上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题含答案

这是一份上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合 M={x∣x+2≥0},N={x∣x−10 ,且 a3+a1a5=6,a6=16 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)若数列 bn 满足 bn=λ⋅3n−an ，且 bn 是严格增数列，求实数 λ 的取值范围.
18. 在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，底面 ABC 是正三角形， A1A⊥BC ， A1C⊥AB .

(1)求证: A1A=A1B=A1C ；
(2)若 ∠A1AB=∠A1AC=45∘ ，且 AB=2 ，求直线 AC1 与平面 AA1B1 ，所以角的余弦值.
19. 人工智能广泛地运用概率的相关知识, 我们可以设计如下试验模型; 有完全相同的甲、 乙两个袋子, 袋子中有形状和大小完全相同的小球, 其中甲袋中有 9 个红球和 1 个白球, 乙袋中有 2 个红球和 8 个白球.从这两个袋子中选择一个袋子, 再从该袋子中等可能摸出一个球, 称为一次试验.若多次试验直到摸出红球, 则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 12 .
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整.
①来选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案:方案一， 从原来袋子中摸球; 方案二, 从另外一个袋子中摸球.请通过计算, 说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
20. 我们约定, 如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴, 则称它们互为“姊妹”圆锥曲线. 已知椭圆 C1:x24+y2b2=10518 ,所以方案二中取到红球的概率更大.
20. 1x24−y2=1 ;
(2)是, −13 ;
(3) −34,−1136∪1336,54
: (1) 根据题目条件列出方程,求出 b2 ,得到双曲线方程;
(2)设出直线方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理求出 kAM 与 kBN 的比值；
(3)求出 kAM 与 kBN 的范围，结合函数单调性求取值范围.
(1) 由题意可设双曲线 C2:x24−y2b2=1 ,
则 e1e2=4−b22×4+b22=154 ,
解得 b2=1 ,所以双曲线 C2 的方程为 x24−y2=1 .
(2)设 Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，直线 AB 的方程为 x=ty+4 ，
由 x=ty+4x24−y2=1 得 t2−4y2+8ty+12=0 ,
则 t≠±2,Δ=16t2+192>0 ,且 y1+y2=−8tt2−4y1y2=12t2−4 ,
=ty1+y2ty1−y2=ty1+y2ty1−y2=ty1x1+2×x2−2ty2=ty1ty2+2y2ty1+6=ty1y2+2y1ty1y2+6y2
=ty1y2+2y1+y2−2y2ty1y2+6y2=12tt2−4−16tt2−4−2y212tt2−4+6y2=−4tt2−4−2y212tt2−4+6y2=−13;
(或由韦达定理得 y1+y2y1y2=−2t3 ,即 ty1y2=−32y1+y2 ,
所以 kAMkBN=y1x1+2y2x2−2=y1x1+2×x2−2y2=y1ty2+2y2ty1+6=ty1y2+2y1ty1y2+6y2
=−32y1+y2+2y1−32y1+y2+6y2=y1−3y2−3y1+9y2=−13 )
即 kAM 与 kBN 的比值为定值 −13 .

(3)设直线 AM:y=kx+2 ，
由 y=kx+2x24−y2=1 得 1−4k2x2−16k2x−16k2−4=01−4k2≠0 ,
由于点 M 为双曲线的左顶点,所以此方程有一根为 -2,
由韦达定理得 −2xA=−16k2−41−4k2 ,解得 xA=24k2+11−4k2 .
因为点 A 在双曲线的右支上,所以 xA=24k2+11−4k2>0 ,
解得 k∈−12,12 ,即 kAM∈−12,12 ,
同理可得 kBN∈−∞,−12∪12,+∞ ,
由(2)中结论得 kBN=−3kAM∈−∞,−12∪12,+∞ ,
得 kAM∈−∞,−16∪16,+∞ ,所以 kAM∈−12,−16∪16,12 ,
故 w=kAM2+23kBN=kAM2+23−3kAM=kAM2−2kAM ,
设 ℎx=x2−2x ,其图象对称轴为 x=1 ,
则 ℎx=x2−2x 在 −12,−16 和 16,12 上严格减,
故 ℎx∈−34,−1136∪1336,54 ,
故 w=kAM2+23kBN 的取值范围为 −34,−1136∪1336,54 .
21. (1) fx=x+1x, x∈−2026,0 ,
由对勾函数性质,当 x∈−2026,−1 时, fx 严格单调递增,在 −1,0 上严格单调递减,
当 x0∈(−2026,−1] 时,若 x