【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题2.2一元二次方程解法及应用（练习练习练习练习全国通用版）（解析版）

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专题2 一元二次方程解法及应用
知识梳理
【考点一】一元二次方程的概念
1.一元二次方程的定义：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式：．
3.概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
4.判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
【考点二】一元二次方程的解及解法
1.一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
2.直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
3.配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
4.公式法
（1）把x=−b±b2−4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
5.因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
6.换元法
（1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
【考点三】根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
【考点四】根与系数的关系
1.若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
2.若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），ca=x1x2．
3.常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．
④判断两根的符号．
⑤求作新方程．
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【考点五】一元二次方程的实际应用
1.由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
2.一元二次方程的应用
（1）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
（2）列一元二次方程解应用题中常见问题：
数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
形积问题：
利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．
利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．
利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
例题讲解
【题型一】一元二次方程的识别
◇典例1：
下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x−2y=1B．x2+1x=2
C．5x2+3=0D．2x+1=3
【答案】C
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、x−2y=1，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、x2+1x=2，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、5x2+3=0，方程是一元二次方程，符合题意；
D、2x+1=3，方程是一元一次方程，不符合题意；
故选：C．
◆变式训练
下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．3x+x2−1=0 C．2x2−x+2=0D．4x−1=0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【详解】A、若ax2+bx+c=0是一元二次方程，a,b,c是常数，且a≠0，故此选项不符合题意；
B、是分式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、是一元一次方程，故此选项不符合题意．
故选：C.
【题型二】一元二次方程的定义与求参数
◇典例2：
一元二次方程3x2−5x+1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．3，−5，1B．3，5，1C．3，−5，−1D．3，5，−1
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键．
根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可得到答案．
【详解】解：∵方程3x2−5x+1=0中，x2的系数为3，x的系数为−5，常数项为1，
∴ 二次项系数为3，一次项系数为−5，常数项为1，
故选：A．
◆变式训练
已知关于x的一元二次方程k−2x2+3x+k2−4=0有一个根为0，则k的值为（ ）
A．−2B．2C．2或−2D．4或−2
【答案】A
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义．
