2022-2023学年湖南省长沙市长沙重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市长沙重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知i是虚数单位，复数z=−1+ii，则z是( )
A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i
2. 已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的体积为( )
A. 3π3B. 3πC. π3D. π
3. 为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三( )
A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人
4. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴，已知四边形的面积为6cm2，则原四边形的面积为cm2．( )
A. 12
B. 12 2
C. 3 22
D. 3
5. 在△ABC中，a=6，b=6 3，A=30°，则最长边c=( )
A. 6B. 12C. 6或12D. 6 3
6. 要得到函数y=3sin(2x+π5)的图象，只需( )
A. 将函数y=3sin(x+π5)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
B. 将函数y=3sin(x+π10)图象上所有点的横坐标变为原来12倍(纵坐标不变)
C. 将函数y=3sin2x图象上所有点向左平移π5个单位
D. 将函数y=3sin2x图象上所有点向左平移π10个单位
7. 如图，△ABC中，AB=a，AC=b，D为BC中点，E为AD中点，CE用a和b表示为CE=λa+μb，则λμ=( )
A. 3
B. −3
C. 13
D. −13
8. 一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字为奇数”，事件D为“第二次记录的数字为偶数”，则( )
A. A与D互斥B. C与D对立C. A与B相互独立D. A与C相互独立
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列有关复数的说法正确的是( )
A. 若复数z=z−，则z∈RB. 若z+z−=0，则z是纯虚数
C. 若z是复数，则一定有|z|2=z2D. 若z1，z2∈C，则z1⋅z2−=z1−⋅z2−
10. 已知向量a=(1,2)，b=(−2,2)，c=(4,k)，则下列说法正确的是( )
A. a的相反向量是−aB. 若(a+b)⊥c，则k=−2
C. a在b上的投影向量为(−12,12)D. 若(a+b)//c，则k=1
11. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A. ω=2
B. f(0)=1
C. 在区间[−π3,0]上单调递增
D. 将f(x)的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数
12. 如图，四棱锥S−ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有( )
A. AC⊥SB
B. AB/​/平面SCD
C. SA与平面ABCD所成角是∠SAB
D. AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：143，140，144，142，142，145，148，147，147，150，这10名同学数学成绩的60%分位数是______ ．
14. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=105°，B=45°，b=10 2，则c= ______ ．
15. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ．
16. 已知正四面体ABCD的棱长为 2，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求f(π6)的值；
(2)求函数f(x)的单调递减区间．
18. (本小题12.0分)
已知复数z=1+mi(i是虚数单位，m∈R)，且z−⋅(3+i)为纯虚数(z−是z的共轭复数)．
(1)求实数m及|z|；
(2)设复数z1=a−i2023z，且复数z1对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
19. (本小题12.0分)
新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，技照成绩为[90,100)，[100,110)，…，[140,150]分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于90分)．
(1)求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于[120,140)的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求[130,140)这组中至少有1人被抽到的概率．
20. (本小题12.0分)
已知向量a=(1, 3)，b=(−2,0)．
(1)求a−b的坐标以及a−b与a之间的夹角；
(2)当t∈[−1,1]时，求|a−tb|的取值范围．
21. (本小题12.0分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3c= 3acsB−asinB．
(1)求A的大小；
(2)若A的角平分线交BC于D，且AD=3，求△ABC面积的最小值．
22. (本小题12.0分)
如图，三棱锥P−ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．
