上海市曹杨第二中学2024-2025学年高二下学期阶段练习一（3月月考） 数学试题（含解析）

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1. 若事件、互斥，则______．
【答案】0
【解析】
【分析】由互斥事件的概念即可求解；
【详解】因为事件、互斥，
所以 ，
故答案为：0
2. 已知为正整数．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用排列数和组合数公式求解
【详解】由得,则,
故答案为：
3. 已知，若双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】先求双曲线的焦点坐标，再根据抛物线焦点坐标求的值.
【详解】对双曲线：焦点在轴上，且，，所以，
所以，所以双曲线的焦点为：，.
所以抛物线的焦点坐标为：.
由.
故答案为：4
4. 将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的侧面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可.
【详解】因为将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体为圆锥，
且圆锥的底面半径为：，圆锥的母线长为：.
所以圆锥的侧面积为：.
故答案为：
5. 已知，空间向量，，．若，，共面，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】设，列出方程，可求的值.
【详解】因为，，共面，所以，存在，使得，
即，解得.
故.
故答案为：3
6. 的展开式中，常数项为___________.
【答案】7
【解析】
【详解】试题分析：，令，则，所以常数项为.
考点：二项式系数的性质
点评：本题是基础题，考查二项式定理系数的性质，通项公式的应用，考查计算能力
7. 某同学做最后两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个答案正确，该学生随意填写两个答案，则选对一题的概率是_______．
【答案】##0.375
【解析】
【分析】由分步乘法计数原理求出填写两道选择题的情况数，由分类加法计数原理求出选对一题的情况数，再根据古典概型求概率即可．
【详解】填写两道选择题，每道选择题4个选项，则共有种情况，
其中，选对一道的有2种情况，第一道选对第二道选错，有种情况，
第一道选错第二道选对，有种情况，
选对一道共有种情况，
故选对一题的概率为：，
故答案为：．
8. 若椭圆的长轴长、焦距、短轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是________.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】依题意得到关于的齐次方程，求解即得离心率.
【详解】依题意，成等差数列，则有，，
化简并两边平方可得，，
因，代入整理得，，解得.
故答案为：.
9. 已知双曲线的左，右焦点为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若为等边三角形，则的边长为____________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合双曲线的定义求解即可.
【详解】解：如图，设的边长为，，
因为为等边三角形，所以，
由双曲线的方程知，
所以由双曲线的定义得，
即，解得，.
所以的边长为.
故答案：.
10. 某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有______种不同的停放方式．
【答案】70
【解析】
【分析】利用插空排列的方法求解.
【详解】8个空位排法有1种，出现了7个空，从中选3个，把三辆车排好的方法有：
种.
其中甲车在乙、丙两车之间的概率为：.
所以满足条件排法种数为：种.
故答案为：70
11. 长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为的水（未盛满容器），已知，，．若将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】分别计算水量较少和水量较多时，水面呈三角形时的水的体积，然后可得答案.
【详解】如图：

