广西柳州市第二中学高二下学期开学收心考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广西柳州市第二中学高二下学期开学收心考试数学试题（解析版）-A4，共9页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上.等内容，欢迎下载使用。
命题人：粟丽妮 审题人：王磊
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.
2．请将答案正确填写在答题卡上.
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.）
1. 过点且与直线垂直直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程.
【详解】根据题意，设所求直线的方程为，
将点的坐标代入所求直线方程得，解得，
因此，过点且与直线垂直的直线的方程为.
故选：A.
2. 设某厂去年的产值为1，从今年起，该厂计划每年的产值比上年增长，则从今年起到第十年，该厂这十年的总产值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的求和公式求和即可.
【详解】依题意，这十年的总产值为：
.
故选：C
3. “”是“方程表示椭圆”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程，我们易构造不等式组，求出方程表示椭圆时，参数的取值范围，再由充要条件的定义，即可得到结论．
【详解】解：若方程表示椭圆
则，且，且
解得或
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，椭圆的标准方程，其中根据椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，构造不等式组，求出满足条件的参数的取值范围，是解答本题的关键．
4. 直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（ ）
A. 若∥，则B. 若∥β，则
C. 若⊥，则D. 若∥β，则
【答案】B
【解析】
【分析】通过分析不同位置情况下的向量的乘积，即可得出结论.
【详解】由题意，
选项A，若共线，，A错误；
选项B，若垂直，则，B正确；
选项C，若共线，，C错误；
选项D，若共线，，D错误．
故选：B．
5. 若椭圆的两个焦点将长轴三等分，则它的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】要投给定条件，利用椭圆离心率的定义直接求解.
【详解】设椭圆的长轴长为，焦距为，依题意，，即，
所以该椭圆的离心率.
故选：B
6. 圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根据题意设圆心坐标，建立方程，求解即可.
【详解】解：设圆心坐标为，因为圆心在轴上且圆与轴相切，所以即为半径,
则根据题意得：，解得，
所以圆心坐标为：，半径为5，该圆的方程是,
展开得：.
故选：C.
7. 若是抛物线位于第一象限的点，是抛物线的焦点，，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的定义可求得，结合抛物线方程即可求得，运用两点斜率公式计算即可.
【详解】由题知，，抛物线的准线方程为，设，
由抛物线的定义知，，即，所以，
所以，
又因为M位于第一象限，所以，
所以，
所以.
故选：C.
8. 在天文望远镜设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求出m，即可求解.
【详解】因为，所以，得，
不妨设双曲线的标准方程为，设，则．
所以，解得或（舍去）．
所以．
故选：D．
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 若为等差数列，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. －11是数列中的项
C. 数列的前n项和D. 数列的前7项和最大
【答案】ABD
【解析】
【分析】计算得到，，计算通项公式得到A正确，验证得到B正确，计算得到C错误，根据，得到D正确，得到答案.
【详解】，
，，解得，，
对选项A：，正确；
对选项B：取，，正确；
对选项C：，错误；
对选项D：，，，故数列的前7项和最大，正确.
故选：ABD
10. 已知函数在处有极值，则（ ）
A. B. 的极大值为C. 有三个零点D.
【答案】AB
【解析】
【分析】求出函数的导函数，根据求出的值，再代入检验，从而得到函数的单调性与极值，即可判断.
【详解】因为，
所以，依题意，解得或，
当时，不满足题意，
当时，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极大值，在处取得极小值，
则极大值为，极小值我为，所以有且仅有一个零点，故A、B正确，C错误；
由，，而上单调递减，
所以，故D错误.
故选：AB
11. 已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的长轴长是4
B. 的最大值是2
C. 的面积的最大值为，其中为坐标原点
D. 直线与椭圆相切时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质可得、、、，结合长轴的概念判断A，利用两点求距离公式和二次函数的性质判断B，结合三角形面积公式计算判断C，利用代数法判断直线与椭圆的位置关系判断D.