将根x=0代入方程求得k=2或k=−2，但需满足一元二次方程的条件，即二次项系数不为零，排除k=2．
【详解】解：∵方程有一个根为0，
∴代入x=0得：k2−4=0，
∴k2=4，
解得k=2或k=−2.
又∵方程为一元二次方程，
∴二次项系数k−2≠0，即k≠2，
∴k=−2．
故选：A．
【题型三】一元二次方程的解
◇典例3：
若一元二次方程有一个根是x=0，则这个方程可以是（ ）
A．x+1x+2=0B．x2−2x+1=0
C．x2−1=0D．x2+x=0
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据一元二次方程的解的定义判断即可．
【详解】解：A、把x=0代入，可得x+1x+2=1×2=2≠0，所以x=0不是方程(x+1)(x+2)=0的根，不符合题意；
B、把x=0代入，可得x2−2x+1=0−0+1=1≠0，所以x=0不是方程x2−2x+1=0的根，不符合题意；
C、把x=0代入，可得x2−1=0−1=−1≠0，所以x=0不是方程x2−1=0的根，不符合题意；
D、把x=0代入，可得x2+x=0+0=0，所以x=0是方程x2+x=0的根，符合题意；
故选：D．
◆变式训练
下列方程有一个根为−1的是（ ）
A．x2+2x=0B．x2+2x−3=0C．x2−5x+4=0D．x2−3x−4=0
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将x=−1代入各方程，看左右的值是否相等即可判断，正确计算是解题的关键．
【详解】解：A、把x=−1代入方程的左边，左边=−12+2×−1=−1≠右边， 所以x=−1不是方程的根，该选项不合题意；
B、把x=−1代入方程的左边，左边=−12+2×−1−3=−4≠右边， 所以x=−1不是方程的根，该选项不合题意；
C、把x=−1代入方程的左边，左边=−12−5×−1+4=10≠右边， 所以x=−1不是方程的根，该选项不合题意；
D、把x=−1代入方程的左边，左边=−12−3×−1−4=0=右边， 所以x=−1是方程的根，该选项符合题意；
故选：D．
【题型四】根据一元二次方程的解求参数
◇典例4：
若关于x的一元二次方程ax2−bx−1=0a≠0的一个解是x=1，则a−b+2025的值是（ ）
A．2026B．2025C．2024D．2023
【答案】A
【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数．将x=1代入方程得到a与b的关系式，再整体代入所求代数式计算，即可作答．
【详解】解：∵x=1是方程ax2−bx−1=0的解，
∴a×12−b×1−1=0，
即a−b−1=0，
∴a−b=1，
∴a−b+2025=1+2025=2026，
故选：A．
◆变式训练
已知关于x的一元二次方程x2−5x+2m=0有一个根为2，则m的值为（ ）
A．3B．−3C．7D．−7
【答案】A
【分析】本题考查由一元二次方程的解求参数，直接将x=2代入方程x2−5x+2m=0，进行求解出m的值，即可作答．
【详解】解：∵x=2是方程x2−5x+2m=0的根，
∴ 将x=2代入方程得：22−5×2+2m=0，
即4−10+2m=0，
∴ −6+2m=0，
∴ 2m=6，
∴ m=3，
故选：A．
【题型五】根据一元二次方程的解求参数
◇典例5：
把一元二次方程xx+2=−1化成一般形式： ．
【答案】x2+2x+1=0
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式的结构是解题关键．
通过去括号、移项和合并同类项将方程化为一般形式．
【详解】解：去括号，得x2+2x=−1，
移项，得x2+2x+1=0，
故答案为：x2+2x+1=0．
◆变式训练
下列一元二次方程是一般形式的（ ）
A．x2−5x=1B．x2x+3=1
C．13x2−6x+1=0D．7x2+8=3x
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0a≠0，逐项判断是否符合此形式，即可．
【详解】解：选项A：x2−5x=1右边不为0，不是一般形式，故本选项不符合题意；
选项B：x2x+3=1展开后为2x2+3x=1，右边不为0，不是一般形式，故本选项不符合题意；
选项C：13x2−6x+1=0符合ax2+bx+c=0a≠0的形式，且a=13≠0，是一般形式，故本选项符合题意；
选项D：7x2+8=3x右边不为0，不是一般形式，故本选项不符合题意．
故选：C．
【题型六】直接开方法解一元二次方程
◇典例6：
方程x+12=16的根是（ ）
A．x1=−5，x2=3B．x1=−3，x2=5
C．x1=−1，x2=5D．x=−3
【答案】A
【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根．
【详解】解：∵x+12=16，
∴x+1=4或x+1=−4，
当x+1=4时，x=3，
当x+1=−4时，x=−5，
∴方程的根为x1=−5,x2=3，
故选：A．
◆变式训练
一元二次方程 x+32=25可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+3=5，则另一个是 ．
【答案】x+3=−5
【分析】本题考查解一元二次方程-直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法的步骤．
通过直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，考虑正负平方根．
【详解】解：方程x+32=25两边直接开平方，
得x+3=±5，
因此两个一元一次方程分别为x+3=5和x+3=−5，
故另一个方程是x+3=−5．