水量较少，水面恰好为长方体的截面时，；
水量较多，水面恰好为长方体的截面时，.
因为该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，所以的取值范围是.
故答案为：
12. 已知，从椭圆：外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称为点关于椭圆的极线，其方程为．如图，现有两个椭圆、，中心都是坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则的最大值为______．
【答案】##0.125
【解析】
【分析】根据定义写出极线的方程，由距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到，的关系再进行求解.
【详解】设椭圆:，（），则.
设椭圆:，（），则.
设，
由题意可得方程为：，
因为原点到直线的距离恒为1，所以.
又因为为椭圆上的点，所以，
所以，，
所以，
设，则，
，
当时，取得最大值，为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于把表示成函数，结合函数的值域求解.
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13. 已知事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，则和（ ）
A. 是对立事件B. 不是互斥事件
C. 互斥但不是对立事件D. 是不可能事件
【答案】C
【解析】
【分析】利用互斥事件和对立事件的定义求解即可.
【详解】事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，
所以事件和事件不会同时发生，是互斥事件，
因为3粒种子可能只发芽1粒，
所以事件和事件可以都不发生，则和不是对立事件.
故选：C
14. 如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用异面直线的夹角定义和余弦定理求解.
【详解】
取的中点为，连接，
在中， ，且，
在中，，且，
因为异面直线与所成角的大小为，
所以直线的夹角为，则或，
所以在中，
当时，由余弦定理得，
，得，
当时，由余弦定理得，
，得，
故选：D.
15. 今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（ ）
A 二B. 三C. 四D. 五
【答案】A
【解析】
【分析】结合二项式定理求除以7的余数即可.
【详解】因为，
所以可以写成，的形式.
所以除以7所得的余数为4.
故天后为星期二.
故选：A
16. 设函数的图象由方程确定．对于函数，给出下列命题：
①对于任意的且，恒有成立；
②对于任意的，恒有成立；
③在函数的图像上可以找到一点，使得到原点的距离小于．
则其中真命题的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论去绝对值可得函数的图象，根据图象以及椭圆和双曲线的性质可得答案.
【详解】当，时，方程可化为，是椭圆的一部分；
当，时，方程可化为，是双曲线的一部分；
当，时，方程可化为，无解；
当，时，方程可化为，是双曲线一部分.
所以函数的图象的图象如下：
由图可知函数在上单调递减，故①错误；
因为双曲线（，）和（，）的渐近线均为，
所以fx>−22x恒成立，即2fx+x>0恒成立，故②正确；
由椭圆、双曲线的性质可知，函数图象上，点到原点的距离最近，为，故③错误.
所以只有②正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：分类讨论去绝对值，作出方程所确定的图象，利用图象求解是解题关键.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17. 已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点．
（1）求线段的垂直平分线的方程；
（2）设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)设的中点为，求出点的坐标，计算直线的斜率，即可得直线的斜率，由点斜式即可得直线的方程；
（2）设，由得曲线的方程，最后由曲线和圆外切即可求解.
【小问1详解】
设的中点为，则由中点坐标公式有，
则，，设直线的斜率，则，
所以，
所以线段的垂直平分线的方程为.
【小问2详解】
设，则由已知有，
由有：，
所以圆，圆心，
圆，圆心，
因为圆和圆外切，所以，解得，
因为，所以.
18. 设．已知．
（1）当时，求的展开式中项的系数；
（2）若，求，，，…，中的最大值．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）由中项得系数和的系数即可求解；
（2）由通项公式得到求解即可；
【小问1详解】
当时，中项得系数为，的系数为，
所以的展开式中项的系数为；
【小问2详解】
由，
，，
又，
所以，解得：，
假设第项系数最大，
即，即，
可得：，
即第3项系数最大，也即最大；
19. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，．
①写出一个等可能的样本空间；
②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平．
【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3.
（2）①答案见解析；②不公平
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的计算公式求盒中红球、黄球、蓝球的个数.
（2）①根据题意，列出样本空间即可；
②结合古典概型，分别求出甲乙获胜的概率，即可作出判断.
【小问1详解】
设盒中红球个，黄球个，则篮球（）个，
由题意：.
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3.
【小问2详解】
①因为是有放回的随机抽取两次，每次抽取一球，所以样本空间为：，其中包含个样本点，并且每个样本点发生的可能性相同.
②因为红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5,6.
根据规则，甲获胜的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个样本点，所以甲获胜的概率为，
从而乙获胜的概率为：.
因为，所以这个游戏不公平.
20. 已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若，求点的坐标；
（3）设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）直线与直线交点在一条定直线上上.
【解析】
【分析】（1）根据等轴双曲线的概念，结合，可求的值，得双曲线的方程.
（2）先判断点在圆上，列方程，解方程组可得点坐标.
（3）设直线的方程为，与双曲线方程联立，消去，利用韦达定理表示出，，再表示出直线与，探索两直线交点的横坐标是不是定值即可.
【小问1详解】
由题意：.
所以双曲线的方程为：.
【小问2详解】
因为，所以在以为圆心，以为半径的圆上.
由或.
所以或.
【小问3详解】
如图：
因为与不重合，所以直线的斜率不为0，
故可设直线的方程为，，.
因为点在双曲线的左支上，故.
联立得：.
当时，显然直线与双曲线只有一个交点，故，
当时，.
故，，
则，故.
易得，，
则，所以直线的方程为，
，所以直线的方程为：，
故点的横坐标满足：，显然，
由题意得：，，
则，
则.
故点在定直线上.
21. 已知抛物线：和圆：，抛物线的焦点为．
（1）求的圆心到抛物线的准线的距离；
（2）设点在抛物线上，且满足，过点作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形的面积的取值范围；
（3）如图，若直线与抛物线和圆依次交于、、、四点，证明：“”的充要条件是“直线的方程为”．

【答案】（1）4 （2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分别求出圆心和准线方程即可求解.
（2）根据条件可表示出四边形的面积，利用二次函数的单调性可得解.
（3）从充分性和必要性两个方面进行证明即可.
【小问1详解】
由.
所以圆的圆心为.
抛物线：的准线为：.
所以的圆心到抛物线的准线的距离为：4
【小问2详解】
由题意：四边形的面积为：
，
所以当，四边形面积的取值范围为：.
【小问3详解】
先证充分性：若直线的方程为，将分别代入，，
可得，，，.
所以，
所以.
再证必要性：若，则线段与线段的中点重合，
设直线的方程为，，，，，
则，
将代入得：，
所以，.
同理可得：.
所以或.
当时，将其代入得不可能成立；
当时，由得：，，
将代入，得，，
所以或（舍去）.
所以直线的方程为：.
综上可知：“”的充要条件是“直线的方程为”．