湖南省长沙市重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学（含解析）

这是一份湖南省长沙市重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，，则
A．B．C．D．
2．命题“，使得”的否定为（ ）
A．B．，使得
C．D．，使得
3．下列命题中正确的个数为（ ）
①若，则
②若，则
③命题“”的否定是“”
④“三个连续自然数的乘积是的倍数”是存在量词命题
A．B．C．D．
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．若.则B．若，则
C．若，则D．若，，则
5．已知函数，则“是奇函数”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．一次函数，则其大致图象正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡t年后，碳14所剩质量，其中C0为活体组织中碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的0.8倍，依据计算结果并结合下图中我国历史朝代的时间轴可推断该生物死亡的朝代为（ ）(参考数据：)

A．西汉B．东汉C．三国D．晋朝
8．双曲余弦函数是高等数学中重要的函数之一.定义在R上的函数的图象关于点对称，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，以下说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．函数的值域为
C．在上单调递减D．在上单调递增
11．若函数，则（ ）
A．是周期函数B．在上有4个零点
C．在上是增函数D．的最小值为
三、填空题
12．设命题：已知，，且，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若命题、中有一个为真命题，一个为假命题，则实数的取值范围是 .
13．几位同学在研究函数时给出了下面几个结论：
①函数的值域为；
②存在，使得；
③在是增函数；
④若规定，且对任意正整数都有：，则对任意恒成立.
上述结论中正确结论的序号为 .
14．已知平面向量，，，若，则的值为
四、解答题
15．设集合，集合．
(1)若，求，；
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16．已知实数且，函数，.
（1）已知，，求实数，的值.
（2）当时，用定义法判断函数的奇偶性.
（3）当时，利用对数函数单调性讨论不等式的解集.
17．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．
(1)把利润表示为年产量的函数．
(2)年产量为多少时，企业所得利润最大？
(3)年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？
18．若函数在区间上有最大值8和最小值3，设.
(1)求的值；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围.
19．已知函数．
(1)求关于的不等式解集；
(2)若，求在上的值域；
(3)设，记的最小值为，求的最小值．
1．C
解二次不等式得集合M，解分式不等式得集合N，再根据交集定义求结果.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因此
故选：C.
2．C
根据命题的否定的定义即可得解.
【详解】命题“，使得”的否定为.
故选：C.
3．A
根据不等式的性质判断①②的对错，根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断③的对错，根据存在量词命题的概念判断④.
【详解】对于①，由，两边都乘以，则，正确；
对于②，由，所以，错误；
对于④，命题“”的否定是“”，正确；
对于⑤，“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是全称量词命题，错误；
所以命题中正确的个数为2.
故选：A
4．D
根据不等式的性质可判断选项A，D；通过举反例可判断选项B，C.
【详解】当时，若，则，故选项A错误；
当时，满足，但，故选项B错误；
当时，满足，但，故选项C错误；
若，，则由不等式的可加性得，即，选项D正确.
故选：D.
5．B
由题意首先根据奇函数的定义求出是奇函数充要条件，进一步即可得解.
【详解】由题意若是奇函数，则（为的关于原点对称的定义域），有，
此时有，即，
进一步恒成立，解得或，
当时，的定义域为关于原点对称，且，即满足是奇函数，
当时，的定义域为关于原点对称，
且，即满足是奇函数，
综上所述，是奇函数当且仅当或，
因此“是奇函数”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
6．A
由可得，结合一次函数的性质即可选择答案.
【详解】因为，所以.
于是，由可得，随增大而增大，
由可得，的图象与轴的交点在轴的下方，
故一次函数的大致图象为A.
故选：A.
7．B
根据题意列方程，运用对数运算求近似解即可.
【详解】由题意知，所以，
所以，所以.
，故对应死亡的朝代为东汉，
故选：B.
8．A
先推出的图象关于点对称，则，再将不等式化为，然后根据导数判断函数的单调性，利用单调性可解得结果.
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，
所以，所以，
所以，
所以不等式等价于，
因为
当时，，，所以在上单调递增，
当时，，，
所以在上单调递增，
又因为的图象连续不断，所以在上单调递增，
所以等价于，得，
所以不等式的解集为.
故选：A
9．BCD
