2023湖北省部分重点中学高二下学期3月智学联合检测试题数学含答案

2023年春“湖北省部分重点中学三月联合检测”

高二三月联考

数学试题

本试题卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知直线：．若直线与垂直，则的倾斜角是

A．120°    B．150°    C．60°     D．30°

2．已知等差数列的前n项和为，若，，则公差为

A．－3     B．3     C．1     D．－1

3．抛物线的焦点坐标为

A．    B．    C．    D．

4．函数的图像大致是

A．  B．  C．  D．

5．已知圆O：和点，若过点P的5条弦的长度构成一个递增的等比数列，则该数列公比的取值范围是

A．    B．    C．    D．

6．中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联系，如图，现用3种不同的颜色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色方法种数有

A．24     B．36     C．30     D．20

7．若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是

A．    B．   C．   D．

8．已知双曲线C：的右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e为

A．     B．2     C．     D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知圆C：，直线，则下列结论正确的是

A．圆C与曲线恰有三条公切线，则

B．当时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1

C．直线l恒过第二象限

D．当时，l上动点P作圆C的切线PA，PB，且A，B为切点，则AB经过点

10．正四棱柱的底面边长为2，侧棱长是3，AB，BC的中点为M，N，过点，M，N的平面记为α，则下列说法中正确的是

A．平面α截得的截面面积为     B．

C．BD⊥平面        D．二面角的正弦值为

11．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点，，P是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是

A．        B．

C．        D．的最小值为

12．已知函数，e是自然对数的底数，则

A．          B．

C．若，则     D．，且，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知数列满足，，则              ．

14．在《九章算术》中记载了一种“曲池”的几何体，该几何体的上，下底面平行，且均为扇环形（扇环指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环所对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则直线与所成角的余弦值为              ．

15．棱锥P-ABC的顶点都在球O的表面上，线段PC是球的直径，，，，则球O的表面积为              ．

16．已知不等式恒成立，则k的最大值为              ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．

17．（本题满分10分）

一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码．

（1）若一次取2个球，至少有一个白球的取法有多少种；

（2）若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法．

18．（本题满分12分）

已知数列的前n项的积记为，且满足．

（1）证明：数列为等差数列；

（2）设，求数列的前n项和．

19．（本题满分12分）

已知函数，．

（1）若，求的单调区间；

（2）关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．

20．（本题满分12分）

如图，已知圆锥P-ABC，AB是底面圆O的直径，且长为4，C是圆O上异于A，B的一点，．设二面角P-AC-B与二面角P-BC-A的大小分别为α与β．

（1）求的值；

（2）若，求二面角A-PC-B的正弦值．

21．（本题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．

（1）设P点的坐标为，证明；

（2）求四边形ABCD的面积的最小值．

22．（本题满分12分）

已知函数．

（1）若恒成立，求实数a的取值集合；

（2）求证：对，都有．

2023年春“湖北省部分重点中学三月智学联合检测”

高二三月联考

数学参考答案

1．A．

2．D．

由，则，∴公差．

3．B．

焦点在y轴正半轴上，故焦点坐标．

4．C．

先分析函数有两个零点，再探讨函数的单调性与极值情况即可判断．

5．A．

过点P的弦长，公比的取值范围．

6．C．

对称涂色．

7．B．

转化为直线与曲线上的点的距离最小值，利用导数的几何意义求上斜率为1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得m的范围．

8．D．

根据题意写出直线方程，与双曲线方程联立，运用韦达定理与构建出关于a、b、c的齐次方程，根据离心率公式即可解得．

9．ACD．

当时，直线l为，设点，圆C：的圆心，半径为，∴两圆的公共弦的方程为整理得，即，解之可得．

10．BD．

11．BCD．

12．ABD．

对于A、B，根据函数的单调性，即可判断；对于C，构造函数，，判断其单调性，结合，即可判断；对于D，将展开整理得，，然后采用分析法的思想，推出，构造函数，求其最小值即可判断．

13．2．

根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求．

14．．

建立空间直角坐标系，用向量法求解异面直线与所成角的余弦值．

15．52π．

16．．

不等式变形为：，

所以在单调递增，故，变形得到，

构造，，则，当时，，当时，，

故在处取得极小值，也是最小值，可知，故，k的最大值为．

17．

（1）30；

（2）70．

18．

（1）当n≥2时，，

∴，即，

又当n＝1时，，得，

∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列；

（2）由（1）得，则，

∴．

19．

（1）当a＝1时，，则．

当时，因为，且，所以，

所以，单调递减．

当时，因为，且，所以，

所以，单调递增．

所以当a＝1时，的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）恒成立等价于恒成立，

令，则．

①当a＝0时，在区间上恒成立，符合题意；

②当时，，

令，，即g（x）在上单调递增，，，则存在，使得，

此时，即，则当时，，单调递减；当时，，单调递增．

所以．

令，得．

因为，所以．

综上，实数a的取值范围为．

20．

（1）连结PO．因为点P为圆锥的顶点，所以PO⊥平面ABC．分别取AC，BC的中点M，N，

连接PM，OM，PN，ON，则在圆O中，OM⊥AC．由PO⊥平面ABC，得PO⊥AC．

又，故AC⊥平面PMO，所以AC⊥PM．

所以．同理，．

于是．

（2）因为，即，所以，即，

∵，

∴，．

在圆O中，CA⊥CB，以点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系C-xyz．

则，，．

又因为PO⊥平面ABC，所以OP∥z轴，从而．

则，，．

设平面PAC的法向量为，则，即，

不妨取，则，，此时．

设平面PBC的法向量为，则，即

不妨取，则，，此时．

所以．

所以二面角A-PC-B的正弦值为．

21．

（1）证明：椭圆，可知，，

由AC⊥BD，知点在以线段为直径的圆上，故，

所以．

（2）①当直线BD的斜率k存在且时，则直线BD的方程为，

联立，消去y得，

设，，则，

由弦长公式得

由AC⊥BD，垂足为P，知AC的斜率为，可知

则四边形ABCD的面积

，

当且仅当，即时，等号成立．

②当直线BD的斜率不存在或斜率时，此时四边形ABCD的面积．故四边形ABCD的面积的最小值为．

22．（1），

由于，故，

当时，恒成立，

此时令，故在处取得极小值，也是最小值，

且，故对恒成立；

当时，，则，显然不合要求，舍去

当时，令，解得：，令，解得：，其中，则在上单调递减，在上单调递增，

又，故当时，，不合题意，舍去；

综上：实数a取值集合为．

（2）设，，在上单调递增，

所以．

所以，，，

则

故只需证明：即可

由（1）可知，，则，

∴，

令（，2，3，…，n），

则（，2，3，…，n），

∴

，

∴．