四川成都高新实验中学2026届高三下学期3月考试数学试题含答案

这是一份四川成都高新实验中学2026届高三下学期3月考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了答题前，考生务必先将自己的姓名，考试结束后,将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
1、本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.
2、本堂考试 120 分钟, 满分 150 分.
3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用 2B 铅笔填涂.
4、考试结束后,将答题卡交回.
第 1 卷 (选择题部分, 共 58 分)
一、单项选择题: 本题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四 个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数 z 满足 z=i1−i ，则 z 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 M={−2,−1,0,1,2},S=x∈N∣x2−x−6≤0 ,则 M∩S= ( )
A. {0,1,2,3} B. {1,2} C. {0,1,2} D. {−2,−1,0,1,2,3}
3. 已知函数 fx=2x−a,x≥0b−12x,xb>0 的左，右焦点分别为 F1 ， F2 ，点 P 在该椭圆上，若满足 △PF1F2
为直角三角形的点 P 共有 8 个，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A. 22,1 B. 22,1 C. 0,22 D. 0,22
7. 一个半径为 5 米的水轮示意图,水轮的圆心 O 距离水面 2 米,已知水轮自点 A 开始 1 分钟逆时针旋转 9 圈,水轮上的点 P 到水面的距离 y (单位: 米) 与时间 x (单位: 秒) 满足函数关系式 y=Asinωx+φ+2,A>0,ω>0 ,则有( )

A. A=5,ω=3π10 B. A=5,ω=10π3
C. A=3,ω=2π15 D. A=3,ω=15π2
8. fx=sinωx+φω>0,−π0 ,且 x+2y=4 ,则 1+x1+2y 的最大值为_____;
14. 已知曲线 y=mexm≥e 与曲线 y=lnx+nn∈R 有两条公切线,且它们的斜率之积为 1 , 则实数 n 的取值范围为_____,
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知曲线 fx=ex−1ax2+b 在 1,f1 处的切线方程为 y=3x−2 .
(1)求实数 a,b 的值；
(2)求函数 fx 在区间 −1,2 上的值域.
16. 在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 B∈0,π2 且 1tanB+1tanC=3a2bsinBsinC.
(1)求 B ；
( 2 )若 △ABC 的外接圆半径为 R ，周长为 3+6R ，且 a>b ，求 A .
(3)若 b=2 ，求 △ABC 面积的最大值.
17. 如图,四棱锥 P−ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ∠DAB=60∘,PD=AD= 12AB=1,PD⊥ 底面 ABCD .

(1)证明: PA⊥BD ；
(2)求平面 PAB 与平面 PBC 夹角的余弦值；
(3)求点 C 到平面 PAB 的距离.
18. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,an+1=2an+2nn∈N∗,a1=1 .
(1)证明:数列 an2n 为等差数列，并求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 an 的前 n 项和为 Sn ；
(3)若 Sn≤2an−4n−λ 对任意 n∈N∗ 恒成立. 求实数 λ 的取值范围.
19. 已知数列 an 中至少含有 5 项,从该数列中任意取出三项,按从小到大的顺序排列,构成 an 的子列,若该子列中的一项等于该子列中其余项的和,则称该子列为数列 an 的完美子列.
(1)求数列2,3,4,5,6,7的所有完美子列；
(2)将数列 1,2,3,…,n−1,n,n+1,…,4n+2n∈N∗ 的所有完美子列的个数记为 bn , 求数列 bn 的通项公式;
(3)证明:若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列.
1. B
因为 z=i1−i=i1+i1−i1+i=−1+i1−i2=−12+12i ,
所以复数 z 在复平面内对应的点为 −12,12 ,位于第二象限.
2. C
先解一元二次不等式可得集合 S ,再由交集的定义可得.
因为 x2−x−6≤0 ,解得 −2≤x≤3 ,
所以 S=x∈N x2−x−6≤0={x∈N∣−2≤x≤3}={0,1,2,3} ,
所以 M∩S={0,1,2} .
3. C
根据奇函数的性质 f−x=−fx,f0=0 求解即可.
因为函数 fx=2x−a,x≥0b−12x,x1 ;
令 t=xm−1 ,由 lnx−xm−1=0 ,得 lntm−1−t=0 ,即 lntt=m−1 ,
即 lnxx=m−1 有两个正根,
令 gx=lnxx ,则 y=gx 与 y=m−1 有两个不同的交点,
求导得 g′x=1−lnxx2 ,
所以当 0e 时, g′xb2 ,即 c2>a2−c2⇒c2a2>12 ,可得 e>22 .
又椭圆的离心率 ey>0 时,直线 OA:y=x ,由 x2+y−12=1 得 y−1=−1−x2 ,曲线 C 方程等价于 y=−x2+2y ,又等价于 y=−x2−21−x2+2 ,
设函数 gx=x3+2x2+x−4x∈0,1 ,则 g′x=3x2+4x+1>0 ,
即函数 gx 在 0,1 上单调递增,且 g1=1+2+1−4=0 ,
所以当 x∈0,1 时, gx−x2−x+22 ,
则 21−x2>−x2−x+2 ,即 x>−x2−21−x2+2 .
设点 x3,y3 在直线 OA 上,点 x4,y4 在曲线 C 上,则 y3>y4 ,即曲线上的点在直线下方,
由对称可知,当 −10 时,上面的结论依然成立.
故四边形 OABD 在曲线 C 内部,故曲线 C 所围成区域的面积大于 SOABC=12×2×4=4 , D 对. 故选: ABD.

