形可知：
S阴能馏分的面积＝S△BCD+S梯形DCGF﹣S△BCF
=12a2+12b(a+b)-12ab
=12a2+12ab+12b2-12ab
=12a2+12b2
=12(a2+b2)
=12×164
＝82．
【点评】本题考查的知识点是完全平方公式在几何图形中的应用、已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式．

×年×月×日 星期三

用纸片研究完全平方公式
今天我学习了完全平方公式，并尝试用正方形纸片和长方形纸片进行验证，方法如下：
第一步：如图1，我准备了边长为a+b的正方形纸片，正方形纸片的面积为（a+b）2．
第二步：将正方形纸片沿虚线剪裁，得到两个小正方形和两个矩形，它们的面积之和为a2+2ab+b2．
由此验证了完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2．

×年×月×日 星期三

用纸片研究完全平方公式
今天我学习了完全平方公式，并尝试用正方形纸片和长方形纸片进行验证，方法如下：
第一步：如图1，我准备了边长为a+b的正方形纸片，正方形纸片的面积为（a+b）2．
第二步：将正方形纸片沿虚线剪裁，得到两个小正方形和两个矩形，它们的面积之和为a2+2ab+b2．
由此验证了完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2．