2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.样本数据x1，x2，…，xn的平均数x−=4，方差S2=1，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数，方差分别为( )
A. 9，4B. 9，2C. 4，1D. 2，1
2.某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记−1分，已知该同学的罚球命中率为60%，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为( )
A. 30B. 36C. 20D. 26
3.从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为( )
A. 13B. 23C. 49D. 59
4.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲、乙两个品种的茶青每500克的红茶产量(单位：克)分别为X，Y，且X∼N(μ1,σ12)，Y∼N(μ2,σ22)，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是( )
A. Y的数据较X更集中
B. P(X≤c)C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过μ2的概率大于12
D. P(X>c)+P(Y≤c)=1
5.若f(x)=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A. (−∞,1)B. (2,+∞)C. (1,2)D. (12,1]
6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为第一象限内一点，且点P在双曲线C的一条渐近线上，PF1⊥PF2，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率为( )
A. 52B. 52C. 102D. 54
7.一堆苹果中大果与小果的比例为9：1，现用一台水果分选机进行筛选.已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为( )
A. 855857B. 8571000C. 171200D. 910
8.已知正三棱锥的高为h，且1≤h≤3，其各个顶点在同一球面上，且该球的表面积为16π，则该三棱锥体积的最大值为( )
A. 64 327B. 64 39C. 16 327D. 16 39
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.以下说法正确的是( )
A. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
B. 若A、B两组数据的样本相关系数分别为rA=0.97，rB=−0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强
C. 决定系数R2越小，模型的拟合效果越差
D. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是715
10.爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春.除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节.小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次.假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为34，则( )
A. 事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B. “放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为916
C. 表演成功的环节个数的期望为3
D. 在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为34
11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是( )
A. 若x1+x2=5，则|PQ|=7
B. 以PQ为直径的圆与准线l相交
C. 设M(0,1)，则|PM|+|PP1|≥ 2
D. 过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条
12.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处(A1∉平面ABCD，若M为线段A1C的中点，二面角A1−DE−C大小为α，直线A1E与平面DEBC所成角为β，则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是( )
A. 存在某个位置，使得BM⊥A1D
B. △A1EC面积的最大值为2 2
C. 三棱锥A1−EDC体积最大是4 23
D. 当α为锐角时，存在某个位置，使得sinα=2sinβ
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩X∼N(90,δ2)，且P(X<60)=0.1，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀.若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______.
14.某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如表所示：
若y与x线性相关，且线性回归方程为y =0.24x+a ，则a =______.
15.已知函数f(x)=ex,(x>0)−x,(x≤0)，若直线y=kx+1与曲线y=f(x)有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是______.
16.近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线.某外卖小哥每天来往于4个外卖店(外卖店的编号分别为1，2，3，4)，约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件Ak={第k次取单恰好是从1号店取单}，P(Ak)是事件Ak发生的概率，显然P(A1)=1，P(A2)=0，则P(A3)=______，P(A10)=______(第二空精确到0.01).
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，2a1+a2=a3，数列{bn}满足2bn=4an(Sn+1).
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)记Tn为数列{1bnbn+1}的前n项和，正数m≤Tn恒成立，求m的取值范围.
18.(本小题12分)
国内某企业，研发了一款环保产品，为保证成本，每件产品售价不低于43元，经调研，产品售价x(单位：元/件)与月销售量y(单位：万件)的情况如表所示：
(1)求相关系数r(结果保留两位小数)；
(2)建立y关于x的经验回归方程，并估计当售价为55元/件时，该产品的月销售量约为多少件？
参考公式：对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,⋯,n)，相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2，其回归直线y =b x+a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2,a =y−−b ⋅x−.( 34≈5.83)
19.(本小题12分)
某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的20n(n∈N*)台新能源汽车车主，统计得到如表2×2列联表，经过计算可得χ2≈5.556.
(1)完成表格并求出n值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
(2)采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取12人，再从抽取的12人中抽取4人，设被抽取的4人中属于不喜欢新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
20.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b,0(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于P点，设PA=λ1AF2,PB=λ2BF2，试判断λ1+λ2是否为
定值？请说明理由.
