黑龙江省大庆市重点高中2025-2026学年高二下学期3月开学考试试卷 数学（含解析）

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一、单选题
1．在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（ ）
A．B．C．2D．
2．已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线C：的焦距为，点在C的渐近线上，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
5．在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列满足，设数列的前项和为，则数列的前项和为（ ）
A．920B．952C．D．-920
二、多选题
7．设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．的最小值为
C．当时，的最大值为11D．数列前项和为，最小
三、单选题
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于A，B两点，点是的内心，若的面积比为5:12:13，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
四、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法正确的有（ ）
A．在等差数列中，，，则前9项和.
B．已知为等比数列的前项和，，，则.
C．已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则.
D．数列为等比数列，，，则.
11．如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，每一个点均位于抛物线的图象上．点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切．若，且，，的前n项之和为，则（ ）
A．B．是等差数列
C．D．
五、填空题
12．已知，在点处的切线方程为 ___．
13．已知函数，，则数列的通项公式为____________．
14．平面直角坐标系中，曲线是平面内与两个定点，的距离之积等于常数（）的点的轨迹.点是曲线上一点.给出下列四个结论.
①曲线关于轴对称；
②面积的最大值为；
③当时，已知点在双曲线上，若，则点在曲线上；
④当时，曲线所围成的图形面积小于椭圆：所围成的图形面积.其中所有正确结论的序号为______
六、解答题
15．已知等比数列的前项和为，已知，且的公比
(1)求数列的通项公式
(2)令，数列的前项和为，求证：
16．在四棱锥中，平面，，，，，为的中点.
(1)求证：平面
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值
17．在xOy平面上，设椭圆，梯形ABCD的四个顶点均在上，且.设直线AB的方程为

(1)若AB为的长轴，梯形ABCD的高为，且C在AB上的射影为的焦点，求m的值；
(2)设，直线CD经过点，求的取值范围；
18．已知数列的前n项和为，，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，的前n项和为；
①求；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点绕原点逆时针旋转后得点，且旋转变换的表达式为，曲线的旋转变换也如此．
(1)将点绕原点逆时针旋转得到点，求点坐标；
(2)已知曲线，绕原点逆时针旋转得到曲线．
（ⅰ）求曲线的方程；
（ⅱ）P为曲线上一点，P不在x轴上，过P作交曲线于B，D两点，求证：BD与曲线在P点处的切线垂直．
参考答案
1．B
【详解】由于是方程的两个根，故，，
因此，从而，
又是等比数列，故，，
故选：B
2．A
【详解】因为，即，
即，则.
故选：A.
3．B
【详解】因为双曲线C：的焦距为，
所以，即，所以，①
又因为双曲线的渐近线方程为：，且在C的渐近线上，
所以，②
由①②可得，，
所以双曲线C的方程为.
故选：B
4．D
【详解】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为，
又直线过点，所以，所以直线方程为，
当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为，
又直线过点，所以，解得，所以直线方程为，
所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或，
故选：D.
5．B
【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP.
由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直，
则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
因为，，所以，，，
所以，，
则点到直线EF的距离是.
故选：B
6．B
【详解】数列满足，
当时，；
当时，由，
可得，
上述两个等式作差可得，
化简可得，也满足，
故对任意的，，
所以，
所以，数列的前项和为
.
7．BC
【详解】A，由可知与异号，又且，
结合等差数列的函数性质知，因此公差，错误；
B，因为，说明数列前项为负数，从第项开始为正数，所以前项和的最小值为，正确；
C，计算，所以时，的最大值为，正确；
D，，即是首项为、公差为（，故公差）的递增等差数列，
其前项和，
这是一个开口向上的二次函数，对称轴为，
由A知，
对称轴，故对称轴，故的最小值出现在处，而非，错误.
故选：BC
8．A
【详解】设的内切圆半径为，因为的面积比为5:12:13，
所以，则，
不妨设，则，
所以，由双曲线的定义，得，
所以，
即，所以，
则，
设，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
9．BC
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：BC.
10．AD
【详解】A：，正确.
B：，
，所以，错误.
C：由，错误.
D：，所以，正确.
11．ABC
【详解】由题意可知：焦点，设点，则的半径为，
则，解得，故A正确；
因为与外切，则，
整理可得，且，可得，即，
可知数列是以首项为，公差为2的等差数列，故B正确；
则，即，
则，C正确；
因为，
所以，
所以，D错误.
12．
【详解】

即过点的切线方程为
故答案为：.
13．
【详解】由题意有：，所以为奇函数，所以关于对称，所以，
所以①，
又②，
由①②有：，
所以，
故答案为：.
14．①③④
【详解】①设与关于轴对称，则，，
则，则在曲线上，
则曲线关于轴对称，①正确；
②，
若为直角，则
则，
当时，无解，故②错误；
③当时，双曲线即，交点为，，实轴长为，
则，
若，则，
则，
则点在曲线上，③正确；
④当时，设，则，
由于，则，
同理，则，
由于，则点在椭圆内部，
则曲线在椭圆内部，曲线所围成的图形面积小于椭圆所围成的图形面积，
④正确；
故答案为：①③④.
15．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为，
由题意得，
解得或，
因为，所以，代入可得，
所以；
（2），
则，
.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点，连接，
因为分别为的中点，故，且，
又，且，则且，
则四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，故平面.
（2）由题意得，所以，
又因为，所以，
又因为平面，平面，
所以，，
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
则，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
则，
设平面与平面所成夹角为，
则，
即平面与平面所成夹角的余弦值为.
17．(1)2；
(2)；
【详解】（1）因为梯形为的长轴，的高为，，
所以点的纵坐标为，代入椭圆方程得，
可得，又因为在上的射影为的焦点，
∴，解得，
∵，∴.
（2）由题意，椭圆，直线CD的方程为，
设，，则，化简得，
，得，
∴，，
∴
，
∵，所以，
所以的取值范围为.
18．(1)证明见解析
(2)①；②.
【详解】（1）由，得，即，
所以是公差为1的等差数列.
（2）①由（1）及已知得，，则，
，于是，
两边同乘以，得，
两式相减得，
，所以.
②不等式
依题意，对任意的恒成立，令，
则，
因此数列为递减数列，则当时，，则，
所以实数的取值范围是.
19．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）由题意可得，，则；
（2）（ⅰ）设曲线上任意一点为，且，将其绕原点逆时针旋转得到点，
则，得，
则，即，
故曲线的方程为；
（ⅱ）设，且，，
由题意可知，过点的切线斜率存在，故设切线方程为，
联立，得，
则，
即
，
则，
当直线的斜率存在时，设直线，，
联立，得，
则，
则，
，
因为，所以
，
则，
即，即，
因为直线不过点，所以，
则，得，
则，此时BD与曲线在P点处的切线垂直；
当直线的斜率不存在时，设直线，其中或，，
联立，得，则，
则
，不符合题意.

综上，BD与曲线在P点处的切线垂直．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
B
B
BC
A
BC
AD
题号
11









答案
ABC