12. 18
先确定百位数字, 再从剩余 3 个数字中选 2 个分别作为十位和个位, 最后用乘法计算总和即可.
根据题意, 该三位数的百位数字不能为 0 , 所以只能从 1, 2, 3 中任取 1 个数字, 有 C31=3 种选择;
而十位数字和个位数字可从剩余的 3 个数字中任选 2 个即可,有 A32=6 种选择,
所以从0,1,2,3中任取 3 个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数为 3×6=18 种选择.
故答案为: 18 .
13. 9
先观察条件等式和所求式子, 由 “和定积最大” 将条件等式变形成两因式之和为定值的形式.
由题意, 1+x+1+2y=6,1+x>1,1+2y>1 ,所以
1+x1+2y≤1+x+1+2y22=9 ,当且仅当 1+x=1+2y⇒x=2y=1 时取 “=”. 即
1+x1+2y 的最大值为 9 .
故答案为: 9
14. (−∞,−1]
根据题意利用导数的几何意义求出切线方程表达式, 令
ℎx=−lnx−1+xlnx+n−1x ,可知 ℎx=lnm 有两个不相等的实数根,且互为倒数,即可得 n=−lnm ,由 m≥e 可求出实数 n 的取值范围.
设 fx=mex,gx=lnx+n ,
由题意得存在实数 x1,x2 使得 fx 在 x=x1 处的切线和 gx 在 x=x2 处的切线重合,
所以 f′x1=g′x2=fx1−gx2x1−x2 ,即 mex1=1x2=mex1−lnx2−nx1−x2 ,
由 1x2=mex1−lnx2−nx1−x2=1x2−lnx2−nx1−x2⇒x1−x2=1−x2lnx2−nx2 ,即 x1=1−x2lnx2−n−1x2 ,
又由 mex1=1x2⇒lnm+x1=−lnx2 ,即 lnm=−lnx2−x1=−lnx2−1+x2lnx2+n−1x2 ,
令 ℎx=−lnx−1+xlnx+n−1x ,则题目转化为 ℎx=lnm 有两个不相等的实数根,且互为倒数,
设两根分别为 t,1t ,
则由 ℎt=ℎ1t 得 −lnt−1+tlnt+n−1t=−ln1t−1+1tln1t+n−11t ,
化简得 lnt=n−11t−tt+1t−2=n−11−t2t2+1−2t=n−11+t1−t ,
所以 lnm=t−1lnt−1+n−1t=n−1−t−1−1+n−1t=−n ,即 n=−lnm ,
因为 m≥e ,所以 n≤−1 ,
故 n 的取值范围为 (−∞,−1] .
故答案为: −∞,−1
15. 1a=1,b=0
(2) 0,4e
(1) 结合切线的点与斜率,联立函数值与导数值的方程求解 a,b ;
(2)求导分析函数单调性, 计算区间内关键点的函数值, 确定值域.
(1) 由切线方程 y=3x−2 ,得 f1=3×1−2=1 .
fx=ex−1ax2+b ,故 f1=a+b=1 .
求导得 f′x=ex−1ax2+2ax+b ,切线斜率为 3,故 f′1=3a+b=3 .
联立 a+b=13a+b=3 ,解得 a=1,b=0 .
(2)由(1)得 fx=x2ex−1 ，求导得 f′x=xx+2ex−1 .
在 −1,2 上, ex−1>0,x+2>0 ,
故: x∈[−1,0) 时, f′x0,fx 单调递增.
f−1=−12e−2=1e2, f0=0, f2=22e1=4e.
故 fx 在 −1,2 上的值域为 0,4e .
16. 1B=π3
(2) A=7π12
(3) 3
(1) 由切化弦及和角正弦公式得 sinA=3a2b ,再利用正弦定理化简求解.
(2)利用正弦定理边化角求得 sinA+sinC=62 ,再利用三角恒等变换求解.
(3)利用余弦定理，结合基本不等式求出 ac 的最大值，进而求出面积最大值.
(1)在 △ABC 中， 1tanB+1tanC=sinCcsB+sinBcsCsinBsinC=sinB+CsinBsinC=sinAsinBsinC ， 依题意, sinAsinBsinC=3a2bsinBsinC ,由正弦定理得 sinA=3a2b=3sinA2sinB . 而 sinA≠0 ,则 sinB=32 ,又 B∈0,π2 ,所以 B=π3 .
(2) △ABC 的外接圆半径为 R ，由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC ， 由 a+b+c=3+6R ,得 sinA+sinB+sinC=3+62 ,而 sinB=32 , 于是 62=sinA+sinC=sinA+sin2π3−A=32sinA+32csA=3sinA+π6 , 则 sinA+π6=22 ,由 a>b ,得 A∈π3,2π3 ,因此 A+π6=3π4 ,所以 A=7π12 .
(3)由余弦定理得 4=b2=a2+c2−2accsπ3≥2ac−ac=ac ，当且仅当 a=c=2 时取等号，
△ABC 的面积 S=12acsinB=34ac≤3 ,
所以 △ABC 面积的最大值为 3 .
17. (1) 因为 PD=AD=12AB=1 ，所以 PD=AD=1 ， AB=2 ，
又 ∠DAB=60∘ ，所以在 △ADB 中，由余弦定理，得 DB2=4+1−2×2×1×cs60∘=3 ，即 DB=3 ,
所以 AD2+DB2=AB2 ,则 BD⊥AD ,
又 PD⊥ 底面 ABCD,BD⊂ 平面 ABCD ,所以 PD⊥BD ,
又 AD∩PD=D,AD,PD⊂ 平面 PAD ,所以 BD⊥ 平面 PAD ,
又 PA⊂ 平面 PAD ,所以 PA⊥BD .
(2)因为 PD⊥ 底面 ABCD,AD⊂ 平面 ABCD ，所以 PD⊥AD ，
结合(1)可知 DP,DA,DB 两两垂直.
故以 D 为坐标原点, DA,DB,DP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,