21.(本小题12分)
王老师打算在所教授的两个班级中举行数学知识竞赛，分为个人晋级赛和团体对决赛.个人晋级赛规则：每人只有一次挑战机会，电脑随机给出5道题，答对3道或3道以上即可晋级.团体对决赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的2n个人平均分成n组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这n个小组都闯关成功，则该班级挑战成功.
方式二：将班级选派的2n个人平均分成2组，每组n人，电脑随机分配给同组n个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这2个小组至少有一个小组闻关成功则该班级挑战成功.
(1)甲同学参加个人晋级赛，他答对前三题的概率均为12，答对后两题的概率均为13，求甲同学能晋级的概率；
(2)在团体对决赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数p(022.(本小题12分)
已知函数f(x)=xcsx，g(x)=asinx.
(1)若a=1，证明：当x∈(0,π2)时x>g(x)>f(x)；
(2)当x∈(−π2,0)∪(0,π2)时，f(x)g(x)答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题设x−=E(X)=4，S2=D(X)=1，
所以E(2X+1)=2E(X)+1=9，D(2X+1)=4D(X)=4.
故选：A.
由平均值、方差的性质求新数据的平均数和方差．
本题主要考查平均数和方差的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：记该同学罚球命中的次数为X，则X∼B(10,0.6)，
∴E(X)=10×0.6=6，
∴该同学得分的数学期望为6×5+(10−6)×(−1)=30−4=26.
故选：D.
根据二项分布数学期望公式可求得该同学罚球命中次数的数学期望，结合罚球得分的规则可计算得到结果．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，取法有(123)、(124)、(125)、(134)、(135)、(145)、(234)、(235)、(245)、(345)，共10种取法；
其中三个数的积为偶数的有9种，分别为(123)、(124)、(125)、(134)、(145)、(234)、(235)、(245)、(345)，
三个数的和大于8的有5种，分别为(145)、(234)、(235)、(245)、(345)，
若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率P=59.
故选：D.
根据题意，由列举法分析“从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数”的取法，进而可得其中“三个数的积为偶数”和“三个数的和大于8”的取法数目，由条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，注意列举法的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；
对于B，因为c与μ2之间的与密度曲线围成的面积S1>c，μ1与密度曲线围成的面积S2，P(Y对于C，∵μ2<μ1，∴甲种茶青每500克超过μ2的概率P=P(X>μ2)>12，正确；
对于D，由B知：P(X>c)=12−S2,P(Yc)+P(Y1，错误．
故选：D.
根据正态分布曲线的性质和特点求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得f′(x)=ax+2bx+1，函数定义域为(0,+∞)，
∴a+2b+1=0a2+4b+1=0，解得a=−23b=−16，
∴f(x)=−23lnx−16x2+x，f′(x)=−23x−13x+1=−(x−2)(x−1)3x，
由f′(x)>0得1故选：C.
求出函数的导函数，依题意f′(1)=0且f′(2)=0，即可得到方程组，从而求出a、b的值，再利用导数求出函数的单调递增区间，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：因为PF1⊥PF2，设p(x,y)，y>0，
由题意可得：y=baxx2+y2=c2，解得x=a，y=b，
即P(a,b)，
又因为|PF1|=3|PF2|，F1(−c,0)，F2(c,0)，
所以(a+c)2+b2=9(a−c)2+9b2，b2=c2−a2，
整理可得：4c2=5ac，
可得e=ca=54.
故选：D.
由题意可知P为以F1F2为直径的圆与渐近线的交点，可得P的坐标，再由|PF1|=3|PF2|，可得a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．
本题考查双曲线的性质的应用及直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，记事件A1=放入水果分选机的苹果为大果，事件A2=放入水果分选机的苹果为小果，
记事件B=水果分选机筛选的苹果为“大果”，
P(A1)=910，P(A2)=110，P(B|A1)=1−5%=1920，P(B|A2)=2%=150，
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=910×1920+110×150=8571000，
则P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=910×1920=8551000，
故P(A1|B)=P(A1B)P(B)=85510008571000=855857.
故选：A.
