特殊三角形——初中数学中考一轮分层训练(学生版)练习含答案

这是一份特殊三角形——初中数学中考一轮分层训练(学生版)练习含答案试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
一、基础题
1．（2025·梓潼模拟）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，添加下列条件后仍不能使△ABC成为直角三角形的是（ ）
A．∠1=∠AB．CDAD=BDCD
C．BC∶AC∶AB=3∶4∶5D．∠B+∠2=90°
2．（2025·岳阳模拟）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，连接EB、EC，若∠EBC=45°,BC=6，则ED等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2025·贵州）如图，在▱ABCD中，AB=3,BC=5,∠ABC=60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
4．（2025·杭州模拟） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB、AC于D、E，连接CD. 若CE=13AE=1，则CD的长为（ ）
A．4B．3C．6D．262
5．（2025·连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 m.
6．（2025·淮安）若等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数是 °．
7．（2025·西宁） 等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 .
8．（2025·福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC， E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB=AC=8m，则DE的长为 m.
9．（2024·无锡）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE．求证：
（1）△ABE≌△DCE；
（2）∠EAD＝∠EDA．
10．（2019·重庆）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.
求证：AE=FE.
二、能力题
11．（2025·绵阳）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A（1，0），C（1，23），将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（ ）
A．（﹣3，3）B．（−3，3）C．（−3，2）D．（﹣2，3）
12．（2025·西藏）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交CD于点G，连接AG，则AG的长为（ ）
A．35B．2C．210D．42
13．（2025·攀枝花） 如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，CE⊥AB于点E，AD与CE相交于点O，则ODOC=（ ）
A．34B．35C．45D．2425
14．（2025·盐城）七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE．若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
15．（2025·潍坊）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．
甲：A→C→B，路程为l甲．
乙：A→D→E→F→B，路程为l乙．
丙：A→G→H→B，路程为l丙．
下列关系正确的是（ ）
A．l甲>l乙>l丙B．l乙>l甲>l丙
C．l甲>l丙>l乙D．l甲=l乙>l丙
16．（2025·资阳）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE//DA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是 .
17．（2025·白银）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处.B'C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，若AB=6cm，则AD= cm
18．（2025·南通）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC．若AC＝4.8m，∠C＝30°，则EF的长为 m．
19．（2025·淄博）已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点F，Q．若∠FQP＝45°，则EF的长为 ．
20．（2025·西宁）如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE，将△EDC沿DE所在直线折叠，点C落在点F处，连接EF并延长交AB于点G，连接DG.
（1） 求证： △ADC≅△FDC；
（2） 若 AB=25， 求AG的长.
21．（2025·镇江）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点P处，墙脚O离竹根A处3尺远．请你解答：折断处B离地面多高？
22．（2025·巴中）某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为30°，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为75°，A、B与电塔底部C在同一直线上．
（1）求点B到AD的距离；
（2）求高压电塔CD的高度（结果保留根号）．
三、拓展题
23．（2024·松北模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=BCAB，根据上述角的正对定义，则sad60°的值为（ ）
A．32B．22C．12D．1
24．（2025·南山模拟）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为30cm，则这个“莱洛三角形”的周长是 cm．（结果保留π）
25．（2025·苏州）综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究.如图， △ABC中， ACB=90∘,CA=CB,△CDE中， ∠DCE=90∘,∠E=30∘,AB=CE=12cm.
（1）【观察感知】
如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE 交于点 F，求 ∠AFD的度数和线段AD 的长.（结果保留根号）
（2）【探索发现】
在图①的基础上，保持 △CDE不动，把 △ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点 A 落在边 DE 上（如图 ②）.
①求线段AD 的长；（结果保留根号）
②判断AB 与DE 的位置关系，并说明理由.