所以 P0,0,1,A1,0,0,B0,3,0,C−1,3,0 ,
所以 PB=0,3,−1,PA=1,0,−1,PC=−1,3,−1 ,
设平面 PAB 的法向量为 n=x1,y1,z1 ,
则 PB⋅n=3y1−z1=0PA⋅n=x1−z1=0 ,取 x1=3 ,则平面 PAB 的一个法向量为 n=3,1,3 ,
设平面 PBC 的法向量为 m=x2,y2,z2 ,
则 PB⋅m=3y2−z2=0PC⋅m=−x2+3y2−z2=0 ,取 y2=1 ,则平面 PBC 的一个法向量为 m=0,1,3 ,
所以 csn,m=n⋅mnm=47×2=277 ,
故平面 PAB 与平面 PBC 夹角的余弦值为 277 .
(3)由(2)知平面 PAB 的一个法向量 n=3,1,3,PC=−1,3,−1 ， 所以点 C 到平面 PAB 的距离 d=PC⋅nn=37=217 .
18.(1) 由 an+1=2an+2n ,则 an+12n+1=an2n+12⇒an+12n+1−an2n=12 ,又 a12=12 ,
所以数列 an2n 是首项、公差均为 12 的等差数列,则 an2n=12+12n−1=n2 ,
所以 an=n⋅2n−1 .
(2)由 Sn=1×20+2×21+3×22+⋯+n⋅2n−1 ，则
2Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n−1⋅2n−1+n⋅2n ,
所以 −Sn=1+21+⋯+2n−1−n⋅2n=1−2n1−2−n⋅2n=1−n2n−1 ,
所以 Sn=n−12n+1 .
(3)由(1)(2)，则 n−12n+1≤n⋅2n−4n−λ ，整理得 λ≤2n−4n−1 恒成立，
令 cn=2n−4n−1 ,则 cn+1−cn=2n+1−4n+1−1−2n−4n−1=2n−4 ,
当 n=1 时 cn+1cn ,
所以 c1>c2=c3m ,
则 0ar ,则 aq≥2ap>ap+ar=ar−ap ,
若 apap+ar=ar−ap ,
所以等式 aq=ar−ap 不可能成立;
同理两负一正的情况也不成立。所以 an 不存在完美子列.
综上, 若一个等比数列的公比为整数, 则该数列不存在完美子列.