对于A，结合对数函数的单调性将与3作大小比较，进而判断即可；
对于B，化简，，进而根据对数的运算性质计算即可判断；
对于C，结合对数函数的单调性可得，，进而根据不等式的基本性质判断即可；
对于D，化简，进而根据基本不等式即可判断.
【详解】对于A，因为，，
所以，故A错误；
对于B，因为，即，
，即，
所以，故B正确；
对于C，因为，由A选项知，，
所以，故C正确；
对于D，由B选项知，，，
因为，且，，
所以，
即，故D正确.
故选：BCD.
10．AB
A.利用奇偶性的定义判断；B.由且时求解判断；CD.作出函数的图象判断.
【详解】A.的定义域为，且，所以是偶函数，故A正确；
B. 当且时，，又所以是偶函数，所以函数的值域为，故B正确；
C. 作出函数的图象如图所示：
由图象知：在上单调递增，在上单调递减，故C,D错误；
故选：AB
11．BC
直接利用函数的性质，函数的周期性，单调性，函数的导数，二次函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【详解】解：函数，
对于A：函数不是周期函数，故A错误；
对于B，令，在，上，
求得，，，，故B正确；
对于C：当时，，
所以，
由于，所以且，故，
故函数在上单调递增，故C正确；
对于D：由于，
当时，，故D错误．
故选：BC．
12．
先求出当命题、为真命题时的取值范围，再根据题意可知，有一真一假，然后根据真，假或假，真列出不等式组，即可即可．
【详解】对于：，所以，当且仅当时取等号，
恒成立，则，即；
对于：存在，使得不等式成立，
只需，
而，，；
因为，有一真一假，所以
若为假命题，为真命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，则，所以.
综上，或，
故答案为：.
13．①③④
按，分类，进而求出函数的值域、单调性判断①②③；利用归纳推理的求解判断④.
【详解】函数，
当时，，且在上单调递增，③正确；
当时，，且在上单调递增，
因此函数的值域为，①正确；
函数在上单调递增，则，恒有，②错误；
由，得，
，，归纳推理得，④正确.
故答案为：①③④
14．或
根据向量垂直的坐标运算列方程，解方程即可.
【详解】由已知，，且，
则，
解得或，
故答案为：或.
15．(1)，
(2)
（1）根据交集和并集的定义即可得解；
（2）由题意可得是的真子集，再根据集合的包含关系即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，；
（2）因为是成立的必要不充分条件，所以是的真子集，
又，故不为空集，
故（等号不同时成立），得，
所以实数的取值范围．
16．（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）见解析.
（1）根据，求得，进而得到，再由求解.
（2）由得到，先求得函数定义域，再判断的关系.
（3）由，得到，将，转化为，再分，讨论求解.
【详解】（1）因为，即，
解得，则，
又因为,
解得.
（2）当时，，
函数定义域为，，
所以函数为奇函数.
（3）当，则，
由即①
当时，要使不等式①成立，则，
解得.
当时，要使不等式①成立，则，
解得，
综上所述：当时不等式的解集为.
当时不等式的解集为.
17．(1)
(2)475台；
(3)年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．
（1）根据利润函数＝销售收入函数−成本函数，由此即可求出结果；
（2）由利润函数是二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量的值；
（3）要使企业不亏本，则利润，根据分段函数，分类解不等式，即可求出结果．
【详解】（1）设利润为y万元，
得 ，
即.
（2）显然当时，企业会获得最大利润，
此时，，
，即年产量为475台时，企业所得利润最大．
（3）要使企业不亏本，则．
即 或，
得或，即．
即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．
18．(1)
(2)
（1）根据二次函数在闭区间上的单调性，利用最值得出方程组可解得；
（2）将不等式有解问题转化成，由二次函数单调性可得结果.
【详解】（1）易知函数关于对称，
因此在区间上单调递增，
所以可得，解得，
因此的值分别为
（2）由（1）可得，所以；
不等式等价于；
令，可得，
不等式在上有解等价为；
由二次函数性质可得在上单调递增，
所以，因此.
即可得实数的取值范围为.
19．(1)答案见解析
(2)
(3)
（1）将不等式转化为，分三种情况求出解集；
（2）求出的分段函数，求出的单调区间，求出在上的值域；
（3）求出，分、和三种情况求出，求出的最小值.
【详解】（1）由，
即不等式转化为，
则，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（2），
当，
在单调递减，在单调递增，
，函数在上值域为，
当在单调递增，
，函数在上值域为，
综上所述，函数在上值域为；
（3）由题意可知，，
①当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增，
函数的最小值为；
②当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增，
函数的最小值为；
③当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增，
故函数的最小值为，
综上所述，，
当时，函数的最小值为，此时；
当时，函数的最小值为，此时；
当时，函数的最小值为，此时．
综上所述，的最小值为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
D
B
A
B
A
BCD
AB
题号
11









答案
BC