根据题意，记事件A1=放入水果分选机的苹果为大果，事件A2=放入水果分选机的苹果为小果，记事件B=水果分选机筛选的苹果为“大果”，由全概率公式求出P(B)和P(A1B)，进而计算可得答案．
本题考查贝叶斯公式的应用，涉及条件概率的计算，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为外接球的表面积为16π，
所以外接球的半径为R=2，
如图所示：
设底面三角形的边长为a，且O1为等边三角形ABC的中心，则AO1=23× 3a2= 3a3，
在△AOO1中，R2=(h−R)2+( 33a)2，
解得a2=−3h2+12h，
所以 V=13Sh=13⋅ 34a2⋅h= 34(−h3+4h2)，
则 V′= 34(−3h2+8h)，
令 V′=0，得 h=83，
当 1≤h<83时，V′>0，V(h)单调递增，
当 83所以当 h=83时，V取得最大值为64 327.
故选：A.
设底面三角形的边长为a，在△AOO1中，利用勾股定理得到h和a的关系，得到三棱锥的体积，再利用导数法求解最值．
本题主要考查棱锥体积的求解，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：A.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故正确；
B.若A、B两组数据的样本相关系数分别为rA=0.97，rB=−0.99，且|rA|<|rB|，则A组数据比B组数据的相关性较弱，故错误；
C.决定系数R2越小，模型的拟合效果越差，故正确；
D.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是P=C31C71C102=715，故正确．
故选：ACD.
A.由残差的几何意义判断；B.由相关系数的绝对值大小判断；C.由决定系数R2判断；D.利用古典概型的概率求解判断．
本题主要考查统计的知识，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”可以同时发生，故不互斥，A错误；
“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为34×34=916，B正确；
记表演成功的环节个数为X，则X∼B(4,34)，期望为4×34=3，C正确；
记事件M：“表演成功的环节恰为3个”，
事件N：“迎新春环节表演成功”P(MN)=C32×(34)3×14=81256，P(M)=C43×(34)3×14=2764，
由条件概率公式P(N|M)=P(NM)P(M)=34，D正确，
故选：BCD.
根据互斥事件的概念判断A；根据相互独立事件的乘法公式判断B；根据二项分布的期望公式判断C；根据条件概率的计算公式判断D.
本题考查离散型随机变量的期望与方差，条件概率公式的应用，属中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：抛物线C：y2=4x焦点F(1,0)，准线l：x=−1，
由题意|PQ|=x1+x2+p=7，故A正确；
因为|PQ|=x1+x2+2，则以PQ为直径的圆的半径r=x1+x22+1，
线段PQ的中点坐标为(x1+x22,y1+y22)，
则线段PQ的中点到准线的距离为x1+x22+1=r，
所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B错误；
抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，
又|PM|+|PP1|=|PM|+|PF|≥|MF|= 2，
当且仅当M，P，F三点共线时，取等号，
所以|PM|+|PP1|≥ 2，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为x=0，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，
联立y=kx+1y2=4x，得ky2−4y+4=0，
当k=0时，方程的解为y=1，此时直线与抛物线只有一个交点，
当k≠0时，则Δ=16−16k=0，解得k=1，
综上所述，过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确．
故选：ACD.
根据焦点弦公式即可判断A；求出线段PQ的中点坐标及圆的半径，从而可判断B；根据抛物线的定义可得|PM|+|PP1|=|PM|+|PF|≥|MF|，即可判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D.
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，方程思想，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：对于A，取A1D的中点N，连接EN，MN，
因为M是A1C的中点，
所以MN//DC且MN=12DC，
因为E为AB中点，AB//DC且AB=DC，
所以MN//EB，且MN=EB，
故四边形MNEB为平行四边形，
所以BM//EN，
又EN与A1D不垂直，
所以不存在某个位置，使得BM⊥A1D，A错误；
对于B：S△A1EC=12A1E⋅ECsin∠A1EC≤12A1E⋅EC=12×2×2 2=2 2，
当且仅当sin∠A1EC=1时，即A1E⊥EC时，等号成立，故B正确；
对于D：过点A1作A1K⊥平面DCBE于点K，作KF⊥DE于点F，连接KE，A1F，
则∠A1FK是A1−DE−C的平面角，即∠A1FK=α，
∠A1EK是直线A1E与平面DCBE所成角，即∠A1EK=β，
所以sin∠A1FK=A1KA1F,sin∠A1EK=A1KA1E，
故sin∠A1FKsin∠A1EK=A1EA1F= 2为定值，
故当α为锐角时，不存在某个位置，使得sinα=2sinβ，故D错误；
C选项，当三棱锥A1−EDC体积最大时，A1F⊥平面DCBE，S△EDC=12×2×4=4，
A1D=A1E=2且∠DA1E=90∘，
所以A1F=12AD=12× 22+22= 2，
所以VA1−EDC=13S△EDCA1F=13×4× 2=4 23，
即(VA1−EDC)max=4 23，故C正确．
故选：BC.