故答案为：x+3=−5．
【题型七】因式分解法解一元二次方程
◇典例7：
用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)x2+2x−15=0；
(2)(x+4)2=5(x+4)．
【答案】(1)x1=−5，x2=3
(2)x1=−4，x2=1
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）根据因式分解法将方程变形为x+5x−3=0解方程即可；
（2）根据因式分解法将方程变形为x+4x+4−5=0解方程即可．
【详解】（1）解：∵x2+2x−15=0，
∴x+5x−3=0，
∴ x+5=0或x−3=0，
解得x1=−5，x2=3；
（2）∵(x+4)2=5(x+4)，
∴(x+4)2−5(x+4)=0，
∴x+4x+4−5=0，
∴x+4=0或x−1=0，
解得x1=−4，x2=1．
◆变式训练
解方程：
(1)x−1=1−x2；
(2)x−42=x−4；
【答案】(1)x=1或x=2
(2)x=4或x=5
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x−1=1−x2
x−12−x−1=0
x−1x−1−1=0
x−1x−2=0
∴x−1=0或x−2=0，
∴x=1或x=2；
（2）解：x−42=x−4
x−42−x−4=0
x−4x−4−1=0
x−4x−5=0
∴x−4=0或x−5=0，
∴x=4或x=5．
【题型八】配方法法解一元二次方程
◇典例8：
用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为（ ）
A．x−12=5B．x−12=6
C．x+12=6D．x−22=9
【答案】B
【分析】本题主要考查了使用配方法解方程，将常数项移到方程右边，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：x2−2x−5=0
x2−2x=5
x2−2x+1=5+1
x−12=6，
故选：B．
◆变式训练
已知x，y为实数，且满足x2−xy+4y2=4，设u=x2+2xy+4y2，记u的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）
A．85B．8C．485D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查配方法的应用，乘法公式；由已知条件变形得到u=4+3xy，再通过配方法求出xy的取值范围，进而得到u的最值，计算即可．
【详解】解：x2−xy+4y2=4①u=x2+2xy+4y2②，
由①得，x2+4y2=4+xy，代入②中，得
u=4+3xy，
把①的两边同时加5xy，得x+2y2=4+5xy≥0，
解得xy≥−45，
把①的两边同时减3xy，得x−2y2=4−3xy≥0,
解得xy≤43，
∴−45≤xy≤43，
85≤3xy+4≤8，
即85≤u≤8，
∴u的最大值为M=8，最小值为m=85，
∴M+m=85+8=485，
故选：C．
【题型九】求根公式法与换元法解一元二次方程
◇典例9：
用公式法解一元二次方程x2−4x+2=0时，b2−4ac的值为（）
A．8B．12C．16D．24
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的计算，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
直接用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵方程x2−4x+2=0为标准形式ax2+bx+c=0，
∴a=1,b=−4,c=2，
∴b2−4ac=−42−4×1×2=16−8=8．
故选：A．
◇典例10：
阅读下面的材料：
换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化．
如：解方程x4−x2−6=0，可将方程变形为x22−x2−6=0，设x2=y，则x22=y2，原方程化为y2−y−6=0，解得y1=−2，y2=3．当y1=−2时，x2=−2无意义，舍去；当y2=3时，x2=3，解得x=±3，∴原方程的解为x1=3，x2=−3．
利用以上学习到的方法解决下列问题：
(1)解方程：x4−4x2−12=0；
(2)已知实数x、y满足2x2+2y2+32x2+2y2−5=−7；求x2+y2的值．
【答案】(1)x1=6，x2=−6．
(2)x2+y2=2
【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答．
（2）先整理得2x2+2y2=z，则z+3z−5=−7，再得z−4z+2=0，解得z1=4，z2=−2，再逐个分析检验，即可作答．
【详解】（1）解：∵x4−4x2−12=0，
∴x22−4x2−12=0，
设x2=y，则x22=y2，
原方程化为y2−4y−12=0，
∴y−6y+2=0，
解得y1=6，y2=−2．当y2=−2时，x2=−2无意义，舍去；
当y1=6时，x2=6，解得x=±6，
∴原方程的解为x1=6，x2=−6．
（2）解：依题意，2x2+2y2+32x2+2y2−5=−7，
设2x2+2y2=z，
原方程化为z+3z−5=−7，
∴z2−5z+3z−15=−7，
∴z2−2z−8=z−4z+2=0，
解得z1=4，z2=−2．
当z1=4时，2x2+2y2=4，
∴x2+y2=2，
当z2=−2时，2x2+2y2=−2，
∴x2+y2=−10
故方程有两个不相等的实数根
y=−b±b2−4ac2a=−−2±202×1=1±5
即y1=1+5，y2=1−5．
【题型十】一元二次方程的判别式
◇典例11：
