广西梧州市2024—2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份广西梧州市2024—2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（每小题3分，共36分，请将答案填涂在答题卡相应的位置上）
1. 抛物线的对称轴是直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛物线的对称轴是直线，
故选：B.
2. 如图，在中，，那么的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，，∴.
故选：B.
3. 已知两个相似三角形的相似比为，则它们的对应高的比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为两个相似三角形的相似比为，所以这两个三角形的对应高的比为.
故选：B.
4. 若点是反比例函数图象上的一点，则常数k的值为（ ）
A. 8B. C. 2D.
【答案】A
【解析】∵点是反比例函数图象上的一点，
∴，∴，
故选：A.
5. 如图，，若，，，则的长度是（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】D
【解析】∵，∴，即，解得，.
故选：D.
6. 已知一坡面的坡度，则坡角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵斜坡的坡比为，坡角为，∴，∴.
故选：B.
7. 将二次函数的图像先向右平移2个单位，再向上平移7个单位，所得新抛物线的表达式（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将二次函数的图像先向右平移2个单位，再向上平移7个单位，所得新抛物线的表达式，
故选：C.
8. 若的三边长分别是3，5，6，则与相似的的边可能是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】A、∵的三边长分别是3，5，6，，，，
∴，∴此选项不符合题意.
B、∵的三边长分别是3，5，6，，，，
∴，∴此选项不符合题意.
C、∵的三边长分别是3，5，6，，，，
∴，∴此选项不符合题意.
D、∵的三边长分别是3，5，6，，，，
∴，∴此选项符合题意.
故选：D.
9. 已知a、b是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、由得，，故本选项不符合题意；
B、由得，，整理得，，故本选项符合题意；
C、由得，，整理得，，故本选项不符合题意；
D、由得，，整理得，，故本选项不符合题意.
故选：B.
10. 若点（，），（，），（，），都是反比例函数图像上的点，并且，则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵反比例函数y=﹣中k=﹣1＜0，
∴此函数的图像在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵y1＜0＜y2＜y3，
∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x2，y2）两点均在第二象限，
∴x2＜x3＜x1.
故选D.
11. 如图，点A0,3，，将线段平移得到线段.若，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点作轴于点，如图所示：
则，
∵点A0,3，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴点坐标为，
故选：A.
12. 如图，二次函数的图像经过点，，与y轴交于点C.则以下结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减少；⑤若方程没有实数根，则.其中正确结论的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【详解】对于①：二次函数开口向上，故a＞0，与y轴的交点在y的负半轴，故c＜0，故ac＜0，因此①错误；
对于②：二次函数的图象与x轴相交于A（−2，0）、B（4，0），由对称性可知，其对称轴为：，又对称轴直线为，所以，所以因此，故②正确；
对于③：∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，
∴当时，，
∴，
则
∴因此③正确；
对于④：∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减少，
则有当时，y随x的增大而减少，故④正确；
对于⑤：∵若方程没有实数根，
∴＜0，
解得，故⑤正确；
∴正确的有②③④⑤，
故选：C.
二、填空题：（每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡相应的位置上）
13. 在中，，若，则________.
【答案】或0.4
【解析】∵在中，，，
∴，∴，
故答案为：.
14. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是_____________.
【答案】
【解析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，
设蜡烛火焰的高度为，
根据题意得，，解得：，
∴蜡烛火焰的高度为.
故答案为：.
15. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为________.
【答案】，
【解析】抛物线与直线相交于点，，
关于x方程的解为，，
故答案为：，.
16. 如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是______.

【答案】
【解析】过点D作交于点H，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值是.
故答案为：.
三、解答题：（共72分）
17. 计算：.
解：
.
18. 已知二次函数.
（1）请直接写出抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线与坐标轴交点的坐标.
解：（1）二次函数顶点坐标为；
（2）在中，当时，，
当时，或，
∴抛物线与x轴的交点坐标为和，与y轴的交点坐标为.
19. 如图，在中，，，求的面积.
解：如图所示，过点A作于D，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
20. 如图，正方形的边长为4，点在边上，.
（1）请用直尺与圆规在边上画一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图中点的位置，证明（1）中结论成立.
（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线交线段于F，则点F即为所求；
（2）证明：由（1）可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
21. 多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动.在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似地看成抛物线.阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳.小李与小王分别站在两点摇绳，两位同学的摇绳点高度一致，其他伙伴参与跳绳.已知米，米.当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
（1）求此时抛物线的表达式；
（2）若参与跳绳的同学站在点F处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？
解：（1）由题意可得，抛物线的顶点E为，，
∴可设抛物线为.
又∵抛物线过点，
∴，解得：，
∴抛物线为.
（2）如图：过F作轴交抛物线与G，
由题意可知，F的横坐标为，则断G的横坐标为4，
∴点G的纵坐标为
∴该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过.
22. 已知二次函数（为不等于0的常数）.
（1）若二次函数的图像经过点，则________；
（2）在（1）的条件下，当时，则的取值范围是________；
（3）若二次函数在时有最大值16，求的值.
解：（1）∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴；
（2）由（1）可知，该二次函数解析式为，
∴该二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而增大，
当时，，
当时，，
∴当时，则的取值范围是；
（3）∵二次函数解析式为，
∴该二次函数对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，函数在处有最大值，
∵二次函数在时有最大值16，
∴，
∴；
当时，则离对称轴越远函数值越大，
∵二次函数在时有最大值16，
∴当时，，
∴，
∴；
综上所述，或.
23. 【阅读理解】
在一个三角形中，如果有两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”.根据这个定义，显然，则这个三角形的第三个角为，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形.
【尝试运用】
（1）若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为，请直接写出它的两个锐角的度数；
（2）如图1，在钝角中，，面积为42，求证：是“亚直角三角形”.（提示：作，垂足是点D）
【素养提升】
（3）如图2，在中，，点D在边上，连接，若是“亚直角三角形”，直接写出线段的长；
（1）解：∵三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为，
∴，解得：，
∴两个锐角的度数分别为：和；
（2）证明：作，垂足是点D，
则：，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴是“亚直角三角形”；
（3）解：∵，
∴，
由题意，，且是“亚直角三角形”，分两种情况：
①当，
∵，
∴，
∴，
∴为的角平分线，
作，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
在中，，即：，解得：，
∴，
在中，；
②当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上：或.