作出辅助线，证明BM//EN，又EN与A1D不垂直，可得结论，A错误；利用三角形面积公式即可求解B；作出辅助线，找到∠A1FK=α，∠A1EK=β，由线段比求出答案，即可判断D；由D可得当三棱锥A1−EDC体积最大时，A1F⊥平面DCBE，再根据锥体体积公式计算可得．
本题考查立体几何的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】120
【解析】解：由X∼N(90,δ2)，得正态分布曲线的对称轴为x=90，
因为P(X<60)=0.1，所以P(X>120)=0.1，
则数学成绩为优秀的人数是1200×0.1=120.
故答案为：120.
由已知结合正态分布曲线的对称性得P(X>120)=0.1，乘以总人数即可得出答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
14.【答案】0.28
【解析】解：x−=1+2+3+4+55=3，y−=0.5+0.8+1.0+1.2+1.55=1，
所以1=0.24×3+a ,a =1−0.72=0.28.
故答案为：0.28.
根据样本中心点求得正确答案．
本题主要考查线性回归方程的求解，属于基础题．
15.【答案】(−1,1]
【解析】解：y=kx+1过定点(0,1)，
f(x)=ex求导有f′(x)=ex，f′(0)=1，且f(0)=1，
y=ex在(0,1)处的切线斜率为1，
要满足y=kx+1与曲线f(x)有且仅有一个公共点，
当直线y=kx+1与y=−x平行时，此时k=−1，
转动直线y=kx+1可知−1故实数k的取值范围是(−1,1].
故答案为：(−1,1].
找到直线y=kx+1与y=ex相切时的斜率k=1以及y=kx+1与y=−x平行时的斜率k=−1，通过转动直线即可得到k的范围．
本题主要考查函数与方程的综合应用，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】13 0.25
【解析】解：A2={第2次取单恰好是从1号店取单}，由于每天第1次取单都是从1号店开始，根据题意，第2次不可能从1号店取单，所以P(A2)=0，
A3={第3次取单恰好是从1号店取单}，
因此P(A3)=P(A−2A3)=P(A−2)P(A3|A−2)=[1−P(A2)]×13=13；
∴P(Ak+1)=P(A−kAk+1)=P(A−k)P(Ak+1|A−k)=[1−P(Ak)]×13，
∴P(A4)=[1−P(A3)]×13=23×13=29，
P(A5)=[1−P(A4)]×13=79×13=727，
P(A6)=[1−P(A5)]×13=2027×13=2081，
P(A7)=[1−P(A6)]×13=6181×13=61243，
P(A8)=[1−P(A7)]×13=182243×13=182729，
P(A9)=[1−P(A8)]×13=547729×13=5472187，
P(A10)=[1−P(A9)]×13=16402187×13=16406561≈0.25.
故答案为：13；0.25.
(1)利用条件概率公式可直接得到结果；
(2)利用条件概率公式得到P(Ak+1)与P(Ak)之间的关系式，再进一步计算即可．
本题主要考查全概率公式，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a1=1，2a1+a2=a3，
所以2+q=q2，解得q=2或q=−1(舍)，故an=2n−1,Sn=2n−1，
因为2bn=4an(Sn+1)=2n+1×2n=22n+1，所以bn=2n+1，
(2)因为1bnbn+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，
所以Tn=12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)]
=12(13−12n+3)=n3(2n+3)=n6n+9，
又y=x6x+9=16+9x(x≥1)是单调增函数，
又当n=1时，Tn=115，故115≤Tn，
因为正数m≤Tn恒成立，
所以m∈(0,115].
