湖北省2025-2026学年高一上学期数学学科素养测评试题（原卷版+解析版）

这是一份湖北省2025-2026学年高一上学期数学学科素养测评试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
5. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A. -1B. C. -2D. 2
6. 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数没有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若，则，
B. 若，则角第二或第三象限角
C. 满足条件的的解为或，
D. 终边落在轴上的角的集合为
10. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为1B. 的最小值为
C. 的取值范围为D. 的最小值为
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为
B. 若在区间恰有3个对称轴，则的取值范围为
C 若，且，则
D. 若关于的方程在上有2个解，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 半径为2的扇形弧长为6，则扇形的面积为______.
13. 已知，则_____.
14. 定义在上的奇函数满足，且当时，则当时的解有_____个.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
15. （1）若，，计算的值；
（2）计算值.
16. 已知函数.
（1）求的单调递增区间和对称中心；
（2）求不等式的解集.
17. 苏翊鸣奥运会摘金，激起了全民对冰雪运动的热爱，对某款冰雪运动装备商家在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数）.该款冰雪运动装备的日销售量（套）与时间的部分数据如下表所示，且第16天该商品的日销售收入为97500元.
（1）求的值.
（2）给出以下三种函数模型：①；②；③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量与时间的关系，说明你选择的理由.根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低.
18. 已知函数是奇函数，.
（1）求的解析式；
（2）若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围；
19. 若函数存在两个不同零点满足，则称函数为“零点距函数”.
（1）判断函数是否为“零点2距函数”？
（2）设，若函数为“零点3距函数”，求实数的取值范围；
4
9
16
25
（套）
13
19
25
31
高一数学学科素养测评
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合并集运算即可求解.
【详解】因为集合，，所以，即D正确.
故选：D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称命题的否定即可求解.
【详解】由题意知，命题“”否定为“”，故B正确.
故选：B.
3. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象的变换规则画出函数图象，即可得到函数的最小正周期；
【详解】函数是将位于轴下方的图像关于轴翻上去，
函数图象如图所示，
函数的最小正周期为.
故选：C.
4. 已知函数，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，再结合即可求解.
【详解】因为，所以，解得，故B正确.
故选：B.
5. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A. -1B. C. -2D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的定义即可求解.
【详解】根据三角函数的定义得，.
故选：B.
6. 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断.
【详解】对于A，由函数的图象可知，
由的图象可知且，互相矛盾，故A错误；
对于B，由函数的图象可知，
由的图象可知且，相符，故B正确；
对于C，由函数的图象可知，
由的图象可知且，互相矛盾，故C错误；
对于D，由函数的图象可知，
由的图象可知且，互相矛盾，故D错误.
故选：B.
7. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合的范围以及的符号，判断角所在象限，再运用三角恒等变换以及同角三角函数基本关系，即可得解.
【详解】由，得，即角的终边位于第二、三象限或轴负半轴，
而，则为第二象限角，
则，
故.
故选：A.
8. 若函数没有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出时，再分，和三种情况进行求解，即可求解.
【详解】当时，此时为增函数，所以可得，
若，则时单调递增，则，
此时在上没有最小值，符合题意；
当，函数，则时，当时，，
此时函数有最小值，则不符合题意故舍去；
当，则时，单调递减，且，则必须，解得；
综上所述，故D正确.
故选：D.
二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若，则，
B. 若，则角为第二或第三象限角
C. 满足条件的解为或，
D. 终边落在轴上的角的集合为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用特殊值可对A求解判断；因且即可对B判断求解；由即可对C判断求解；由任意角的表达可对D判断求解.
【详解】A：，但，故A错误；
B：由题可知，且4弧度在第三象限，，
则为第二或第三象限角，故B正确；
C：由，可解得或，故C正确；
D：终边落在轴上的角的集合为，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为1B. 的最小值为
C. 的取值范围为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据基本不等式的应用，结合选项计算即可判断.
【详解】，当且仅当时取等号，，的最大值为1，故A正确.
