广西柳州市第二中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广西柳州市第二中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）-A4，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试用时：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
【详解】设直线的倾斜角为，
直线可转化为,
故.
又因为,
所以.
故选：C.
2. 在等比数列中，，，则等于（ ）
A. B. 5C. D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】由等比数列的项求公比，进而求即可.
【详解】由题设，，
∴．
故选：D
3. 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（ ）
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得.
【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种
这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和，
由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，
得，解得，，
所以谷雨日影长为（尺）．
故选：C
4. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
5. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ）
A. B. C. 3D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据，，成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
又，所以，整理得，
因为，所以，
所以数列前6项的和为.
故选：A
6. 已知函数在处取得极大值4，则（ ）
A. 8B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到，从而算出的值.
【详解】因为，所以，
所以，解得，
经检验，符合题意，所以.
故选：B
7. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求，即可得答案.
【详解】由，，而且，
则
，
显然，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C
8. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围.
【详解】
过点作准线的垂线，垂足为，
则的周长为，
由可得，
故，故的周长的取值范围为，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数在区间上的最大值为4
C. 函数在点处的切线方程为
D. 若关于x的方程在区间上有两解，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用导数求出单调区间判断A；求出最大值判断B；利用导数的几何意义求出切线方程判断C；作出图象，数形结合求出的范围判断D.
【详解】对于A，函数，，求导得，
由，得；由，得，函数在上递减，在上递增，A错误；
对于B，，因此函数在区间上的最大值为4，B正确；
对于C，，函数在处的切线方程为，即，C正确；
对于D，，函数大致图象如图，要使方程在区间上有两解，则，D正确．
故选：BCD
10. 设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（ ）
A. B. 以线段为直径的圆必与准线相切
C. 线段的长为定值D. 线段的中点到轴的距离为定值
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，求得抛物线及焦点，结合抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.，
【详解】对于A中，由抛物线准线为，可得，解得，
所以抛物线的焦点为 且，所以A正确；
对于B中，如图，当线段过焦点时，过作，
取的中点作，可得，
此时以线段为直径的圆与准线相切，
因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误.
对于C中，设，
由抛物线得的定义得，所以，
当直线过原点时，设，则，此时，可得，
当直线为时，可得，不妨设，可得，
所以的长不是定值，所以C错误；
对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确.
故选：AD.
11. 已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（ ）
A. 数列为等差数列
B. 数列的前100项和为10000
C. 若，则
D. 若，则的最小值为8
【答案】AB
【解析】
【分析】先利用，求出，可判断选项A，C，化简，由等差数列的前项和求解，判断B；裂项相消法求和，判断D.
【详解】对于A，因为，
当时，，
当时，，符合上式，
所以，选项A正确；
对于B，根据已知，则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以前100项和为，选项B正确；
对于C，因为，所以，
所以，
由，得，解得，选项C错误；
对于D，因为，
所以，
所以
，
解得，选项D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列的前n项和为，已知，则公差__________．
【答案】3
【解析】
【分析】直接由等差数列的求和公式求解即可.
【详解】解：依题意，得，而，得，
故答案为：3
13. 设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得当最小时，连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案．
【详解】圆的圆心，半径，
设切点为，
由题意可知，点到圆的切线长最小时，，
因为圆心到直线的距离，
所以切线长的最小值为：．
故答案为：．
14. 已知函数，函数，若恒有，则的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，将问题转化成恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出的最大值，即可求解.
【详解】因为，即，即，
令，则，
当时，；当时，，所以函数上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知圆的圆心在轴上，且经过点，.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于、两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆心的坐标为，根据圆心到圆上一点的距离为半径即可求解；
（2）根据弦长可求圆心到直线的距离，分直线斜率存在和不存在两种情况求解即可.
【小问1详解】
设圆心的坐标为，由题意可得，
解得，
所以圆的半径为，
因此，圆的标准方程为；
【小问2详解】
当时，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，圆心到直线的距离为1，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，
此时，直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或.
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可；
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，
又因为，
所以，而，且平面，
所以平面；
【小问2详解】
因平面，平面，
所以，而，
于是建立如图所示的空间直角坐标系，
，
由（1）可知：平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
则有，
设平面与平面夹角为，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 已知公差为的等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的性质得到，是方程的两根，从而求得，进而求得的通项公式即可得解；
（2）利用（1）中结论，结合错位相减法即可得解.
【小问1详解】
是等差数列，，
又，，是方程的两根，
解，得或，
又，，，，
，，.
【小问2详解】
由（1）得，
所以，
则，
两式相减，得
，
.
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，设，讨论函数的单调性；
（3）若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）单调递增区间，单调递减区间；
（3）.
【解析】
【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）把代入，求出，利用导数求出其单调区间.
（3）由函数零点的意义分离参数并构造函数，利用导数探讨函数性质，数形结合求出范围.
【小问1详解】
当时，，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
【小问2详解】
当时，，求导得，
当时，，单调递增；当时， ，单调递减，
函数函数单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问3详解】
当时，由，得，令，，
依题意，直线与函数在上的图象有两个交点，
求导得，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
函数的最大值为，且，，如图：
当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
所以实数的取值范围是.
19. 设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A，B，．过点，且斜率为k的直线l与x轴相交于点F，与椭圆相交于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求k的值；
（3）是否存在实数k，使？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在实数，使直线平行于直线，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）直接由离心率和顶点坐标求解即可；
（2）由得到的中点重合，联立直线和椭圆方程，分别求出的中点坐标，解方程即可；
（3）假设存在，利用建立等式，解方程得不存在即可.
【小问1详解】
由题意，解得，故椭圆的方程为；
【小问2详解】
由题意知，，直线方程为，则，联立，可得，
，设，有，则中点横坐标为，
又，则中点横坐标，又因为，且四点共线，取中点，则，
所以，即，所以是的中点，即的中点重合，即，解得.
【小问3详解】
不存在实数，使直线平行于直线，证明如下：由题意，，则，
若，则，所以，即，即，
化简得，，由（2）得，，解得，
解得，所以，整理得，无解，
所以不存在实数，使直线平行于直线.