【详解】A：由，得，所以椭圆的长轴为，故A正确；
B：由，得，则，，由，得，
所以，
又二次函数的对称轴为，
所以该函数在上单调递减，则当时，函数取到最大值9，
即的最大值为3，故B错误；
C：由题意得，，
所以，即的面积的最大值为，故C正确；
D：，消去y，得，
因为直线与椭圆相切，只有一个交点，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知数列的前项和，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据的关系，即可直接求得结果.
【详解】.
故答案为：.
13. 若双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的标准方程______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意设双曲线的方程为()，将点代入曲线方程求出即可.
【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为，
设所求的双曲线的方程为().
点为该双曲线上的点，
.
该双曲线的方程为：，
即.
故答案为：.
14. M、N分别为曲线与直线上的点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】令，恒成立，所以曲线在直线上方，当M处切线与直线平行时最小，然后由导数求出切点，求解即可.
【详解】，，
令可得，
所以，，单调递减；
，，单调递增；
所以恒成立，恒成立，
则曲线在直线上方，
则当M处切线与直线平行时最小，
求导得，
此时点到直线距离即为最短距离，
此时.
故答案为：
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知圆.
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）若直线过点且被圆C截得的弦长为，求的范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）由圆的方程求出圆心与半径，切线分斜率存在与不存在两种情况分类讨论，当斜率不存在时检验适合，当斜率不存在时，设直线方程，根据圆心到直线距离等于半径计算即可（2）当直线时，弦长m最短，当直线过圆心时弦长为直径最大，即可求出m的范围.
【详解】（1）圆，即，
表示以为圆心，半径等于1的圆．
当切线的斜率不存在时，切线方程为符合题意．
当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为，
即，
∴圆心到切线的距离等于半径，即，解得，
此时，切线为．
综上可得，圆的切线方程为或；
（2）当直线时，弦长m最短，此时直线的方程为．
当直线l经过圆心时，弦长最长为2．
∴m的范围是.
【点睛】本题主要考查了圆的方程，圆的切线的求法，直线与圆的位置关系，属于中档题.
16. 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.
17. 如图，四棱锥中，为等腰直角三角形，四边形为菱形， ，，E，F分别为CD，PD的中点，平面平面．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）为的中点，由已知的面面垂直和底面菱形的特征特征，证明两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直；
（2）求平面与平面的法向量，利用向量法求夹角的余弦值.
【小问1详解】
取的中点，连接．
为等腰直角三角形，．
由，得．
平面平面，平面平面，
平面，，则平面．
为菱形，，为等边三角形，为的中点，则．
则有，．
如图，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
，
，，，有．
【小问2详解】
．
设平面的一个法向量为，
则 令，则，得．
又，
设平面的一个法向量为，
令，则，得．
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；
（3）当，且时，证明：.
【答案】（1）0；（2）的单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求导得到，代入计算得到答案.
（2）求导得到，的变化情况表，得到单调区间和极值.
（3）证明等价于，设，求导得到函数单调递增，计算最小值得到证明.
【详解】（1）函数的定义域为，所以.
又曲线在点处的切线与直线平行，
所以，即.
（2）令，得，当变化时，，的变化情况如下表：
由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是，
所以在处取得极大值，的极大值为.
（3）当时，.由于，要证，
只需证明，令，则.
因为，所以，故在上单调递增，
当时，，即成立．
故当时，有，即.
【点睛】本题考查了函数的切线，单调区间，极值，证明恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.
19. 已知和为椭圆上两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点H在椭圆C上，、是椭圆C的两焦点，且，求的面积；
（3）过点的直线l与椭圆C交于A、B两点，证明：为定值．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将和代入椭圆，即可求解；
（2）由椭圆定义得，结合余弦定理求得，再由三角形面积公式即可求解；
（3）当l的斜率为0时，直接求解；当l不与x轴重合时，设直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得，化简即可证明.
【小问1详解】
由题意得，解得，所以椭圆C的方程为．
【小问2详解】
由题可知．
在中，由余弦定理得
，
则，即，
所以，故的面积是．
【小问3详解】
当l的斜率为0时，；
当l不与x轴重合时，设直线l的方程为，
联立，得，所以，
由韦达定理可得．
，
故为定值．
+
0
-
极大值