2025-2026学年高一数学下学期第一次月考（北京专用02）（人教B版）

这是一份2025-2026学年高一数学下学期第一次月考（北京专用02）（人教B版），共15页。试卷主要包含了测试范围，已知，则“”是“”的，已知，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教B版必修第三册。
第一部分（选择题 共40分）
选择题：本题共10小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的诱导公式，正弦的和角公式以及特殊角与特殊值即可计算求得.
【详解】因为，，
所以
.
故选：B．
2．将改写成的形式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用角度制与弧度制的互化公式，即可求解.
【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得．
故选：D.
3．已知向量，若，则等于（ ）
A．B．1C．4D．
【答案】B
【分析】利用两个垂直向量的数量积为零，再结合向量数量积的坐标运算法则计算即可得出答案．
【详解】由，可得，
所以由，解得．
故选：B.
4．已知和的夹角为，且，则（ ）
A．1B．C．3D．-1
【答案】D
【分析】利用向量数量积的运算律及数量积的定义即得.
【详解】因为和的夹角为，，，
所以.
故选：D.
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】举反例即可求解充分性，根据正弦函数的性质即可求解必要性.
【详解】若，此时，但是，故“”不是“”的充分条件；
若，由函数的定义知，若，则必有，而时，推不出，
故“”是“”的必要条件.
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
【详解】因为，则.
故选：C.
7．为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】C
【详解】，
将函数的图象向右平移个单位长度得的图象.即C对.
8．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（ ）
A．2B．1C．1或2D．5
【答案】A
【分析】通过辅助角公式变形解析式，函数的单调性，建立方程组求解.
【详解】，
令，，当时，，
由于在区间上单调递减，所以，
即解得，所以或．
当时，，不符合题意；
当时，满足．故．
故选：A
9．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2
C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则
D．当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则
【答案】B
【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D.
【详解】由题，小球运动的周期，又，所以，解得，
当时，，即，，所以，
则，故A错误；
因为，，
所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确；
若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点，
所以，解得，即，故C错误；
因为，令，，
则，，
满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，
此时，故D错误.
故选：B
10．设、分别表示，中的最大者与最小者，记为，，当时，的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】A
【分析】先利用平方差公式化简，再根据与的大小关系，分两种情况讨论，最后利用三角函数性质求最值即可.
【详解】设，，则，
当时，，，此时，
当时，，，此时，
在区间 内，的最大值为 1（当或时），
的最大值也为 1（当 时），因此，表达式的最大值为 1.
故选：A.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．角为第一象限角，，则___________
【答案】/
【分析】根据同角三角函数的关系直接计算即可．
【详解】角为第一象限角，，
．
故答案为：．
12．已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为_____________，扇形的面积为_____________．
【答案】 / /
【分析】利用扇形的弧长公式及面积公式可得.
【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，则.
所以扇形的弧长为；
扇形的面积为.
故答案为：；.
13．函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则_____________，_____________．
【答案】
【分析】根据函数的图象和性质求出，周期和，，进而求出函数解析式，再求出．
【详解】解析：由题图可知，，
，．
又，．
又图象过点，．
由题图可知，．
，．
，．
．
故．
故答案为：；
14．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________.
【答案】 /0.5 2
【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】设，则
，
所以，解得，
，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立.
所以，的最小值为.
故答案为：；.
15．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论正确的是______．
（规定盛水筒在水面以上时距离为正，在水面以下是距离为负）

①t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为；
②t分钟时，该盛水筒距水面距离为米；
③1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等；
④1个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米．
【答案】①③④
【分析】建立平面直角坐标系，设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为，结合图象根据正弦函数性质求出解析式判断①正确，②错误，求出和时 函数值判断③，根据求得一个周期内有2分钟符合题意，即可判断④.
【详解】如图，以O为原点，以射线OA方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，

设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为，
由题意得，，
，解得，故，
设函数的最小正周期为，则，故，
，盛水筒的初始位置为点，
∴当时，，即，
故，由点在第四象限可得初相，即，
，
分钟时，以射线为始边，为终边的角为，
该盛水筒距水面距离为米，故①正确，②错误；
当时，，当时，，故③正确；
由，得，
当时，，故，解得，有2分钟，
个小时有10个周期，
个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故④正确．
故答案为：①③④
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（13分）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据及，结合，求出、的值，代入计算即可．
（2）根据两角差的余弦公式及二倍角公式计算即可．
【详解】（1）因为，所以，故，
因为，则，结合，
所以，，
可得
（2）易知，．
17．（14分）已知函数（其中，）的最大值为2，最小正周期为.
(1)求函数的解析式；
(2)求的值；
(3)求函数的单调递增区间.
【答案】(1) (2)0 (3)，.
【详解】（1）由题意得，，解得，
故解析式为；
（2）；
（3）令，，
解得，，
故函数的单调递增区间为，.
18．（13分）已知．
(1)若，求；
(2)若，的夹角为，求；
(3)若，求与的夹角为．
【答案】(1)或 (2) (3)
【分析】(1)根据向量平行得到夹角，根据向量数量积的公式即可得；
(2)根据向量模的求法及数量积计算可得；
(3)根据向量垂直性质，及数量积可得夹角余弦值，进一步得到夹角.
【详解】（1）若，则与的夹角为0或．
所以或．
（2）因为
，
所以．
（3）若，则，即，
所以，
即，所以，
又，所以．
19．（15分）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)当时，求的最大值以及取得最大值时的值．
【答案】(1) (2)（） (3)的最大值为1，．
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期定义求解；
（2）由“整体法”求单调区间即可；
（3）根据所给已知条件，利用“整体法”求解最大值及．
【详解】（1）
，
所以最小正周期．
（2）由（），解得：（），
故函数的单调递增区间是（）．
（3）由，得，所以
当，即时，取得最大值1．
20．（15分）如图，在平面直角坐标系中，锐角以为始边，终边与单位圆交于点，将角的终边绕点逆时针旋转交单位圆于点．已知点的横坐标为．
(1)求的值；
(2)求点的横坐标．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由题可求 出， 然后利用诱导公式化简计算即可；
（2）由两角和的余弦公式可得答案.
【详解】（1）由题意知A，所以，．
因为 ，
，.
所以
（2）由题意知点B的横坐标为，
因为 .
所以点B的横坐标为.
21．（15分）已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质，
(1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围；
(3)已知函数的图象是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质.
【答案】(1)具有，理由见解析 (2) (3)证明见解析
【分析】（1）先根据性质列出的等式，求解，再判断、是否在区间内，从而确定函数是否具有该性质.
（2）由性质得到，结合函数表达式化简求出，再判断、是否在区间内，从而确定的取值范围.
（3）构造函数，根据得到，分，有一个为0，一个不为0两种情况，利用零点存在性定理证明存在使成立.
【详解】（1）函数在上具有性质，理由如下：
若，则，
因为，且，
所以函数在上具有性质.
（2）由题意，因为函数上具有性质，
所以，由于，
即存在，使得，
所以，得，
又因为且
所以，即的取值范围是.
（3）设，
则有，
由，得，
①当，有一个为0时，或，
则函数在区间上具有性质.
②当，均不为0时，由于其和为0，
则，必然一正一负，即，
因为函数的图象是连续不断的曲线，
所以在上连续，故在上连续，
由零点存在性定理知，存在，
使得，即，
所以函数在区间上也具有性质，
综上所述，函数在区间上具有性质.