2025-2026学年高一数学下学期第一次月考（人教B版，范围：必修第三册第七章）

这是一份2025-2026学年高一数学下学期第一次月考（人教B版，范围：必修第三册第七章），共15页。试卷主要包含了测试范围，已知函数，，则在上根的个数为，已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教B版必修第三册第七章。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，又，.
故选：C.
2．已知角，则角的终边落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】，故与的角终边相同，
其中在第二象限，故角的终边落在第四象限.
故选：B.
3．已知，则（ ）
【答案】A
【详解】由题意知，，.
由可得，，
即，.
故选：A
4．若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，得，
因此函数图象的对称中心为，
而，则，，
所以的最小值为.
故选：D
5．已知函数在区间上具有单调性，若，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，得，
所以函数的对称中心为
因为，且函数在区间上具有单调性，
所以点与关于函数的对称中心对称，
所以，
所以.
故选：B
6．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意，扇形的圆心角为，且
所以,
所以，
且,
所以阴影部分的面积为.
故选：C.
7．已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（ ）
A．1个B．2个C．6个D．无数个
【答案】B
【详解】因为函数是奇函数，
所以，而，则，
此时，
由是图象的一条对称轴，
所以，则，
又在区间上单调，则，即，则或6，
当时，，
由，则，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
即在上单调递减，满足题意；
当时，，
由，则，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
即在上单调递减，满足题意.
综上所述，或6.
故选：B.
8．已知函数，，则在上根的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【详解】由题设，对于在上值域为，
1、在上递增，上递减，上递增，上递减；(注意：)
2、，，.
3、由分段函数解析式知：上恒成立，且上递增，上递减，上递增，此时，，(注意：).
对于在上的值域为，
1、在上递减；
2、，.
3、由于，即为偶函数，故在上递增；，.
综上，可得如下图函数图象，在上根等价于在上交点横坐标，
∴由图知：的交点共有5个.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若角A，B，C是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】因为，则，
所以，
，A正确，B错误；
由于，
则，C错误；
由于，
所以，D正确.
故选：AD
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．直线是图象的一条对称轴
C．方程的解集是
D．的单调递增区间为
【答案】AC
【详解】对于的最小正周期为，故A正确；
对于B，因为，
所以直线不是图象的对称轴，故B错误；
对于C，由，可得，
所以，所以，
故方程的解集为，故C正确；
对于D，由，
得，
所以的单调递增区间为，故D错误.
故选：AC
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）
A．筒车转动的角速度
B．当筒车旋转10秒时，盛水筒M 对应的点P的纵坐标为0
C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为
D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒
【答案】ABD
【详解】A：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，
所以，因此A正确；
B：因为当时，盛水筒位于点，所以，
所以有，因为，所以，
即，
所以，因此B正确；
C：由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为，
所以有，因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始点的水平距离为，因此C错误；
D：因为，所以筒车在秒的旋转过程中，
盛水筒第一次到达最高点所需要的时间是，因此D正确.
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知三角形内角满足，则 .
【答案】
【详解】因为为三角形的内角，所以，
又，所以，即，所以，
所以，
所以.
故答案为：
13．已知函数的图象关于直线对称，则在上的值域为 .
【答案】
【详解】由题设，则，又，所以，
所以，若，则，则，
所以在上的值域为.
故答案为：
14．若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 .
【答案】
【详解】因为的对称中心为，，
的对称中心为，，
所以两函数的交点也关于对称，，
又因为函数，的最小正周期为，
作出两函数的在的图象，如下图，
由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为，
且，
其中关于对称，，关于对称，，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得2分
（2）由（1）知.
因为，，且，4分
所以.
所以的值为.6分
（3）因为为角终边上一点，所以，
所以，.8分
，11分
原式.13分
16．（15分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)求函数的解析式及在上的单调增区间；
(2)将函数图象上各点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位，得到函数的图象．若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围．
【详解】（1）由条件可知，解得：，即，2分
代入可得，
因为，所以，
即，5分
当时，，
所以在和上单调递增，
即在和上单调递增．8分
（2）函数图象上各点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位，
得，10分
因为，所以，
因为在上有两个不同的解，
所以函数与在上有两个交点，12分
所以且，
解得且15分
17．（15分）已知函数的最小正周期为.
(1)求的单调递减区间；
(2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的表达式；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）因为的最小正周期为，
所以，
所以.2分
令，
得，
故的单调递减区间为.4分
（2）的横坐标变为原来的2倍得到，6分
再将所得图象向左平移个单位长度得到.8分
（3）令
令，则，
因为，
所以当时，取得最大值，12分
所以，
解得或，
故实数的取值范围为.15分
18．（17分）已知函数，．
(1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心；
(2)若在上是严格增函数，求的取值范围；
(3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围．
【详解】（1）由题可得，
所以函数的最小正周期为 ，2分
由，可得，
所以函数的图像的对称中心 ；4分
（2）因为在上是严格增函数，
所以，6分
所以，又，
所以；8分
（3）因为，
所以，，至少存在2022个根，11分
所以可得b－a至少包含2021个周期，即，
所以b－a的最小值为，又b－a的最小值不小于2022，14分
所以，
所以．17分
19．（17分）深圳半程马拉松是国内知名赛事，已知某选手在“半马”中的心率变化分为“匀速跑心率上升”和“冲刺跑心率波动”两个阶段，具体如下：总运动时长为90分钟，记起跑时刻为（单位：分钟）．当时，为“匀速跑心率上升”阶段，心率从最低心率60次／分钟开始，按振幅为45次／分钟的正弦函数规律逐渐上升，当时达到最高心率150次／分钟；当时，为“冲刺跑心率波动”阶段，心率波动的最小正周期为10分钟，最高心率为180次／分钟，当时，心率为150次／分钟且呈上升趋势．设该选手的心率（单位：次／分钟）关于时间（单位：分钟）的函数为其中，，.
(1)求的解析式；
(2)已知，，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟，求该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长；
【详解】（1）“匀速跑心率上升”阶段，时为最低心率60次／分钟，时为最高心率150次／分钟，且振幅为45次／分钟，周期为120，且，，解得，2分
，，又，，
，．4分
“冲刺跑心率波动”阶段，，，显然，
，，6分
又，且当时，心率呈上升趋势，，
，，
综上所述，8分
（2）“匀速跑心率上升”阶段，
的最大值为150，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟，
只需，即，10分
，，，由解得，
“匀速跑心率上升”阶段的“高效燃脂区间”内的运动时长约为分钟，12分
“冲刺跑心率波动”阶段，由（1）可知的最小值为140，
只需，即，
不难知道一个周期内的非“高效燃脂区间”内的运动时长占比为，
一个周期内的“高效燃脂区间”内的运动时长为，15分
共有3个周期，则有20分钟的“高效燃脂区间”内的运动时长，
综上所述，该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长约为43分钟．17分
0
0
5
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