【解析】(1)根据条件先求得an和Sn，再求出bn即可．
(2)利用裂项求和法求得Tn，结合函数的单调性求得m的取值范围．
本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)根据产品售价x与月销售量y的统计表格中的数据，
可得：x−=52+50+48+45+44+436=47,y−=5+6+7+8+10+126=8，
i=16(xi−x−)(yi−y−)=−15−6−1+0−6−16=−44，
i=16(xi−x−)2= 25+9+1+4+9+16= 64=8，
i=16(yi−y−)2= 9+4+1+0+4+16= 34，
所以相关系数r=i=16(xi−x−)(yi−y−) i=16(xi−x−)2 i=16(yi−y−)2=−448 34≈−112×5.83=−0.94.
(2)设y关于x的经验回归方程为y =b x+a .
可得b =i=16(xi−x−)(yi−y−)i=16(xi−x−)2=−4464=−1116,a =8+1116×47=64516
则y关于x的经验回归方程为y =−1116x+64516，
当x=55时，y =−1116×49+64516=2.5(万件).
故当售价为55元/件时，该产品的月销售量约为25000件．
【解析】(1)根据统计表格中的数据，结合相关系数的公式，准确计算，即可求解；
(2)根据表格数的数据，利用公式求得回归系数b =−1116，得到a =64516，求得回归直线方程，令x=55，求得y 的值，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)补充表格数据如下：
χ2=20n(3n×10n−5n×2n)215n×5n×12n×8n=10n9≈5.556，
又因为n∈N*，所以n=5；
提出假设H0：购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别无关，
由题意，χ2≈5.556∈(5.024,6.635)，
故97.5%的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
(2)由(1)可知，抽取喜欢新能源汽车有：9人；抽取不喜欢新能源汽车有：3人，
X的可能值为：0，1，2，3，
P(X=0)=C94C30C124=1455,P(X=1)=C93C31C124=2855，
P(X=2)=C92C32C124=1255,P(X=3)=C91C33C124=155，
X的分布列为：
X的数学期望E(X)=0×1455+1×2855+2×1255+3×155=1(人).
【解析】(1)根据已知条件补全列联表，根据χ2≈5.556列式求解得到n=5，根据卡方的独立性检验相关知识判断有97.5%的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
(2)根据分层抽样的含义，结合超几何分布的相关知识直接求解分布列和期望即可．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设椭圆C的焦距为2c，∵△MF1F2的周长为6，面积为32.
∴2a+2c=6b2ca=32，可得a=3−c，∴2[(3−c)2−c2]=3(3−c)，解得c=1或34，
当c=34时，a=94，b= a2−c2=3 22>2，∴不满足题意，
当c=1时，a=2，b= a2−c2= 3<2，∴满足题意，
∴椭圆C的标准方程为x24+y23=1；
(2)由题可得直线斜弦存在，由(1)知F2(1,0)，设直线l的方程为y=k(x−1)，
则y=k(x−1)x24+y23=1，消去y，整理得：(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，
又F2(1,0)，P(0,−k)，
则PA=(x1,y1+k)，AF2=(1−x2,−y2)，
由PA=λ1AF2，可得x1=λ1(1−x1)，
∴λ1=x11−x1，同理可得λ2=x21−x2，
∴λ1+λ2=x11−x1+x21−x2=x1+x2−2x1x2(1−x1)(1−x2)=z1+x2−2x1x21−(x1+x2)+x1x2=8k23+4k2−2×4k2−123+4k21−8k23+4k2+4k2−123+4k2=−83.
∴λ1+λ2为定值−83.
【解析】(1)由已知可得2a+2c=6b2ca=32，计算可得c=1或34，分类讨论可得结论；
(2)由题可得直线斜弦存在，由(1)知F2(1,0)，设直线l的方程为y=k(x−1)，联立方程可得x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，由已知可得λ1+λ2=x11−x1+x21−x2，计算可得结论．
本题考查椭圆的方程的求法，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．
21.【答案】解：(1)设甲同学成功晋级为A事件，A事件发生有以下三种情况：前三题全对；前三题对两题后两题至少答对一题；前三题答对一题后两题全对，
甲同学参加个人晋级赛，他答对前三题的概率均为12，答对后两题的概率均为13，
所以P(A)=(12)3+C32×(12)3×[1−(23)2]+C31×(12)3×(13)2=38；
(2)设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为P1，P2.
