湖南省长沙市岳麓实验中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

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1. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕点逆时针旋转后，经过
点，则（）
A. B. C. D.
2. 若 m，n 是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题不正确的是（）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3. 某单位职工参加某 APP 推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答
20 题，每题答对得 5 分，答错得 0 分，该单位从职工中随机抽取了 10 位，他们一天中三次作答的得分情况
如图：
根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（）
A. 该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致
B. 该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致
C. 该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差
D. 该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差
4. 已知中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若点 A 到直线 BC 的距离为，且
，则（）
A. B. C. D.
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5. 已知，，则的值是（）
A. B. C. D.
6. 定义，已知，，若
，且，，则的最大值为
A. B. C. D.
7. 设椭圆的左，右焦点分别为，直线过点，若点关于的对称点恰
好在椭圆上，且，则的离心率为（）
A. B. C. D.
8. 已知奇函数的导函数为，当时，，若
，则的大小关系正确的是（）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中使得有两个解的是（）
A. ，， B. ，，
C ，， D. ，，
10. 如图，正方体中，点为的中点，点为的中点，则下列结论正确的是（）
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A. B. 平面
C. 平面 D. 直线与平面所成的角为 30°
11. 如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为 2 和 3，侧棱长为 1，点 P 在侧面
内运动（包含边界），且 AP 与平面所成角的正切值为，则（）
A. CP 长度最小值为
B. 存在点 P，使得
C. 存点 P，存在点，使得
D. 所有满足条件的动线段 AP 形成的曲面面积为
三、填空题
12. 已知 AB 为圆 O：的直径，点 P 为椭圆上一动点，则的最小值为______
．
13. 若，且，则的最小值为______．
14. 若直角坐标平面内两点满足条件：① 都在函数图像上；② 关于原点对称，则对
称点是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）．已知函
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数，则的“友好点对”有__________个．
四、解答题
15. 已知，求:
（1）的值;
（2）与的夹角．
16. 已知函数的定义域为，对，总有成立.若
时， .
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若，求解关于的不等式的解集.
17. 如图，是⊙O 的直径，垂直于所在的平面，C 是圆周上不同于的一动点.
（1）证明：直角三角形；
（2）若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成
角的正弦值.
18. 我们把（其中）称为一元次多项式方程.代数基本定理：
任何一元次复系数多项式方程（即为实数）在复数集内至少有一个复数根；由
此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那
么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为
个一元一次多项式的积.即，其中
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，为方程的根.进一步可以推出：
在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式
必可分解因式.例如：观察可知，是方程的一个根，则一
定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知， .
（1）在复数集内解方程：；
（2）设，其中，且 .
（i）分解因式：；
（ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证：当
时， .
19. 两个非空有限整数集 M，N，定义，对， .
（1）若中元素之和小于 6，求集合；
（2）若且，求出所有满足条件的数集；
（3）已知，在（2）的条件下，当且时，求函数
的值域.