湖南省岳阳市重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学（含解析）

这是一份湖南省岳阳市重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学（含解析），共16页。试卷主要包含了考试结束时，将答题卡交回，当，，计算=等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页。时量120分钟，满分150分。答题前，考生要将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷和草稿纸上无效。
3、回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上。写在本试卷和草稿纸上无效。
4、考试结束时，将答题卡交回。
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)
已知，则复数对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
下列说法正确的是( )
A. 若则B. 零向量没有方向
C. 相等向量的长度相等D. 共线向量是在同一条直线上的向量
如图所示，用符号语言可表达为( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，，
D. ，，，
某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级人，高三年级1100人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )
A. 11，14，11B. 12，12，12C. 14，12，10D. 13，12，11
从2名男生和2名女生中任意选出两人参加学校辩论赛，则选出的两人恰好是两名女生的概率是( )
A. B. C. D.
已知ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=2,BC边上中线AD长为1，则bc最大值为( )
A. 3B. C. 2D.
已知圆锥的底面圆的直径为2，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面积等于( )
A. 22πB. 3πC. 23πD. 4π
某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生中抽取了一个容量为80的样本。已知该校男生人数比女生多800人，抽样结果显示：男生样本的平均身高为178，方差为200；女生样本的平均身高为162，方差为185。则下列说法中不正确的是( )
A. 抽取的样本里男生有48人
B. 每一位学生被抽中的可能性为
C. 估计该学校学生身高的平均值为171.6
D. 估计该学校学生身高的方差为253
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A.
B. 复数的虚部为
C. 若，则复平面内对应的点位于第三象限
D. 已知复数z满足，则z是纯虚数
已知向量，，下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则上的投影向量为
在如图所示的三棱锥O−ABC中，，OA⊥面OBC，∠BOC=π3，下列结论正确的为( )
A. 直线AB与平面OBC所成的角为45°
B. 二面角O−BC−A的正切值为33
C. O到面ABC的距离为32
D. 两条异面直线OC与AB所成的角为的余弦值为55
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，34，32，41，则这8人年龄的25%分位数是_______.
如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO＝12AC，AB＝BC，E为线段AB上的动点，当(SE＋CE)min＝2(3＋1)时，圆锥的体积等于_________
若的角所对边，且满足，则角A的最大值为_____
四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
(本小题满分13分)
如图，在ABC中，，D为中点，E为上一点，且，BE的延长线与的交点为F.
(1)用向量与表示和
(2)用向量与表示
(3)求出的值
(本小题满分15分)
张先生在一家科技公司工作，每天早上自驾去公司上班.他统计了最近100次开车从家到公司的红灯等待时间并形成统计表，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示.
(1)求图中a的值，估计张先生最近100次红灯等候时间的平均数；
(2)估计张先生红灯等待时间的上四分位数；
(3)根据以上数据，估计张先生在接下来的20次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间不低于85秒的次数.
(本小题满分15分)
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，,为的中点，且.
(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥外接球的表面积；
(3)求三棱锥的体积.
(本小题满分17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3(acs C－b)＝eq \r(3)csin A.
(1)求角A；
(2)若角A的平分线交BC边于D且AD=2，求△ABC的面积的最小值.
(本小题满分17分)
甲、乙两人在校园运动会“趣味数学挑战”中玩骰子游戏。规则如下：
准备两个相同的六面骰子（点数1-6），甲先掷第一个骰子，记录点数为a（每次掷骰子后骰子独立，即后续掷骰子不受前次影响）。此时甲有两种选择：
①再掷一次骰子,记录点数为b,甲的最终挑战分数取两次中的较大值(即max{a,b})；
②直接结束，甲的最终挑战分数为a。
随后乙掷一个骰子,记录点数为c,若c>甲的最终分数,则乙赢,否则甲赢。游戏结束。
问题：
(1)若甲选择②（只掷1次），求甲赢的概率；
(2)若甲选择①（掷2次），求甲赢的概率；
(3)当甲第一次掷出的点数a为多少时，甲选择②赢得游戏的概率大于选择①的概率? 高一数学参考答案及评分标准
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)
1–4.DCAD5–8.BCBD
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。)
9．AC10．BC11．BCD
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．3313．14．
四、解答题(本大题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．解：（1），………………………2分
是中点，；……………4分
（2），则，
；…………………………8分
（3）设，则，，
又向量共线，而不共线，
所以，解得． …………………………………12分
…………………………………13分
16．（1）因为各组频率之和为1，组距为10，
所以， 解得.……………………2分
平均分……5分
因为，
上四分位数为
所以红灯等待时间的上四分位数的估计值为87.5.………………………10分
（3）由题红灯等待时间不低于85秒的频率为……………15分
故估计张先生在接下来的20次中红灯等待时间不低于85秒的次数为次.
17.（1）证明：因为底面，平面，所以，
又，，所以平面，
而平面，所以平面平面．……………………………5分
（2）解：由（1）可知,所以．（也可以用 eq \(\s\up 6(),AM) eq \(\s\up 6(),BD)=0）
建立如图所示的平面直角坐标系，设．
因为，所以，，，．
从而．
所以，即…………………………………………9分
四棱锥外接球的半径
表面积…………………………11分
………………15分
18．解：（1） 3(acs C－b)＝eq \r(3)csin A.，由正弦定理可得
…………………………2分
…………………………4分
，
，………………………6分
………………………8分
（2）由
得
………………………10分
由
得 （当时等号成立）………………………14分
故△ABC的面积的最小值为………………………17分
19．问题（1）：甲选择②时甲赢概率
甲的最终分数为（=1，2…6，，每个点数的概率为），乙掷骰子（=1，2…6，每个点数的概率为），甲赢的条件是，即乙的点数不超过甲的分数，对于每一个，甲赢的概率为。
所以……………4分
问题（2）甲选择①时甲赢概率
设
仅当概率
当至少一个骰子为2且无更大的点数，概率




当乙掷出，概率为，甲选择①时甲赢概率：
（约0.745）……………10分
问题（3）：对于固定甲选择②时甲赢概率为： =
选择①时，甲的最终分数为，此时甲赢的概率为：
=
分情况讨论的值：
1、当时，，故=
， >
2、当时,,计算=
， >
3、当，，计算=
， >
4、当，，计算=
， >
5、当，，计算=
， >
当，计算=1，
综上， ……………………………17分
所以不论甲第一次掷出的点数a为多少时，甲选择②赢得游戏的概率都不会大于选择①的概率。