26．（2025·江西模拟）定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：①如图1，△ABC，△ADE都是等边三角形，则△ABC △ADE的“旋转位似图形”（填“是”或“不是”）；
②如图2，若△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”，∠B=100°，∠E=30°，则∠DAE= °；
③如图2，若△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”，若AB=4，AD=6，AE=15，则AC= ，若连接BD,CE，则BDCE= ．
（2）知识运用：
如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AE⊥BD于E，∠DAC=∠DBC，求证：△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；
（3）拓展提高：
如图4，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC的中点，点F是AB上一点，D是GF延长线上一点，点E在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，若AC=6,AD=22，求DE和BD的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；直角三角形的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：A、∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠2=90°，
又∵∠A=∠1，
∴∠1+∠2=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形，故选项A不符合题意；
B、 ∵CDAD=BDCD，∠BDC=∠ADC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠A=∠1，
∵∠A+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形，故选项B不符合题意；
C、 ∵BC∶AC∶AB=3∶4∶5，
∴BC2+AC2=AB2，
∴∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形，故选项C不符合题意；
D、∵∠B+∠2=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠A=∠B，只能说明△ABC为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D符合题意．
故答案为：D.
【分析】由垂直的定义可得∠ADC=∠BDC=90°，由直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠BAC=90°，从而根据有一个内角为直角的三角形是直角三角形可判断A选项；由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△ADC∽△CDB，由相似三角形对应角相等得出∠A=∠1，由直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠BAC=90°，从而根据有一个内角为直角的三角形是直角三角形可判断B选项；根据勾股定理的逆定理可判断出∠ACB=90°，从而根据有一个内角为直角的三角形是直角三角形可判断C选项；由同角的余角相等推出∠A=∠B，只能说明△ABC为等腰三角形，无法说明是直角三角形，据此可判断D选项.
2．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：在等边三角形ABC中，AD⊥BC，BC=6，
∴BD=CD=3，∠BDE=90°，
∵∠EBC=45°，
∴∠BED=∠EBC=45°，
∴DE=DB=3，
故选：A
【分析】
先由等腰三角形三线合一知BD＝CD＝3、CE＝BE，再由等边对等角结合三角形的内角和可得△BEC是等腰直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可．
3．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：因为以A为圆心，AB长为半径作弧交BC于E，所以AB=AE=3 ，
又因为∠ABC=60∘，所以△ABE是等边三角形，BE=AB=3 ，
已知BC=5，
则EC=BC−BE=5−3=2.
故答案为：D .
【分析】根据作图可知AB=AE，结合∠ABC=60∘判定△ABE为等边三角形，求出BE长度，再用BC−BE得到EC.
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CE=13AE=1
∴AE=3，AC=4，
连接BE，
由作图可得：MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=3，AD=BD
∵∠ACB=90°，
∴BC=BE2−CE2=32−12=22
∴AB=AC2+BC2=42+(22)2=26
∴CD=12AB=6，
故答案为：C.
【分析】先求解AE，AC，再连接BE，证明AE=BE，AD=BD，利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案.
5．【答案】2.4
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知∠ACB=90°，AC=h，
∴ℎ=AB2−BC2=32−1.82=2.4
故答案为：2.4.
【分析】根据题意可知 ∠ACB=90°，AC=h，然后利用勾股定理求出h的值.
6．【答案】80
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形底角相等，
∴180∘−50∘×2=80∘,
∴顶角为 80∘.
故答案为： 80.
【分析】利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小.
7．【答案】7
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意知，等腰三角形的两腰相等，根据两个边长为3和7，
当腰长为3时，3+37，满足三边关系，
故第三边的长为7，
故答案为： 7.
【分析】首先根据等腰三角形的两腰相等，结合边长为3和7，分类讨论后，结合三角形的三边关系，即可确定.
8．【答案】4
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解： ∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵E是AB的中点，
∴DE=0.5AB=4，
故答案为：4.
【分析】
由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算.