(I)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(II)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z=−1+ii=1+i．
故选：A．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
2.【答案】A
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l=2，
∵圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，
∴πrl=2πr=2π，解得r=1，
∴h= l2−r2= 3，
∴该圆锥的体积为：
V=13πr2h=13π×12× 3= 33π．
故选：A．
求出底面半径和高，利用圆锥的体积公式即可求解．
本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的结构特征、侧面积公式、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：依题意得：
某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，
欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，
则应抽取高三的人数为：18×700600+500+700=7．
故选：C．
利用分层抽样的性质直接求解．
本题考查分层抽样相关知识，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得∠BAD=45°，
原四边形为一个直角梯形，且上下底的边长分别和BC、AD相等，
高为AB的2倍，
即四边形ABCD的高的2 2倍，面积是四边形ABCD的2 2倍，
∴原平面图形的面积为6×2 2=12 2cm2．
故选：B．
根据原图形和直观图形面积之间的关系求解．
本题考查斜二测法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵△ABC中，a=6，b=6 3，A=30°，
则由余弦定理可得a2=b2+c2−2bc⋅csA，
即36=108+c2−12 3c× 32，
解得c=6，或c=12，
因为c>a，c>b，
所以c=12．
故选：B．
由条件利用余弦定理可得a2=b2+c2−2bc⋅csA，即36=108+c2−12 3c× 32，由此解得c的值．
本题主要考查余弦定理的应用，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：将y=3sin(x+π5)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin(12x+π5)，故A错误；
将y=3sin(x+π10)的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin(2x+π10)，故B错误；
将函数y=3sin2x的图象上所有点向左平移π5个单位，得到函数y=3sin(2x+2π5)，故C错误；
将函数y=3sin2x的图象上所有点向左平移π10个单位，得到函数y=3sin(2x+π5)，故D正确；
故选：D．
根据函数图象平移的“左加右减”原则对四个选项逐一进行平移变换可得正确答案．
本题考查了三角函数的图象平移变换，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵D为BC中点，∴AD=12(AB+AC)，
∵E为AD中点，∴CE=AE−AC=12AD−AC=14(AB+AC)−AC=14AB−34AC，
∵AB=a，AC=b，
∴CE=14a−34b，
∵CE=λa+μb，
∴λ=14，μ=−34，
∴λμ=−13．
故选：D．
利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
其中事件A包括：(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)．
事件B包括：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
事件C包括：(1,1)，(12)，(1,3)，(1,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，
事件D包括：(12)，(1,4)，(2,2)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(4,2)，(4,4)，
对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，故A与D互斥不成立，故A错误；
对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，故C与D对立不成立，故B错误；
对于C：因为P(A)=816=12，P(B)=1016=58，P(AB)=616=38，因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以A与B不是相互独立，故C错误；
对于D：因为P(A)=816=12，P(C)=816=12，而P(AC)=416=14，因为两个事件的发生与否互不影响且P(AC)=P(A)P(C)，所以A与C相互独立，故D正确．
故选：D．
列举出基本事件，对四个选项一一判断：对于A：由事件A与D有相同的基本事件，否定结论；对于B：由事件C与D有相同的基本事件，否定结论；对于C、D：利用公式法进行判断．
本题考查的知识点是对立事件和独立事件，难度不大，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，设z=a+bi，(a,b∈R)，则z−=a−bi，
若z=z−，则b=0，∴z∈R，故A正确；
对于B，设z=z−=0时，z+z−=0，而z不是纯虚数，故B错误；
对于C，当z=1+i时，则|z|2=2，zz2=2im，
∴|z|2≠z2，故C错误；
对于D，令z1=a+bi(a,b∈R)，z2=m+ni(m,n∈R)，
则z1⋅z2=ma−nb+(mb+na)i，
z1⋅z2−=ma−nb−(mb+na)i，
