福建省泉州市重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学（含解析）

这是一份福建省泉州市重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．一组数据分别为1，2，3，4，5，6，7，8，则这组数据的80%分位数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．在如下图所示的两种分布形态中（ ）
A．（1）中的中位数大于平均数B．（1）中的众数大于平均数
C．（2）中的众数小于中位数D．（2）中的中位数大于平均数
4．已知是水平放置的的直观图，，则的面积为（ ）
A．12B．C．6D．
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数之和不大于10的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．一组数据0，1，2，2，3，3，3，4，5的众数是3
B．已知随机事件A和B，若，则A和B相互独立
C．若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现进行比例分配的分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人
D．已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据…，（）的平均数为，方差为，则平均数
10．已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（ ）
A．B．
C．D．
11．已知空间四边形中，，，且，设AC与平面BCD所成角为α，二面角的平面角为β，则（ ）
A．B．
C．的最小值为D．
三、填空题
12．已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则 .
13．用透明塑料制作一个由圆柱和圆台组合而成的封闭容器，并往容器内部灌入一些水．图1和图2为该容器在不同放置方式下的轴截面，其尺寸（单位：cm）如图所示．若如图1放置该容器时，其圆台部分恰好充满水，则如图2倒立放置该容器时，圆柱部分水面高度h为 cm．
14．若棱长为a的正四面体的内部有一个棱长为2的正方体可任意转动，则a的最小值为 .
四、解答题
15．已知在直三棱柱中，，M为棱的中点，O为线段的中点．
(1)求证：平面MBC；
(2)求三棱锥的体积．
16．某高校的社团招聘面试中有4道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有四次答题机会，一旦累计2次答对抽到的题目，则该面试者面试通过，否则面试者就一直抽题到第4次为止，假设每位面试者对抽到的不同题目能否答对是独立的．设事件表示“李明第i次答对题目”，试用分别表示以下问题中的事件，并求对应的事件概率．
(1)求李明第三次答题通过面试的概率；
(2)求李明最终通过面试的概率．
17．如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，．
①求证：平面；
②若，与平面所成角的正切值为，求二面角的正切值．
18．某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图．
(1)请根据频率分布直方图，求出图中t的值．在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线
(2)在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在[70,90)内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自[70,80)的概率；
(3)已知在[70,80)内的学生成绩的平均数为75，方差为6，在[80,90)内的学生成绩的平均数为85，方差为1，求在[70,90)内的学生成绩的平均数和方差（请先推导必要的公式，再代值计算）．
19．如图，在三棱台中，．