关于x的一元二次方程x2+3x+2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式Δ=b2−4ac的符号与根的情况的关系是解题的关键．通过计算一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况．
【详解】解：∵对于方程x2+3x+2=0，a=1，b=3，c=2，
∴Δ=b2−4ac=32−4×1×2=9−8=1，
∵Δ=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
◆变式训练
已知关于x的一元二次方程m−22x2+2m+1x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）．
A．m>34B．m≥34C．m>34且m≠2D．m≥34且m≠2
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：①二次项系数不为零，②在有实数根下必须满足Δ=b2−4ac≥0，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程m−22x2+2m+1x+1=0有两个实数根，
∴Δ=2m+12−4m−22≥0m−2≠0，
解得：m≥34且m≠2，
故选：D．
【题型十一】一元二次方程根与系数的关系
◇典例12：
已知一元二次方程x2=2x+1的两个实数根分别为x1，x2，则 x1−x1x2+x2的值为（ ）
A．3B．−3C．1D．−1
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=−1，然后整体代入所求式子计算．
【详解】解：∵ 方程化为标准形式x2−2x−1=0，
∴ x1+x2=2，x1x2=−1，
∴ x1−x1x2+x2=x1+x2−x1x2=2−−1=3．
故选：A．
◆变式训练
已知，a，b是一元二次方程x2+2x−1=0的两个根，则a2+2aa2−1−2b= ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到a+b=−2，ab=−1，并利用方程变形简化表达式．
【详解】解：由根与系数的关系，得a+b=−2，ab=−1．
由于a是方程x2+2x−1=0的根，故a2+2a−1=0，即a2=1−2a，
所以a2−1=1−2a−1=−2a．
因此，2aa2−1=2a−2a=−1（a≠0，由ab=−1 知a≠0）．
原式=a2+−1−2b=a2−1−2b．
代入a2−1=−2a，得−2a−2b=−2a+b=−2×−2=4．
故答案为：4．
【题型十二】与增长率有关的一元二次方程的应用
◇典例13：
据某省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年7月产值达到3000万元，第三季度总产值将达到9930万元．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（ ）
A．30001+x+30001+x2=9930B．3000+30001+x+30001+x2=9930
C．3000+30001−x+30001−x2=9930D．30001+2x2=9930
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为x，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可．
【详解】解：∵7月产值达到3000万元，该公司8，9两个月产值的月均增长率为x，
∴8月产值为：30001+x，9月产值为：30001+x2，
∵第三季度总产值将达到9930万元，
∴3000+30001+x+30001+x2=9930，
故选：B．
◆变式训练
秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（ ）
A．1+x2=100 B．x2=100C．x(1+x)=100D．1+x+x2=100
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据流感传染模型，两轮传染后总患病人数为初始人数、第一轮新增人数和第二轮新增人数之和，据此列方程．
【详解】∵ 开始有1人患了流感，
第一轮后患病人数为1+x，
第二轮新增患病人数为x1+x，
∴ 两轮后总患病人数为1+x+x1+x=1+x2，
∴1+x2=100，
故x满足的方程为1+x2=100，
故选：A．
【题型十三】与销售利润有关的一元二次方程的应用
◇典例14：
篮球纳入中考体育项目，有助于提升学生的身体素质、促进全面发展，因此备受社会各界关注．某商场抓住商机购入一批进价为80元/个的篮球，当这批篮球以95元/个的价格售出时，平均每月的销售量为600个．经市场调查发现：该篮球每个的售价在95元到115元范围内，每个的售价每上涨1元，平均每月的销售量就减少10个，设这批篮球每个的售价上涨x元．
(1)这批篮球每月的销售量为_____个；（结果用含x的代数式表示）
(2)若该商场销售这批篮球要达到每月13500元利润的目标，则这批篮球每个的售价应上涨多少元？
【答案】(1)600−10x
(2)15元
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出方程，解方程即可求解；
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，这批篮球每月的销售量为600−10x个，
故答案为：600−10x；
（2）解：由题意可得，95+x−80600−10x=13500，
解得x1=15，x2=30，
∵该篮球每个的售价在95元到115元范围内，30+95>115，95