∵z1−=a−bi，z2−=m−ni，
∴z1−⋅z2−=(a−bi)(m−ni)=ma−nb−(mb+na)i，
∴若z1，z2∈C，则z1⋅z2−=z1−⋅z2−，故D正确．
故选：AD．
由共轭复数的概念及复数相等，判断A；应用特殊值法，令z=z−=0及z=1+i，判断BC；利用共轭复数的概念及复数乘法判断D．
本题考查复数的运算，考查复数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，由相反向量的定义可知，a的相反向量是−a，故A正确；
对于B，a=(1,2)，b=(−2,2)，
则a+b=(−1,4)，
(a+b)⊥c，c=(4,k)，
则(−1)×4+4k=0，解得k=1，故B错误，
对于C，a=(1,2)，b=(−2,2)，
则a⋅b=−2+4=2，|b|= 22+22=2 2，
故a在b上的投影向量为a⋅b|b|×b|b|=14b=(−12,12)，故C正确；
对于D，a+b=(−1,4)，c=(4,k)，(a+b)//c，
则−k=4×4，解得k=−16，故D错误．
故选：AC．
对于A，结合相反向量的定义，即可求解；
对于B，结合向量垂直的性质，即可求解；
对于C，结合投影向量的公式，即可求解；
对于D，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直、平行的性质，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：由图象知A=2，
3T4=7π12−(−π6)=3π4，即T=π，
则2πω=π，得ω=2，故A正确，
此时f(x)=2sin(2x+φ)，
由五点对应法得2×(−π6)+φ=0，得φ=π3，
此时f(x)=2sin(2x+π3)，
则f(0)=2sinπ3=2× 32= 3，故B错误，
当−π3≤x≤0时，−2π3≤2x≤0，−π3≤2x+π3≤π3，此时f(x)为增函数，故C正确，
将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到y=2sin[2(x+π6)+π3]=2sn(2x+2π3)不是偶函数，故D错误，
故选：AC．
根据图象分别求出A，ω和φ的值，然后利用三角函数的图像和性质分别进行判断即可．
本题主要考查三角函数图像和性质，根据条件求出A，ω和φ的值，利用三角函数的单调性，平移变换性质进行判断是解决本题的关键，是中档题．
12.【答案】ABCD
【解析】解：∵SD⊥底面ABCD，∴AC⊥SD，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵BD∩SD=D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确；
∵AB/​/CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB/​/平面SCD，故B正确；
∵AD是SA在平面ABCD内的射影，∴SA与平面ABCD所成角是∠SAD，故C正确；
∵AB/​/CD，∴AB与SC所成的角等于DC与SC所成角，故C正确．
故选：ABCD．
利用线面垂直的判定定理，得到AC⊥平面SBD，进而判定A；根据AB/​/CD，利用线面平行的判定定理，判断B；根据线面所成角的定义，判断C；根据AB/​/CD，由异面直线所成角的定义，判断D．
本题考查命题真假的判断，考查线面垂直、线面平行的判定与性质、射影、异面直线所成角、线面角的定义的基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
13.【答案】146
【解析】解：对10名同学的成绩从小到大进行排列：140，142，142，143，144，145，147，147，148，150，
根据10×60%=6，故取第6项和第7项的数据分别为：145，147；
10名同学数学成绩的60%分位数为：145+1472=146．
故答案为：146．
根据计算分位数的步骤，计算求解即可．
本题主要考查百分数的定义，属于基础题．
14.【答案】10
【解析】解：因为A=105°，B=45°，b=10 2，
所以C=180°−A−B=30°，
由正弦定理bsinB=csinC，可得10 2 22=c12，
则c=10．
故答案为：10．
由题意利用三角形内角和定理可求C的值，进而利用正弦定理即可求解c的值．
本题考查了三角形内角和定理以及正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
15.【答案】19
【解析】
【分析】
本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题．
分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值．
【解答】
解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6=36种，
而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，
则点数和为5的概率为P=436=19．
故答案为：19．

16.【答案】 32π
【解析】解：正四面体各面都是全等的等边三角形，
所以a= 2，又正方体的面对角线可构成正四面体，
正四面体棱长为 2，可得正方体的棱长为1，
所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，
所以外接球的直径为 3，半径为 32，所以球O的体积为43π×( 32)3= 32π.
故答案为： 32π．
由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，得出对应的正方体的棱长为1，而正方体的外接球即为该正四面体的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径，最后根据球的体积公式即可得出结果．
本题考查了正四面体外接球的体积计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，
所以π=2πω，可得ω=2，可得f(x)=2sin(2x+π3)，
所以f(π6)=2sin(2×π6+π3)= 3；