，
当且仅当时，取等号，故B正确
，对称轴，在时单调递减，时单调递增，
的取值范围为，故C错误
，令，则，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，则下列说法正确是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 若在区间恰有3个对称轴，则的取值范围为
C. 若，且，则
D. 若关于的方程在上有2个解，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦型函数的性质逐项分析即可.
【详解】对于A，由正弦型函数的性质可知，A正确
对于B，令，当时，要使有三个对称轴，则可取、、，一定不能取，即，则，B错误
对于C，令，当时，则时，
根据正弦函数在上的图象可知，即，，C正确
对于D，令，当时，则
当有2个解时，在上有2个解，如图，直线与，的图象有2
个交点，则，D正确
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 半径为2的扇形弧长为6，则扇形的面积为______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式即可求解.
【详解】扇形的半径为，扇形弧长为，
面积为.
故答案为：.
13. 已知，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】解法一：由题意可得，根据同角三角函数平方关系可得，进而计算即可求解；解法二：根据商数关系化简可得，由计算即可求解.
【详解】解法一：，
，，
，
，.
解法二： ，
，解得，
.
故答案为：.
14. 定义在上的奇函数满足，且当时，则当时的解有_____个.
【答案】1014
【解析】
【分析】由可得函数的周期为，再结合奇函数的性质求解即可.
【详解】由题可知，，的周期为8，
又当时，在上为奇函数，
可画出在一个周期上的图象为：
由图可知在每个周期上有4个解，在上有2个解，
则可分为区间再加253个周期，则零点个数应为个.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
15. （1）若，，计算的值；
（2）计算的值.
【答案】（1）24（2）6
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算性质、根式与指数幂的互化计算即得；
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）.
（2）
.
16. 已知函数.
（1）求的单调递增区间和对称中心；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）单调递增区间为，，对称中心为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦型函数整体代换法即可求解；
（2）由题可得，然后再分情况讨论得到，即可求解.
【小问1详解】
当单调递增时，，
所以，，
解得，
所以的单调递增区间为，，
令，，可得，，
所以的对称中心为.
【小问2详解】
因，即，
解得或，即或，
所以或，
所以只可能，
所以，，
解得，，
所以所求不等式的解集为.
17. 苏翊鸣奥运会摘金，激起了全民对冰雪运动的热爱，对某款冰雪运动装备商家在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数）.该款冰雪运动装备的日销售量（套）与时间的部分数据如下表所示，且第16天该商品的日销售收入为97500元.
（1）求的值.
（2）给出以下三种函数模型：①；②；③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量与时间的关系，说明你选择的理由.根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据“第16天该商品的日销售收入为97500元”列出关于的方程，则的值可求；
（2）结合表格数据以及函数解析式的特征选择模型，再利用基本不等式来分析取最值的情况.
【小问1详解】
由题意，得第16天该商品的日销售收入为97500元，
，解得.
【小问2详解】
表格中对应的数据递增的速度越来越慢，排除模型①.
因为表示在两侧“等距”的函数值相等（或叙述为函数图象必然关于直线对称），而表格中的数据并未体现此规律，排除模型②
对于模型③，将，代入模型③，解得
此时，，经验证，，均满足，故选模型③，
当且仅当，即时取到等号，
当时，日销售收入最低
18. 已知函数是奇函数，.
（1）求的解析式；
（2）若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据奇函数的性质求出参数的值，即可得解；
（2）设在上的值域为，在上的值域为，依题意可得，利用的单调性求出，令，则，依题意可得在上恒成立，参变分离，结合函数的单调性求出的取值范围.
【小问1详解】
，，
的定义域为，又为奇函数，，
，，
，，解得，
，；
【小问2详解】
由题可知设在上的值域为，在上的值域为，则，
因为在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，当时，，
，；
，
令，因为，则，
，，
，恒成立，其中，
，，
在上单调递增，
，，
即的取值范围为.
19. 若函数存在两个不同零点满足，则称函数为“零点距函数”.
（1）判断函数是否为“零点2距函数”？
（2）设，若函数为“零点3距函数”，求实数的取值范围；
【答案】（1）是，证明见详解.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数新定义计算解题；
（2）换元法结合对数运算结合单调性计算求解参数；
【小问1详解】
在单调递增，令，结合，故在有唯一零点，
在单调递增，令，解得，
故在有唯一零点，
只有2个零点，，
是“零点2距函数”
【小问2详解】
函数的零点，令即方程的不同根，
令，单调递增且，得，即方程一定有两个解
函数为“零点3距函数”，
，或，且，，则（不妨令）
，，，，
记，则，，
在上单调递增，
.
4
9
16
25
（套）
13
19
25
31