福建省泉州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份福建省泉州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生．已知该校初中部和高中部分别有1500名和2000名学生，若从高中部抽取的学生人数为80，则（ ）
A．60B．100C．120D．140
3．已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
4．设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，，则
D．若与所成的角相等，则
5．已知向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，某款厨房用的香料粉收纳盘为正四棱台造型，其两底面的边长分别为6cm，2cm．若该收纳盘中香料粉的每日使用量保持不变，收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则剩余的香料粉大约还可以连续使用（ ）
A．7天B．11天C．15天D．19天
8．在中，，动点满足，且，若为的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的图象关于原点对称
D．直线是的图象的对称轴
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若是方程的两根，则
D．若，则在复平面内对应的点的集合所成的图形面积为
11．已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别为的中点，若，则（ ）
A．
B．三棱柱的体积为
C．与所成的角的余弦值为
D．平面截三棱柱所得的截面面积为
三、填空题
12．已知一组数据：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，则这组数据的上四分位数（第75百分位数）是 ．
13．已知，则 ．
14．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，以的长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．已知为上的一点，为的中点，若，则的最大值为 ，最小值为 ．
四、解答题
15．已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)当时，，求实数的取值范围．
16．某企业拟从甲、乙两家工厂中选择一家作为供货商，现从两家工厂生产的产品中各抽取100件，并测量其质量指标值（指标值越大，代表质量越高），测量结果统计如下：
乙工厂
(1)求的值，并估计甲工厂产品质量指标值的样本平均数和样本方差（频率分布直方图中，同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)结合统计学知识为该企业推荐一家供货商．
17．如图1，在平行四边形中，，将沿翻折至（如图2），使得．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值；
(3)若点在平面内，，当三棱锥的体积最大时，求的长．
18．已知锐角的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的面积的取值范围；
(3)如图，若为外一点，且，求．
19．在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转角后得到点，其中，称该公式为点的坐标旋转变换公式．
(1)已知点可由点绕原点逆时针旋转得到，求的值；
(2)若曲线绕原点逆时针旋转得到曲线，求证：直线与有无数多个公共点；
(3)曲线上是否存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰梯形？证明你的结论．
1．B
利用复数的模与除法运算法则可求复数.
【详解】由，可得，
所以.
故选：B.
2．D
根据题意利用分层抽样的定义直接求解即可.
【详解】.
故选：D.
3．C
应用正弦定理计算求解.
【详解】中，若，
则，再应用正弦定理得，
则.
故选：C
4．C
根据线面位置关系及面面位置关系判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，则或，A选项错误；
对于B，，则可以不垂直且不垂直，B选项错误；
对于C，如图，记平面和分别为平面，直线分别为，
过直线的平面分别交于直线，记为，
因为，，所以，所以，
由线面平行的判定定理可知，
因为，，所以，所以，C正确.
对于，如图，若为正方体，
记平面和分别为平面，直线分别为，
由正方体性质可知，直线与所成角相等，但不垂直，故错误.
故选：C.
5．B
根据题意求得，进而利用投影向量的定义求得在上的投影向量．
【详解】因为，因为，所以，所以，
所以在上的投影向量为.
故选：B.
6．A
利用正弦定理求得外接圆的半径，利用勾股定理求得外接球的半径，可求表面积.
【详解】在中，，
利用正弦定理可得外接圆的半径，
又，所以直三棱柱的外接球的半径为，
所以该球的表面积为.
故选：A.
7．A
根据棱台的体积公式，计算求值，再计算出使用的天数.
【详解】由题意可知，设香料收纳盘的高为，则收纳盘的容积为．
收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则所用的容积为，
所以剩余的香料粉的容积为，
因此根据比例关系可得剩余的香料粉还可以连续使用7天.
故选：A．
8．C
取的中点，可得在直线，最小值即为到直线的距离，据此计算可得最小值.
【详解】作出示意如图所示：取的中点，
则，又，所以，
又，所以在直线上，
所以的最小值为到直线的距离，即，
因为，所以，且，所以，
所以，所以的最小值为.
故选：C.
9．AC
A项，由图象即可得出的值；B项，由图象得出周期的长度，求出周期，即可得出的值；C项，写出的表达式，得出的表达式，令得出，即得出关于原点对称；D项，将代入表达式，求出，写出的对称轴满足的方程，得出不存在整数使得时，，进而得出结论.