当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为(1−p)2，
则两人中至少有一人回答正确的概率为1−(1−p)2，
所以P1=[1−(1−p)2]n=pn(2−p)n，
当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为pn，
则一个小组闯关不成功的概率为1−pn，
所以P2=1−(1−pn)2=pn(2−pn)，
所以P1−P2=pn(2−p)n−pn(2−pn)=pn[(2−p)n+pn−2]，
构造f(n)=(2−p)n+pn−2，
则f(n+1)−f(n)=(2−p)n+1+pn+1−(2−p)n−pn
=(2−p)n(1−p)+pn(p−1)=(1−p)[(2−p)n−pn]，
因为00，2−p>1，可得(2−p)n>1，pn<1，
所以f(n+1)−f(n)>0，
即f(n+1)>f(n)，所以f(n)单调递增，
又因为f(2)=(2−p)2+p2−2=2p2−4p+2=2(p−1)2>0，
且n≥10，所以f(n)>0，从而P1−P2>0，即P1>P2，
所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛．
【解析】(1)根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2)分别求方式一、方式二挑战成功的概率，并利用作差法结合函数单调性分析判断．
本题主要考查概率的应用，考查转化能力，属于难题．
22.【答案】(1)证明：当a=1时，g(x)=sinx，所以即证：x>sinx>xcsx，x∈(0,π2)，
先证左边：x>sinx，令h(x)=x−sinx，h′(x)=1−csx>0，h(x)在(0,π2)单调递增，
∴h(x)>h(0)=0，即x>sinx.
再证右边：sinx>xcsx，令k(x)=sinx−xcsx，k′(x)=csx−csx+xsinx=xsinx>0，
∴k(x)在(0,π2)上单调递增，
∴k(x)>k(0)=0，即sinx>xcsx，
∴x∈(0,π2)时，x>g(x)>f(x).
(2)解：sinxx−f(x)g(x)=sinxx−xcsxasinx，
令F(x)=sinxx−xcsxasinx，x∈(−π2,0)∪(0,π2)，
因为F(−x)=F(x)，所以题设等价于F(x)>0在(0,π2)恒成立，
由(1)知，当x∈(0,π2)时，x>sinx>csx，于是：
①当a<0时，F(x)>0恒成立；
②当a>0时，F(x)>0等价于asin2x−x2csx>0，
(i)当0令p(x)=a−csx，因为p(x)=a−csx在x∈(0,π2)上递增，
且p(0)=a−1⟨0,p(π2)=a⟩0，所以存在β∈(0,π2)，使p(β)=0，
所以当0(ii)当a≥1时，asin2x−x2csx≥sin2x−x2csx
令r(x)=sin2x−x2csx，x∈(0,π2)，
则r′(x)=2sinxcsx−2xcsx+x2sinx>2sinxcsx−2sinx+x2sinx，=[x2−2(1−csx)]sinx=(x2−4sin2x2)sinx=4[(x2)2−sin2x2]sinx>0，
所以r(x)在(0,π2)上单调递增，
所以r(x)>r(0)=0，所以asin2x−x2csx>0，所以F(x)>0.
综上：a的取值范围为(−∞,0)∪[1,+∞).
【解析】(1)令h(x)=x−sinx，对h(x)求导，得到h(x)的单调性可证得x>sinx，令k(x)=sinx−xcsx，对k(x)求导，可得k(x)在(0,π2)上单调递增，即可证得sinx>xcsx，即可证得x>g(x)(2)由题意分析可得要使f(x)g(x)0恒成立，通过放缩变形证明F(x)>0恒成立，即可求出a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．时间x
1
2
3
4
5
销售量y(千只)
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
售价x(元/件)
52
50
48
45
44
43
月销售量y(万件)
5
6
7
8
10
12
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总计
男性
10n
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12n
女性
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3n
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总计
15n
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_____
P(x2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
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总计
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2n
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3n
8n
总计
15n
5n
20n
X
0
1
2
3
P
1455
2855
1255
155