(2)由(1)可得f(x)=2sin(2x+π3)，
令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，
可得函数f(x)的单调递减区间为：[kπ+π12,kπ+7π12]，k∈Z．
【解析】(1)由题意利用正弦函数的周期公式可求ω，可得函数解析式为f(x)=2sin(2x+π3)，即可计算求解．
(2)利用正弦函数的单调性即可求解．
本题考查了正弦函数的周期公式以及正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵z=1+mi，
∴z−=1−mi，
∴z−(3+i)=(1−mi)(3+i)=(3+m)+(1−3m)i，
∵z−⋅(3+i)为纯虚数，
∴3+m=01−3m≠0，解得m=−3，
故z=1−3i，则|z|= 12+(−3)2= 10；
(2)∵i2023=i4×505+3=i3=−i，
∴z1=a−i2023z=a+i1−3i=(a+i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=a−310+3a+110i，
∵复数z1所对应的点在第二象限，
∴a−310<03a+110>0，解得−13故实数a的取值范围为(−13,3)．
【解析】(1)根据复数代数形式的乘法运算化简z−⋅(3+i)，再根据复数的概念得到方程(不等式)组，求出m的值，即可求出z，从而求出其模；
(2)根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简z1，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：
(0.005+0.03+0.03+x+0.01+0.005)×10=1，
解得x=0.02．
平均分为95×0.05+105×0.3+115×0.3+125×0.2+135×0.1+145×0.05=116.5．
(2)由频率分布直方图得到成绩位于[120,130)和[130,140)上的人数比为，
抽取的6人中成绩位于[120,130)上的有4人，编号为1，2，3，4，
位于[130,140)上的有2人，编号为a，b，
从这6人中任2人的基本事件有12，13，14，1a，1b，23，24，2a，2b，34，3a，3b，4a，4b，ab，共15个，
其中[130,140)这组中至少有1人被抽到的基本事件有1a，1b，2a，2b，3a，3b，4a，4b，ab，共9个，
∴[130,140)这组中至少有1人被抽到的概率为P=915=35．
【解析】(1)由频率分布直方图中所有频率和为1，能求出x值，利用每组区间的中点值乘以相应频率，再相加能求出平均值．
(2)由频率分布直方图得到成绩位于[120,130)和[130,140)上人数，并编号，用列举法写出随机抽取的2人的所有基本事件，由古典概型概率公式能求出[130,140)这组中至少有1人被抽到的概率．
本题考查频率、平均数、概率、古典概型、列举法、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：(1)∵向量a=(1, 3)，b=(−2,0)，
∴a−b=(1, 3)−(−2,0)=(3, 3)，
设a−b与a之间的夹角为θ，
∴csθ=(a−b)⋅a|a−b|⋅|a|=64 3= 32．
∵θ∈[0,π]，∴向量a−b与a的夹角为π6．
(2)|a−tb|2=a2−2ta⋅b+t2b2=4t2+4t+4=4(t+12)2+3，
∴当t∈[−1,1]时，|a−tb|2∈[3,12]，
∴|a−tb|的取值范围是[ 3,2 3].
【解析】(1)推导出a−b=(3, 3)，由此由求出a−b与a之间的夹角．
(2)求出|a−tb|2=4t2−4t+4=4(t−12)2+3，由此能当t∈[−1,1]时，|a−tb|2∈[3,12]，由此能求出|a−tb|的取值范围．
本题考查向量数量积公式、向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3c= 3acsB−asinB．
由正弦定理，得 3sinC= 3sinAcsB−sinAsinB，
得 3sin(A+B)= 3sinAcsB+ 3csAsinB= 3sinAcsB−sinAsinB，
得 3csAsinB=−sinAsinB，
因为sinB≠0，所以tanA=− 3，即A=2π3．
(2)A的角平分线交BC于D，且AD=3，
因为S△ABC=12bcsin2π3=12b⋅ADsinπ3+12c⋅ADsinπ3，
所以bc=3b+3c．
因为bc=3b+3c≥6 bc，即bc≥36(当且仅当b=c=6时，等号成立)，
所以S△ABC= 34bc≥9 3.故△ABC面积的最小值为9 3．
【解析】(1)由正弦定理，结合两角和与差的三角函数推出tanA=− 3，求解即可．
(2)利用三角形的面积通过bc=3b+3c.结合基本不等式推出bc≥36，然后求解△ABC面积的最小值．
本题考查三角形中的几何计算，正弦定理以及基本不等式的应用，是中档题．
22.【答案】(I)证明：∵PA⊥底面ABC，∴BC⊥PA．
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC⊂平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC；
(II)解：取PC中点D，连接AD．
∵AC=PA，∴AD⊥PC，
∵平面PAC⊥平面PBC，
平面PAC∩平面PBC=PC，
∴AD⊥平面PBC，
连接DM，则∠AMD就是AM与平面PBC所成角．
设AC=BC=PA=a，则AD=a 2，AM= 3a2，∴DM=a2，
∴tan∠AMD=ADDM= 2，
∴AM与平面PBC所成角的正切值是 2．
【解析】(I)利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAC，利用面面垂直的判定定理证明平面PAC⊥平面PBC；
(II)取PC中点D，证明∠AMD就是AM与平面PBC所成角，再利用三角函数求解即可．
本题考查线面垂直、面面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用判定定理是关键．