【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题2.4一元一次不等式（组）解法及应用练习（全国通用版）（解析版）

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专题4 一元一次不等式（组）解法及应用
知识梳理
【考点一】不等式的有关概念
1.不等式的定义：像4＞3，3x＜6这样用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式.
2.常见的不等式基本语言及符号表示
【考点二】不等式的解与解集
1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
3.解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
【考点三】不等式的性质
【考点四】一元一次不等式
1.定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式.
2.一元一次不等式的一般形式：ax+b＜0或ax+b＞0a≠0.
3.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的所有解组成一元一次不等式的解集.
【考点五】一元一次不等式的解法
【考点六】一元一次不等式组
1.定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组.
2.一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集.
【考点七】一元一次不等式组的解法
1.第一步：求出不等式组中各不等式的解集；
第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来；
第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
如果没有公共部分，则该不等式组无解．
2.几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
【考点八】一元一次不等式（组）的应用
1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
3.列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
例题讲解
【题型一】不等式的定义
◇典例1：
下列各式中，是不等式的是（ ）
A．x+2B．x−2，
∴0是这个不等式的解，故A不符合题意；
B、∵某不等式的解集是x>−2，
∴−3不是这个不等式的解，故B不符合题意；
C、∵某不等式的解集是x>−2，
∴大于−2的数都是这个不等式的解，大于−3且小于等于−2的数不是这个不等式的解，故C符合题意；
D、∵某不等式的解集是x>−2，
∴小于−3的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意．
故选：C
2.下列说法中，正确的是（ ）
A．x=1是不等式3x>5的解B．x=2是不等式3x>5的唯一解
C．x=2是不等式3x>5的解集D．x=2是不等式3x>5的一个解
【答案】D
【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，x=a(a是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案．
【详解】解：解不等式3x>5，
可得x>53．
A.由于x=15的解，故选项错误；
B.由于x=2>53，故x=2是不等式3x>5的一个解，但不是唯一解，故选项错误；
C.由于x=2>53，故x=2不是不等式3x>5的一个解，但不是解集，故选项错误；
D.由于x=2>53，故x=2不是不等式3x>5的一个解，故选项正确；
故选D．
【题型三】不等式的性质
◇典例3：
已知a>b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a−bb3C．ac2>bc2D．2a−1b，∴a−b>0，则a−bb，∴a3>b3，符合题意，B选项正确；
C、a>b，若c=0，则ac2=bc2；若c≠0，则ac2>bc2，即ac2>bc2不一定成立，C选项错误；
D、∵a>b，∴2a>2b，∴2a−1>2b−1，则2a−1b的是（ ）
A．ma>mb B．m2a>m2b C．m+a>m+2b D．m+a+1>m+b
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐一分析即可解答．
【详解】解：∵ma>mb，当m>0，
∴a>b，故A选项不符合题意；
B、∵m2a>m2b，
∴a>b，故B选项符合题意；
C、∵m+a>m+2b，
∴a>2b，故C选项不符合题意；
D、∵m+a+1>m+b，
∴a+1>b，故D选项不符合题意；
故选：B．
2.若a>b，则下列各式正确的是（ ）
A．3−ab，当b=0时，得ab>0不成立，所以C不符合题意；
因为a>b，根据不等式的基本性质3，得3a>3b，所以D不符合题意．
故选：A．
【题型四】一元一次不等式的定义
◇典例4：
下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．x>5−yB．2x−32D．x5−y含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
B、2x−32不含未知数，是不等关系，不是一元一次不等式，不符合题意；
D、x0D．x4≤4
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义逐项判断即可求解．
【详解】解：A．x−3=4不是一元一次不等式，该选项不符合题意；
B．2x+8不是一元一次不等式，该选项不符合题意；
C．5>0不是一元一次不等式，该选项不符合题意；
D．x4≤4是一元一次不等式，该选项符合题意；
故选：D．
2.若a−3xa−2−1>5是关于x的一元一次不等式，则a的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
a−2=1且a−3≠0，
解得a=1．
故答案为：1．
【题型五】不等式的整数解
◇典例5：
不等式x−3≤0的非负整数解有（ ）个
A．3B．4C．2D．5
【答案】B
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
本题主要考查了一元一次不等式的整数解，掌握非负整数包括0和正整数是解题的关键．
【详解】解：不等式x−3≤0的解集为x≤3，
它的非负整数解为0，1，2，3，共有4个．
故选：B
◆变式训练
1.不等式组x−52，
所以最小整数解是3，
故答案为：3．
【题型六】解一元一次不等式
◇典例6：
解下列不等式：
(1)−x+1x−3．
【答案】(1)x>12
(2)x−6−2+5，
合并同类项，得：−x>−3，
系数化为1，得：x1.5
2.小明同学解不等式2−x+42>1−x3的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母，得2−3x+4>21−x．①
去括号，得2−3x−12>2−2x．②
移项，得−3x+2x>−2+12+2．③
合并同类项，得−x>12．④
两边都除以−1，得x21−x．
去括号，得12−3x−12>2−2x．
移项，得−3x+2x>2+12−12．
合并同类项，得−x>2．
两边都除以−1，得x