(1)过且平行于的平面分别交AB，AC于M，N，求证：．
(2)若三棱台的体积为，底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，平面平面ABC．
①求三棱台的表面积；
②设，求异面直线BF与所成角的余弦值的取值范围．
1．D
由共轭复数的定义及复数的坐标表示判断复数所在象限.
【详解】由题设，对应点为，该点位于第四象限.
故选：D
2．C
将数据从小到大排列，根据百分位数的概念计算，即可求得答案.
【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，4，5，6，7，8，
，
所以这组数据的80%分位数是第7个数，即7.
故选：C
3．D
根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势，判断即可得出结论
【详解】众数是最高的矩形的中点横坐标，
因此（1）中的众数在第二列矩形的中点处，数据第二、三列较多，且右侧拖尾，
所以平均数大于中位数，即在（1）中，众数中位数平均数；
同理在（2）中，平均数中位数众数.
故选：D
4．A
应用三角形面积公式得，再由直观图与原图面积关系求的面积.
【详解】由题设，又，
所以.
故选：A
5．C
对于ABD，由答案不完备即可判断错误；对于C，由线面平行的性质、面面垂直的判定定理即可判断.
【详解】对于A，若，则或异面，故A错误；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，则存在，且，因为，所以，而，从而，故C正确；
对于D，若，则或，故D错误.
故选：C.
6．B
应用列表法求古典概型的概率即可.
【详解】由题设，两次抛掷骰子对应数值为，可能事件如下，
共有36种情况，
其中点数之和不大于10的有33种，故概率为.
故选：B
7．A
只需求得三棱锥外接球的半径，再结合球的体积公式即可求解.
【详解】如图所示，取中点，因为，
所以，
而，所以，
所以，
所以点为三棱锥外接球的球心，
所以三棱锥外接球的半径为，故所求为.
故选：A.
8．B
建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，
在下底面作，
以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：
因为扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，所以，得，
则即，即，
，，，， ，，
.
所以，
又异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
9．ABD
由众数的定义判断A，由独立事件的定义判断B，由分层抽样的比例验算C，由平均数、方差性质验算D.
【详解】对于A，一组数据0，1，2，2，3，3，3，4，5的数据3出现了三次，出现次数最多，所以该组数据的众数是3，故A正确；
对于B，因为，
所以，即A和B相互独立，故B正确；
对于C，若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现进行比例分配的分层随机抽样，
从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取人，故C错误；
对于D，已知样本数据的平均数为，方差为，
若样本数据…，（）的平均数为，方差为，则，解得，平均数，故D正确.
故选：ABD.
10．ACD
利用反证法、线面垂直的判定和性质判断证明各项的正误即可.
【详解】A：若为中点，又为中点，根据正方体的结构特征有平面，
平面，则，如下图示，
又为中点，根据中位线及正方形的性质有，
由都在平面内，则平面，
平面，则，满足；
B：如下图示，平面，平面，则，
若，都在平面内，则平面，
平面，则，显然不成立，不满足；
C：如下图示，由中位线及正方形性质易知，
由平面，平面，则，
都在平面内，则平面，
平面，则，满足；
D：若为中点，又都为中点，如下图示，
根据中位线、正方形的性质易知，，
由平面，平面，则，
由都在平面内，则平面，
平面，则，同理可证，
由都在平面内，则平面，
平面，则，满足.
故选：ACD
11．ABC
根据题意，分别在中，利用余弦定理求判定A；作平面于点，设得到，作于点得到为二面角的平面角，求得判定 B；根据直线与平面所成角的定义和最小角定理判定D；由且，结合三角函数的基本关系式可判定C.
【详解】由题设中，
在中，则，A对；
过作平面于点（注意其位置不定），设，
则为直线AC与平面BCD所成角，故，
过作于点，由平面，平面，则，
且都在平面内，则平面，平面，则，
综上，为二面角的平面角，
在中，故，B对；
由，其中为AC与平面BCD所成角，
结合线面角的定义及最小角定理有，即，D错；
由且，则，
所以，即，C对.
故选：ABC
12．0.7/
根据概率的加法公式代入求解即可.
【详解】因为事件与事件发生的概率分别为
，，且，
所以.
故答案为：0.7.
13．
根据水的体积恒定，应用圆台、圆柱的体积公式列方程求圆柱部分水面高度h.
【详解】由题设，水的体积为，
所以，可得.
故答案为：
14．
由题意该正方体一定内接于正四面体内切球内，且正方体的体对角线为正四面体内切球的直径时最小，再应用等体积法列方程求参数值.
【详解】由题意，要使正方体可任意转动，则该正方体一定内接于正四面体内切球内，
所以正方体的体对角线为正四面体内切球的直径时，最小，
此时正四面体的内切球半径为，而正四面体的高，
若正四面体的侧面三角形面积为，由等体积法知，
所以，可得.
故答案为：
15．(1)证明见解析；
(2).
（1）设为中点，连接，根据已知得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论；
（2）应用等体积法及已知、棱锥的体积公式求体积即可.
【详解】（1）设为中点，连接，又O为线段的中点，则且，
由M为棱的中点，则且，
所以，，故四边形为平行四边形，则，
由平面MBC，平面MBC，则平面MBC；
（2）由，则且为直角三角形，
所以三棱锥的高为，故.
16．(1)
(2)
（1）根据题意，由前2次有一次答对，第3次答对，利用独立事件的概率求解；，
（2）根据题意，由前2次都答对，前2次有一次答对，第3次答对和前3次有一次答对，第4次答对求解.
【详解】（1）由题意得：前2次有一次答对，第3次答对，即对应的事件为，
所以李明第三次答题通过面试的概率为：；
（2）由题意前2次都答对，或者前2次有一次答对，第3次答对或者前3次有一次答对，第4次答对，
即对应的事件为，
李明最终通过面试的概率.
17．(1)证明过程见解析
(2)①证明过程见解析；②
（1）只需证明平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证；
（2）①只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证；②由二面角的定义说明二面角的平面角为，结合解三角形知识求解即可.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）①由（1）可知平面平面，
而平面平面，，平面，
从而平面，
又因为平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面；
②如图所示， 因为平面，
所以二面角的平面角为，
设，因为平面，
所以与平面所成角的平面角为，
因为与平面所成角的正切值为，
所以，即，
因为，所以，
所以，，，
所以在直角三角形中，，
从而，
在直角三角形中，由等面积法有，即，
解得，所以，
所以，
在直角三角形中，由等面积法有，，即，解得，
因为，，，
所以，所以，
所以，
故二面角的正切值为.
18．(1)，分；
(2)；
(3)平均数为81，方差为27.
（1）根据频率和为1列方程求参数，再由分位数的求法估计优胜成绩的分数线；
（2）5人中来自分别为2人、3人，应用组合数及对立事件的概率求法求概率；
（3）应用分层抽样中各层均值与总体均值关系求[70,90)内的学生成绩的平均数，再应用方差公式并结合各层对应方差得到相关等式，再由方差公式求[70,90)内的学生成绩的方差.
【详解】（1）由直方图知，可得，
由题设及图知，优胜成绩的分数线在内，设为，则，所以分；
（2）由（1）知，5人中来自分别为2人、3人，
若抽取的两人都来自，概率为，
所以两人中至少有一人成绩来自[70,80)的概率为；
（3）由题设，区间内的学生人数分别为人、人，
所以[70,90)内的学生成绩的平均数为分，
由[70,80)内的学生成绩方差为6，则，
所以，
由[80,90)内的学生成绩方差为1，则，
所以，
而[70,90)内的学生成绩的方差为，
由
，
由
，
综上，.
19．(1)证明见解析；
(2)①；②.
【详解】（1）由题设，平面，平面，且平面平面，
所以，同理可得，则；
（2）①由题设，，又底面是等腰直角三角形，
所以，且也是等腰直角三角形，则，，
则，，
又平面平面，则等腰梯形的高，即为棱台的高，
所以棱台的体积，可得，
所以，，，
由，平面，平面平面，则平面，
由平面，则，结合棱台的结构特征易知，
所以四边形为直角梯形，则，且，
对于梯形，设其高为，则，
所以，可得，
所以，可得，即，
所以，
综上，三棱台的表面积为；
②由，则异面直线BF与所成角为或其补角，

又，其中，即重合时，
结合棱台的结构知从过程中逐渐变小，当重合时最小，
此时，，又，
所以，故，
则，
综上，的余弦值范围是.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
A
C
B
A
B
ABD
ACD
题号
11









答案
ABC









1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6