湖北省部分重点高中2025-2026学年高二下学期3月学科素养测评试卷 数学（含解析）

这是一份湖北省部分重点高中2025-2026学年高二下学期3月学科素养测评试卷 数学（含解析），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，则的公比是（ ）
A．2B．4C．8D．16
2．定义在R上的函数，若，则（ ）
A．B．C．2D．4
3．已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相离C．相交D．不确定
4．记正项等比数列的前项积为，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
6．若函数，数列中；，则（ ）
A．256B．C．400D．441
7．已知过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，点是双曲线的左焦点，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
8．对于实数x，表示不小于x的最小整数，如．定义函数，当时，函数的值域为，记集合中的元素个数为，数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一动点，则（ ）
A．椭圆的离心率B．面积的最大值为2
C．存在4个点，使得D．的最小值为1
10．在棱长为2的正方体中，是的中点，是线段上的动点，且，则（ ）
A．当时，B．的最小值为
C．的最小值为D．当四点共面时，
11．正项数列中，，若的前n项和为，且，则下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．数列单调递增D．
三、填空题
12．将1到2026这2026个数中，能被3除余1且被5除余2的数从小到大排成一列构成数列，则________．
13．已知点，动点满足，动点在直线上，则的最小值为________．
14．数列的前n项和为，且满足，若，，则______．
四、解答题
15．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若P是曲线上一动点，求在P处的切线l的倾斜角的取值范围．
16．已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前n项和为，求．
17．如图，圆锥中，底面圆O的直径AB长为4，C是圆O上异于A，B的一点．设二面角与二面角的大小分别为与，且．
(1)N是劣弧的中点，证明：．
(2)求圆锥的高OP；
(3)若，求二面角的余弦值．
18．已知正项数列的前n项和为，且，正项数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求的前n项和；
(3)记，求数列的前n项和为．
19．已知点，圆，P为圆上的一个动点，线段PD的中垂线与PC交于点Q，当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)若过定点且斜率存在的直线l与曲线交于A，B两点，试探究：
①在y轴上是否存在定点M，使得直线MA，MB的斜率之积为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②若N为平面内一动点，直线NA，NT，NB斜率的倒数成等差数列，则点N是否在某定直线上？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【详解】 由题意可知数列的公比.
2．A
【详解】已知，由导数的定义可以知道，
设，当时，.且
所以
3．B
【详解】点在圆内，，
圆心到直线距离，
直线与圆相离.
故选：B.
4．C
【详解】因为数列是正项等比数列，且，
所以，所以.
所以.
5．D
【详解】因为为的重心，所以，
又是的中点，所以.
所以.
6．C
【详解】由已知得，
因为
所以
7．A
【详解】由题意得在双曲线左支上，则，
因为，则，且，
则，
，
因为，
则，
即，
整理得，即，
在双曲线中有，即，
联立，整理得，即，
所以双曲线的渐近线方程为.
8．D
【详解】当，
根据函数定义，应含有个整数元素，即， 又，
由累加法可得，
则，所以，
则．
9．ABD
【详解】对于A，由椭圆方程知：，
所以，所以，故A正确；
对于B，如图所示：
由图可知当点在上顶点或下顶点时，的面积最大，
最大值为，故B正确；
对于C，由知，所以在以为直径的圆上，
该圆的圆心为，半径为，
所以该圆的方程为：，联立，
解得：或，所以满足条件的点只有2个，故C不正确；
对于D，令，
由椭圆的定义知：，且，
所以，
因为，所以，
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为1，故D正确.
10．AC
【详解】由题意知，以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，，
因为在上，且，所以，
所以，即，
对于A，当时，，此时，
由，所以，
即，故A正确；
对于B，由,
，
当时，，
所以的最小值为，故B错误；
选项C，由，
,
所以，所以，
由，
当时，，
所以的最小值为，所以的最小值为，故C正确；
对于D，由，
若四点共面，则可以由线性表示，
即存在有序实数对，使得，
即，
所以有，故D错误.
11．ACD
【详解】当时，，
则，整理得，
所以数列是公差为1的等差数列，
代入，，其中，
解得，故，因为也满足，故
进而．
当时，，又也满足，则．
，由函数的单调性可得数列单调递减；
所以，故A正确，B错误；
，数列，单调递增，C正确；
由可得，
，故D正确；
12．52
【详解】根据题意可得，满足“被除余”的正整数为
满足“被除余”的数为,
故同时满足这两个条件的整数是，
所以.
13．1
【详解】设，
因为，即，整理可得，
可知动点N的轨迹是以为圆心，半径的圆，
则点到直线的距离，
可知直线与圆相离，
设动点N到直线的距离为，则，
所以的最小值为1.
14．4052
【详解】由可得，作差可得，
整理得，用代换n可得，
再次作差，，所以，即是等差数列．
又，，
由为奇函数且单调递增，可知，即，
所以．
15．(1)
(2)
【详解】（1）方法一：由导数的定义及几何意义可得
．
方法二：，则
所以在处的切线方程为，整理得
（2）设，在P处的切线斜率为，
即，由斜率，，
且得，.
16．(1)
(2)
【详解】（1）当时，；
当时，，则．
经检验，当时也满足该式．综上，
（2）由题意知，
数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，分组求和可得
．
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可得，平面ABC，且平面，所以；
又N是劣弧的中点，则，
，平面，所以平面PON，
又平面PON，则
（2）分别取AC，BC的中点M，Q，由，则．
连接OM，OQ，，，
由平面ABC，且平面，平面，所以．
又AB是底面圆O的直径，则．
则．在与中，．
由得
整理得，则．
（3）因为，即，所以，即．
．
因为，，，所以两两垂直，
以点O为坐标原点，ON，OM，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则．
所以．
设平面PAC的法向量为，则，即，
不妨取，则，此时
设平面PBC的法向量为，则，即，
不妨取，则，此时．
所以，
所以二面角的余弦值为.
18．(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可得，又为正项数列，，
所以，所以．
当时，；当时，，
显然时也满足上式，综上可得.
由得，当时，，
所以，则，
又，则，也满足上式，故
（2）由（1）可得，．
所以，
则，
作差得，
所以
（3）由（1）可得，
所以．
19．(1)
(2)①时，直线MA，MB的斜率之积为定值 ；②点N在定直线上
【详解】（1）由题意可得，，则，
故点Q的轨迹为椭圆，且，所以，
则曲线的方程为；
（2）①设直线l的方程为，点．
联立，消y可得，
则，
所以，
，
所以，
整理得，
则当，即时，直线MA，MB的斜率之积为定值；
②设点，
由直线NA，NT，NB斜率的倒数成等差数列，则，
即，所以，
又，代入可得．
当时，则点N在直线l上，显然不满足定直线，
当时，，
又直线NT的斜率不能为零，则，
所以，即．
由①可得，，则．
综上，所以点N在定直线上（经检验合题意）.