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上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题
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这是一份上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题，共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知i为虚数单位，复数，则的实部为________．
2．若函数为偶函数，则实________．
3．若事件、发生的概率分别为，，且相互独立，则________．
4．已知集合，，则________．
5．设是等比数列，且，，则________．
6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积与直径的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为________．
7．已知随机变量的分布为，且，若，则实数________．
8．记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为________．
9．若的展开式中含项的系数为60，则的最小值为________．
10．顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为____cm．（精确到0.1cm）
11．已知中，，边上的高与边上的中线相等，则________．
12．给定公差为的无穷等差数列，若存在无穷数列满足：
①对任意正整数，都有
②在，，…，中至少有1012个为正数，则的取值范围是________．
二、单选题（本大题共4小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
13．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ）
A．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌
B．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的
C．两种证券的收益有同向变动的倾向
D．两种证券的收益有反向变动的倾向
15．设，若向量、、满足，且，则满足条件的的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．设，，，分别是四棱锥侧棱，，，上的点．给出以下两个命题，①若是平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形；②若不是平行四边形，则可能是平行四边形．（ ）
A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分．）
17．（本小题14.0分）如图，在圆柱中，底面直径等于母线，点在底面的圆周上，且，是垂足．
（1）求证：；
（2）若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小．
18．（本小题14.0分）李先生是一名上班旋，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：
（1）求出这40个通勤记录的中们数，并完成下列列联表：
（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．
附：，．
19．（本小题14.0分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放，已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元。
（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；
（2）问当的长为多少时，能使总造价最小．
20．（本小题18.0分）已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若为椭圆上一点，且满足，求的值；
（2）过的直线交椭圆于、两点，求的取值范围；
（3）已知，抛物线以焦点，任取上一点，设直线、与抛物线的另一个交点分别为点和（、均存在且不重合），证明直线过定点，并求出此定点坐标．
超过
不超过
上班时间
下班时间
21．（本小题18.0分）若坐标平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲线”，正方形为曲线的一个“切立方”．
（1）试写出圆的一个切立方的四条边所在直线的方程；
（2）已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，求双曲线的离心率的取值范围；
（3）设函数的图像为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知中，，边上的高与边上的中线相等，则_____．
【答案】
【解析】如图所示,设边上的高为边上的中线为,在Rt中,
所以,
由,平方可得
又则有
化简得,解得,
又因为,所以,所以.故答案为:.
二、选择题
13.B 14.C 15. B 16.C
15．设，若向量、、满足，且，则满足条件的的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由于,则,两边平方得:,
由于,则,
由于,则,由于,则,故选：B.
16．设，，，分别是四棱锥侧棱，，，上的点．给出以下两个命题，①若是平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形；②若不是平行四边形，则可能是平行四边形．（ ）
A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假
【答案】C
【解析】对于②，考虑一个正四棱锥，然后再他的侧棱的延长线上可以画出一个梯形，具体做法是:取,则四棱锥为正四棱锥,
然后令,;
那么,此时是梯形,但不是平行四边形,
对于①,如图,四边形为平行四边形,也为平行四边形,
若平面与面不平行,则四边形中必有一边与底面相交,
不妨设直线与底面相交,则直线也与底面相交,
在平面中过做的平行线,交与,则,
因平面平面,故平面,即平面,
而平面平面,故,而,
故相交,这与为平行四边形矛盾,
故平面平面,故
若四边形为菱形,则,则,
故四边形为菱形,故①错误.故选：.
三．解答题
17.（1）证明略 （2）
18.【答案】（1）如下： （2）没有
【解析】（1），填表
（2）假设上下班的通勤时间没有显著差异，
由，则，
不能拒绝原假设，所以，上下班的通勤时间没有显著差异。
19.【答案】（1） （2）
【解析】（1）过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，
在Rt中,，则，
在中，，则，由题意易得，
所以,
(2)解:,
令,得,又,所以,所以当时,
单调递减;当时,单调递增.
所以当时,总造价最小,最小值为,此时,
所以当米时,能使总造价最小.
20．已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若为椭圆上一点，且满足，求的值；
（2）过的直线交椭圆于、两点，求的取值范围；
（3）已知，抛物线以焦点，任取上一点，设直线、与抛物线的另一个交点分别为点和（、均存在且不重合），证明直线过定点，并求出此定点坐标．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】(1)由题得,,设,得,因而由得；
(2)设直线为与椭圆交于两点,不存在时为长轴,
存在时
,
综上
（3）抛物线方程。设,设直线联立韦达定理可得.
直线与抛物线联立韦达定理,可得,
所以,代回抛物线方程有.
设定点,因为共线,所以,
去分母整理：,
上式对任意恒成立,观察左右常数项可得:,
观察最高次项可得：，联立两式解得,.
代入检验,发现等式化简为恒成立.因此直线过定点.