【详解】由题意及图得，
在中，
，，故A正确，
∴，，故B错误，
∴，
∵图像过，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴的图象关于原点对称，C正确；
当时，，
当直线满足时，为的对称轴，
∴不存在整数使得时，，即，
故D错误；
故选：AC.
10．ABD
根据共轭复数的概念，复数与一元二次方程根的关系，复数的几何意义，逐一判断各选项正误，求出结果.
【详解】设，则，
由，得，
所以，所以A正确；
当时，化简得，即，所以，所以B正确；
是方程的两根，根据韦达定理可知，
则，所以C错误；
当时，复平面内对应的点的组成图形为扇环，外侧半径为2，内侧半径为1，
面积为，所以D正确；
故选：ABD.
11．ACD
利用向量的线性计算结合数量积的运算律可得，可判断A；利用线面垂直作出三棱柱的高，再用三棱柱体积公式计算即可判断B；利用定义作出异面直线所成角，结合余弦定理计算出角的余弦值可判断C；作图确定截面为梯形，利用公式求其面积可判断D.
【详解】对于选项A，，，
，
,故选项A正确.
对于选项B，连接，
底面是边长为2的正三角形，，则，
和都是边长为等边三角形，
为中点，，
在中，利用余弦定理可得，，
过点作于点，
由上可知，平面，平面，
又平面，则，
由，，平面，可得平面，
所以就是三棱柱的高，且,
又，所以三棱柱的体积，故选项B错误.
对于选项C， 连接，在中，，利用余弦定理可得，解得，
延长至点，使，连接，则且，
即为与所成的角（或其补角），
在中，,利用余弦定理可得，，
则在中，，，利用余弦定理可得，故选项C正确.
对于选项D，连接，
分别为的中点，,
四点共面，则平面截三棱柱所得的截面即为梯形，
,为等腰三角形，
底边上的高，即梯形的高为，
梯形的面积为，故选项D正确.
故选：ACD.
12．9
根据第百分位数的概念，求一组数的第百分位数.
【详解】共有10个数，则，
则第75百分位数是第8个数,即9.
故答案为：9.
13．
利用辅助角公式可得，利用二倍角的余弦公式可求解.
【详解】由，可得，所以，
所以.
故答案为：.
14． 4
建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角恒等变换可求的最值.
【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
则，
所以
，其中，
则，则，所以，
所以当时，，
当时，.
故答案为：；.
15．(1)，
(2)
（1）利用正弦型函数的最小正周期公式求得最小正周期，利用整体法，结合正弦函数的单调性求得单调递增区间；
（2）利用，求得，由已知可得，可求实数的取值范围；法二：令，分与两种情况求得实数的取值范围.
【详解】（1）依题意得的最小正周期为
由，解得
所以函数的单调递增区间；
（2）由，得，所以，
所以，
解法一：当时，由，且，得，
只需满足，
因为函数在区间上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围．
解法二：令，可设，则原题意等价于，
当时，不等式显然成立；
当时，因为函数是单调函数，
所以只需满足，即，解得且，
综上，实数的取值范围为．
16．(1)，样本平均数75，样本方差129；
(2)建议选择乙工厂生产的产品.
（1）根据频率分布直方图中频率之和为1，可计算出，再利用平均数和方差公式计算即可；
（2）利用公式计算出乙工厂生产的产品质量指标平均数和方差，与甲工厂生产的产品质量指标数据比较大小，即可得出结论.
【详解】（1）因为，所以，
所以甲工厂生产的产品质量指标平均数为
，
方差为.
（2）乙工厂生产的产品质量指标平均数为，
方差为，
所以，
以样本估计总体，甲、乙两家工厂产品的质量指标平均数相当，但乙工厂生产的产品质量指标值方差比较小，产品质量比较稳定，
故建议选择乙工厂生产的产品．
17．(1)证明见解析
(2)；
(3)
（1）利用勾股定理可得，结合已知可证平面；
（2）过点作于点，连结，利用线线垂直证明线面垂直，进而可证为直线与平面所成的角的正弦值，求解即可；法二：过点作于点，连结，利用面面垂直的性质平面，下同解法一；法三：设点到平面的距离为，利用等体积法求得，进而可求直线与平面所成的角的正弦值；
（3）由题意可得，法一：利用基本不等式求得的最大值即可.法二：设，则，可得，利用换元法与二次函数的性质可求最值.法三：设，可得，可求最大值.