9．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△DCE中，
AB=DC∠B=∠CBE=CE，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
（2）证明：由（1）得△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得AB=DC，∠B=∠C=90°，然后用中点的定义得BE=CE，接下来根据全等三角形判定定理“SAS”即可得证△ABE≌△DCE；
（2）根据全等三角形对应边相等得AE=DE，从而根据等腰三角形“等边对等角”得证∠EAD＝∠EDA．
10．【答案】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，又∠C=42°.
∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD
∴∠BAD=∠F，∴AE=FE
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD＝∠CAD，再根据直角三角的两锐角互余即可得出∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；
（2）根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD＝∠CAD，根据二直线平行内错角相等得到∠F＝∠CAD，由等量代换得到∠BAD＝∠F，根据等角对等边得出结论。
11．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣平移；数形结合
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图所示：
∵点A（1，0）， C（1，23），
∴
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=23，
∵BD⊥AC，
∴AD=CD=3，点D（1，3）
∴BD=3，
∴点B（-2，3），
∴ 将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（-3，3），
故答案为：A.
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，由A、C的坐标可知AC⊥x轴，AC∥y轴，由等边三角形的性质可得点B（-2，3），再根据坐标系中图形平移的规律即可得出答案.
12．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， AB=6， 点E是BC的中点，
∴CB=CD=AD=AB=6，∠D=∠B=∠C=90°，
∴BE=CE=12CB=3,
由折叠得AF=AB， FE=BE=3， ∠AFE=∠B=90°，
∴AF= AD， ∠AFG =∠D = 90°，
在Rt△AFG和Rt△ADG中，
AG=AGAF=AD,
∴ Rt△AFG ≌ Rt△ADG(HL)，
∴FG=DG，
∵CE2+CG2=EG2,且CG=6-DG， EG=3+FG=3+DG，
∴32+6−DG2=3+DG2,解得DG=2，
∴AG=AD2+DG2=62+22=210,
故答案为： C.
【分析】由正方形的性质得CB=CD=AD=AB=6，∠D=∠B=∠C =90°， 则. BE=CE=12CB=3， 由折叠得AF= AB， FE = BE =3， ∠AFE=∠B=90°， 可证明Rt△AFG≌ Rt△ADG， 得FG=DG， 利用勾股定理求得DG=2， 即可求出AG长解答即可.
13．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AB＝AC＝5， D为BC的中点， BC＝6，
∴AD⊥BC，CD=BD=12BC=3，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∴∠EAD+∠AOE=90°，∠COD+∠OCD=90°，
∵∠AOE=∠COD，
∴∠EAD=∠OCD，
∴△ADB∽△CDO，
∴ODOC=DBAB=35，
故答案为：B .
【分析】先利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD=BD=3，然后根据垂直定义可得∠AEC=∠ADC=90°，再根据对顶角相等可得∠AOE=∠COD，从而可得∠EAD=∠OCD，进而可得△ADB∽△CDO，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答.
14．【答案】B
【知识点】七巧板与拼图制作；等腰直角三角形；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵△DEF和△DCH都是等腰直角三角形，∠F=∠DHC=90°，
∴DF=EF，DH=CH，
∴∠FDE=∠E=∠HCD=∠HDC=45°，
∵AB∥DE，
∴∠ACD=∠CDE，
∴∠1+∠HDC=∠2+∠FDE，
∵∠1=20°，
∴20°+45°=∠2+45°，
∴∠2=20°，
故选：B．
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠FDE=∠E=∠HCD=∠HDC=45°，根据平行得∠ACD=∠CDE，即可得到∠2=20°解答即可．
15．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AB=a
在图甲中
∵∠A=∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AC=BC=AB=a
∴甲行走的路程l甲=AC+BC=2a
在图乙中
AE+BE=AB=a
∵∠A=∠AED=∠FEB=∠B=60°
∴△DAE和△FEB都是等边三角形
∴AD=DE=AE，DF=FB=EB
∴乙行走的路程l乙=AD+DE+DF+FB=2(AE+BE)=2a
在图丙中
延长AG，BH交于点P
∵∠A=∠B=60°
∴AP=AB=a
∵GH