21．（本小题18.0分）若坐标平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲线”，正方形为曲线的一个“切立方”．
（1）试写出圆的一个切立方的四条边所在直线的方程；
（2）已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，求双曲线的离心率的取值范围；
（3）设函数的图像为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由．
【解析】(1)(答案不唯一)
(2)由图像可知
可得,所以
(3)设一个切点为,
则过该点的一条切线方程为
正方形的另一条边所在直线为
设第三个切点为,则另两条切线为
若存在正方形,即由此可设,
代入消元可得，设,
由根的存在性定理可知在上有解,因此曲线.存在切立方.(存在性可由函数图像大致看出,并且也可大致看出为正方形时切点离极值点较近，因此对1.9左右进行赋值超过
不超过
上班时间
8
12
下班时间
7
13
1．已知i为虚数单位，复数，则的实部为________．
2．若函数为偶函数，则实________．
3．若事件、发生的概率分别为，，且相互独立，则________．
4．已知集合，，则________．
5．设是等比数列，且，，则________．
6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积与直径的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为________．
7．已知随机变量的分布为，且，若，则实数________．
8．记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为________．
9．若的展开式中含项的系数为60，则的最小值为________．
10．顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为____cm．（精确到0.1cm）
11．已知中，，边上的高与边上的中线相等，则________．
12．给定公差为的无穷等差数列，若存在无穷数列满足：
①对任意正整数，都有
②在，，…，中至少有1012个为正数，则的取值范围是________．
二、单选题（本大题共4小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
13．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ）
A．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌
B．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的
C．两种证券的收益有同向变动的倾向
D．两种证券的收益有反向变动的倾向
15．设，若向量、、满足，且，则满足条件的的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．设，，，分别是四棱锥侧棱，，，上的点．给出以下两个命题，①若是平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形；②若不是平行四边形，则可能是平行四边形．（ ）
A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分．）
17．（本小题14.0分）如图，在圆柱中，底面直径等于母线，点在底面的圆周上，且，是垂足．
（1）求证：；
（2）若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小．
18．（本小题14.0分）李先生是一名上班旋，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：
（1）求出这40个通勤记录的中们数，并完成下列列联表：
（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．
附：，．
19．（本小题14.0分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放，已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元。
（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；
（2）问当的长为多少时，能使总造价最小．
20．（本小题18.0分）已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若为椭圆上一点，且满足，求的值；
（2）过的直线交椭圆于、两点，求的取值范围；
（3）已知，抛物线以焦点，任取上一点，设直线、与抛物线的另一个交点分别为点和（、均存在且不重合），证明直线过定点，并求出此定点坐标．
超过
不超过
上班时间
下班时间
21．（本小题18.0分）若坐标平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲线”，正方形为曲线的一个“切立方”．
（1）试写出圆的一个切立方的四条边所在直线的方程；
（2）已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，求双曲线的离心率的取值范围；
（3）设函数的图像为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知中，，边上的高与边上的中线相等，则_____．
【答案】
【解析】如图所示,设边上的高为边上的中线为,在Rt中,
所以,
由,平方可得
又则有
化简得,解得,
又因为,所以,所以.故答案为:.
二、选择题
13.B 14.C 15. B 16.C
15．设，若向量、、满足，且，则满足条件的的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由于,则,两边平方得:,
由于,则,
由于,则,由于,则,故选：B.
16．设，，，分别是四棱锥侧棱，，，上的点．给出以下两个命题，①若是平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形；②若不是平行四边形，则可能是平行四边形．（ ）
A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假
【答案】C
【解析】对于②，考虑一个正四棱锥，然后再他的侧棱的延长线上可以画出一个梯形，具体做法是:取,则四棱锥为正四棱锥,
然后令,;
那么,此时是梯形,但不是平行四边形,
对于①,如图,四边形为平行四边形,也为平行四边形,
若平面与面不平行,则四边形中必有一边与底面相交,
不妨设直线与底面相交,则直线也与底面相交,
在平面中过做的平行线,交与,则,
因平面平面,故平面,即平面,
而平面平面,故,而,
故相交,这与为平行四边形矛盾,
故平面平面,故
若四边形为菱形,则,则,
故四边形为菱形,故①错误.故选：.
三．解答题
17.（1）证明略 （2）
18.【答案】（1）如下： （2）没有
【解析】（1），填表
（2）假设上下班的通勤时间没有显著差异，
由，则，
不能拒绝原假设，所以，上下班的通勤时间没有显著差异。
19.【答案】（1） （2）
【解析】（1）过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，
在Rt中,，则，
在中，，则，由题意易得，
所以,
(2)解:,
令,得,又,所以,所以当时,
单调递减;当时,单调递增.
所以当时,总造价最小,最小值为,此时,
所以当米时,能使总造价最小.
20．已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若为椭圆上一点，且满足，求的值；
（2）过的直线交椭圆于、两点，求的取值范围；
（3）已知，抛物线以焦点，任取上一点，设直线、与抛物线的另一个交点分别为点和（、均存在且不重合），证明直线过定点，并求出此定点坐标．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】(1)由题得,,设,得,因而由得；
(2)设直线为与椭圆交于两点,不存在时为长轴,
存在时
,
综上
（3）抛物线方程。设,设直线联立韦达定理可得.
直线与抛物线联立韦达定理,可得,
所以,代回抛物线方程有.
设定点,因为共线,所以,
去分母整理：,
上式对任意恒成立,观察左右常数项可得:,
观察最高次项可得：，联立两式解得,.
代入检验,发现等式化简为恒成立.因此直线过定点.
21．（本小题18.0分）若坐标平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲线”，正方形为曲线的一个“切立方”．
（1）试写出圆的一个切立方的四条边所在直线的方程；
（2）已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，求双曲线的离心率的取值范围；
（3）设函数的图像为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由．
【解析】(1)(答案不唯一)
(2)由图像可知
可得,所以
(3)设一个切点为,
则过该点的一条切线方程为
正方形的另一条边所在直线为
设第三个切点为,则另两条切线为
若存在正方形,即由此可设,
代入消元可得，设,
由根的存在性定理可知在上有解,因此曲线.存在切立方.(存在性可由函数图像大致看出,并且也可大致看出为正方形时切点离极值点较近，因此对1.9左右进行赋值超过
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上班时间
8
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