【详解】（1）因为，所以，所以，
又因为，所以平面；
（2）解法一：过点作于点，连结
因为平面，平面，所以，
又因为，所以平面，
所以为斜线在平面上的射影，为直线与平面所成的角，
在平行四边形中，，因为，所以，
所以，在中，，
由勾股定理可得，根据等面积法可得
在中，，所以，
即直线与平面所成的角的正弦值为；
解法二：因为平面，平面，所以平面平面，
过点作于点，连结
又因为平面平面，平面，
所以平面，
下同解法一：
解法三：在平行四边形中，，
因为，所以，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，所以平面，
设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，
根据等体积法可得，
因为，所以，
即直线与平面所成的角的正弦值为；
（3）由（2）知平面，又因为，所以，
解法一：因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以当时，三棱锥的体积取得最大值．
解法二：设，则，所以，
令，则，
所以当，即时，三棱锥的体积取得最大值．
解法三：设，
在中，，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，三棱锥的体积取得最大值，
所以当时，三棱锥的体积取得最大值．
18．(1)
(2)
(3)
（1）变形得到，由余弦定理求出，得到答案；
（2）解法一：由正弦定理和三角恒等变换得到，并由锐角三角形得到，求出，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围；
解法二：由余弦定理，且，得到不等式，并将代入两不等式，解得，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围；
解法三：考查的极端位置情况，当时，，当时，，从而得到，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围；
（3）解法一：求出，设，表达出其他各边长，在中，由正弦定理得①，在中，由余弦定理可得②，将①式代入②式得到方程，求出，故；
解法二：求出，设，表达出其他各边长，求出，，在中，由正弦定理可得，在中，用含的式子表达出，求出，在中，由勾股定理和可得方程，求出，故．
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解法一：在中，由正弦定理得，
又，
所以，
因为是锐角三角形，所以，
所以，所以，
因为，
所以的面积的取值范围是；
解法二：因为是锐角三角形，
所以，且，
所以，且，
又因为，所以，
所以，且，解得，
因为，
所以的面积的取值范围是；
解法三：因为是锐角三角形，所以均为锐角，
根据图形变化，考查的极端位置情况，
当时，，
当时，，
可得当且仅当时，是锐角三角形；
因为，
所以的面积的取值范围是；
（3）解法一：因为，所以，
因为，设，则，
在中，由正弦定理可得，即①，
在中，由余弦定理可得②，
将①式代入②式得，
化简得，解得，故．
解法二：过点作交的延长线于点，
因为，所以，
因为，设，则，
又因为，
所以在中，由正弦定理可得，即
在中，，
所以，
因为，在中，由勾股定理可得，
化简得，解得，故．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)存在，证明见解析
（1）根据坐标旋转变换公式的定义，可以根据点绕原点逆时针旋转得到，也可根据点绕原点逆时针旋转得到，列出方程组，求出参数值即可；
（2）根据坐标旋转变换公式的定义，由曲线绕原点逆时针旋转得到曲线，或者由曲线绕原点逆时针旋转得到曲线，列出方程组，求出曲线的解析式，联立方程组，说明有无数多个公共点；
（3）由曲线方程，计算曲线绕原点逆时针旋转角后得到，求出与直线的两个交点，和与直线的两个交点，证明这四个点为等腰梯形，则原曲线上也有这样的四个点，说明结果即可.
【详解】（1）解法一：依题意得，即，解得；
解法二：可由绕原点顺时针旋转得到，也就是绕原点逆时针旋转得到，所以，所以；
（2）任取曲线上点，点绕原点逆时针旋转后得到点，则点在上，
依题意得，即，
代入，整理得，
所以曲线的方程为，
联立，整理得，
所以，即，
所以直线与有无数多个公共点；
解法二：将直线顺时针旋转，即逆时针旋转得到，则与的交点个数与直线与的交点个数相同，
任取上一点，设点绕原点逆时针旋转后对应的点为，
则在直线上，
依题意得，
代入可得，所以直线的方程为，
联立，整理得，所以，所以，
所以直线与有无数多个公共点，即直线与有无数多个公共点；
（3）曲线上存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰梯形，
理由如下：
设曲线绕原点逆时针旋转角后得到，上点绕原点逆时针旋转角后得到点，则，
当时，
由，整理得，
由，整理得，
代入，
得，
取可得曲线的方程为，
取与直线的两个交点，
取与直线的两个交点，
由且可得四边形为等腰梯形，
所以曲线上存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰梯形，
即曲线上存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰梯形．质量指标值分组
频数
40
60
平均数
63
83
方差
6
16
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
C
B
A
A
C
AC
ABD
题号
11









答案
ACD