湖北省部分省级示范高中2024-2025学年下学期高二期中测试 数学试卷（含解析）

这是一份湖北省部分省级示范高中2024-2025学年下学期高二期中测试 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A．B．C．1D．
2．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（ ）
A．B．C．D．
4．函数在上单调递增的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
5．设函数的导函数，则数列的前100项和是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列函数求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（ ）
A．《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法
B．两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法
C．两部动画片相邻放映，共有48种排法
D．3部喜剧电影不相邻，共有24种排法
11．烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满园.将樱花抽象并按照一定的规律循环出下图：
图①将樱花抽象后，得樱花数，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数，以此类推.假设第n个图的樱花数是，设数列的前n项和为.则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．数列是递增数列D．数列的前n项和为
三、填空题（本大题共3小题）
12．用数字、、、、组成的无重复数字的四位数的个数为 ．（用数字作答）
13．已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则 ．
14．已知定义在R上的偶函数满足，且当时，．若，则在点处的切线方程为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．数列的前项和为，已知且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在数学中，常用符号“”表示一系列数的连乘，求集合中元素的个数．
16．2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求
（1）若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？
（2）若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？
17．已知．
（1）求函数的极值；
（2）过点做曲线的切线l，求切线l的方程．
18．等差数列的前n项和为，数列满足
（1）求数列和的通项公式；
（2）若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和．
19．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个不相等的实数根，求证：.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意可知，
则.
故选D
2．【答案】B
【详解】因为等比数列的各项均为正数，且，
由等比数列的性质得，
因此，.
故选B.
3．【答案】C
【详解】由题意可知，前个位置中有两个位置安排字母，有种，
然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置，有种，
由分步乘法计数原理可知，可能的密码种数为.
故选C.
4．【答案】A
【详解】由题意可得在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以时，有极大值，即最大值，，
所以.
故选A
5．【答案】C
【详解】由可得其导函数为，
又，可得，所以，
所以，
因此数列的前100项和为
.
故选C
6．【答案】B
【详解】因为，所以，
令，得到，解得，
代回原函数得到，
而，故切点为，
而，，
设曲线在处的切线斜率为，
由导数的几何意义得，
故切线方程为，化简得，
令，得到，所以与轴交点为，
令，得到，所以与轴交点为，
且设三角形面积为，故，故B正确.
故选B
7．【答案】B
【详解】由可得，
令函数，
可得即在上单调递减，
因此可得，即，所以.
故选B
8．【答案】C
【详解】小于等于的自然数的平方有：，而
，
由构成的有序数组的个数为：个；
由构成的有序数组的个数为：个；
由构成的有序数组的个数为：个；
所以一共有：个.
故选C.
9．【答案】AC
【详解】由基本初等函数的导数公式可知，A正确；
，故B错误；
，故C正确；
令，则，则，，
则，故D错误；
故选AC
10．【答案】ABC
【详解】对于A，先从剩下的四场中选一场排《哪吒之魔童闹海》，然后另外的4部电影全排列，
则有种排法，故A正确；
对于B，5部电影全排列有种排法，因为两部动画片放映的先后顺序固定，
则有种排法，故B正确；
对于C，先将两部动画片捆绑，再与另外三部电影全排列，
则有种排法，故C正确；
对于D，先排两部动画片，刚好形成3个空，将三部喜剧电影插入这3个空，
则有种排法；
故选ABC
11．【答案】BCD
【详解】A，由题意可知，显然，A错误；
B，由题意可得，
则
，
也适合，故，
所以
，B正确；
C，，则
，
当时，，
即，故数列是递增数列，C正确；
D，，
故数列的前n项和为
，D正确，
故选BCD
12．【答案】
【详解】首位不能排，有种选择，然后在剩余个数字中选择个排在剩余的三个数位上，
因此，满足条件的四位数的个数为个.
13．【答案】4
【详解】由题意知，
由，
所以.
14．【答案】
【详解】因为，所以，即，
令，有，所以，
因为为偶函数，所以，
由，令得，所以，
因为为偶函数，所以，
所以在点处的切线方程为，
即.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，即，
当时，可得，则，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，整理可得且，
所以，数列为首项为，公比为的等比数列，故.
（2）由题可知：
所以集合
故集合中元素的个数为.
16．【答案】（1）150
（2）14
【详解】（1）将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法，
若为1，1，3，则有种分组方式，
再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种；
若为1，2，2，则有种分组方式，
再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种，
所以由分类加法计数原理可知，共有种不同的分配方案.
（2）先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有种方法，
然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有种，
则共有种分配方案，
若甲乙两人在同一个项目，则甲乙只能安排到全程马拉松项目，则剩下的3人每个项目安排1人即可，有种分配方案，
最后共有种分配方案.
17．【答案】（1）答案见解析
（2）
【详解】（1）函数定义域为，，
当时，，则在上单调递增，此时无极值；
当时，令，则，则在上单调递增；
令，则，则在上单调递减；
此时的极小值为，无极大值.
综合上述，当时，无极值；
当时，的极小值为，无极大值.
（2）设直线与曲线的切点坐标为，
由（1）知，则在点处的切线斜率为，
故切线方程为，①
将点代入得
解得.
代回①得切线方程为.
18．【答案】（1），
（2）4231
【详解】（1）因数列是等差数列，则，得，
又，所以，所以等差数列的公差，
则，
因，
则当时，，
两式作差得，即，
令，得，则，满足上式，则，
综上，数列的通项公式为，
数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，，且，
经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为，
从而数列中去掉的是这4项，
所以.
19．【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明见解析.
【详解】（1）函数的定义域为，对函数求导得，
令，可得，此时，函数在上单调递减，
令，可得，此时，函数在上单调递增，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题知
不妨设，由（1）知，
要证，即证，即证，
又，即证，
令，其中，
则，
因为，则，
所以，，故函数在上为减函数，
又因为，所以对任意的恒成立，
则，即，故成立.
接下来证明，
令，则，又，
即，所以，
要证，即证，
不等式两边取对数，即证，
即证，即证，
令，，则，
令，其中，则，
所以在上单调递减，
则当时，，
故当时，，
可得函数在上单调递减，可得，
即，所以，
综上，.