广西钦州市第四中学高一下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广西钦州市第四中学高一下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 把函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y=sin(x+)的图象，则f(x)为（ ）
A. sin(x+)B. sin(x+)
C. sin(x+)D. sin(x-)
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知即为向左平移个单位，由图象平移即可求出.
【详解】向右平移个单位后得到，则即为向左平移个单位，即．
故选：C
2. 已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先通过三角恒等变换将化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可．
【详解】函数化简得，
由，
可得函数的对称轴为，
由题意知，且，
即，，若使该不等式组有解，
则需满足，即，又，
故，即，所以，又，
所以或，所以．
3. 已知函数(，)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数.关于函数给出下列命题：
①函数的图象关于直线轴对称；
②函数的图象关于点中心对称；
③函数在上单调递减；
④把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，然后再将所得的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.
其中真命题共有（ ）个
A. 1B. 3C. 0D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据相邻对称轴之间的距离可以求得周期，以及函数是偶函数可以求得三角函数的解析式，然后利用三角函数的性质以及三角函数的平移规则对选项逐一判断即可.
【详解】因为函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，解得，
因为，所以，则，
，
因为函数是偶函数，
所以，，
因为，所以，
所以函数，
令，，
所以，，故①正确；
因为，，
可知函数图象的对称点为，，当时，对称点为，故②正确；
令，，解得，，
当时，，所以函数在上单调递减，故③正确；
把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，解析式变为，
然后再将图象向左平移个单位长度后，解析式变为，得不到函数的图象，故④错误.
综上，①②③是真命题.
故选：B.
4. 函数的图像最近两对称轴之间的距离为，若该函数图像关于点成中心对称，当时m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相邻对称轴之间的距离为正弦型函数的半个周期，求得的值，得到函数的解析式，进而利用正弦函数的性质求得所有对称中心的坐标，根据题中的取值范围求解得到的值.
【详解】的最小正周期,，
所以，
令,则,
函数f(x)的对称轴心为,,
所以，
当时,解得：,
又,
故选：D.
【点睛】本题考查正弦型函数的性质，关键是根据对称轴间的距离为半周期，利用整体代换法求得正弦型函数的所有对称中心的坐标.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】由同角三角函数的基本关系可得，
因此，.
故选：D.
6. 已知扇形圆心角为150°，其弧长为，则这个扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据弧长求出半径，再由扇形的面积公式求出答案.
【详解】设扇形的半径为，扇形的圆心角为150°，即
所以弧长为，则
这个扇形的面积为
故选：B
7. 为使函数在区间上至少出现100次最大值，则的最小整数值是（ ）
A. 616B. 624C. 627D. 629
【答案】B
【解析】
【分析】
根据诱导公式化简函数解析式，利用一个周期内只有一个最大值，即可求解.
【详解】由知，
在区间上至少出现100次最大值，需要最少有个周期，
所以，
解得，
故的最小整数值是624.
故选：B
8. 如图，点、、是圆上的点，且，，则劣弧的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出以及圆的半径，利用扇形的弧长公式可求得劣弧的长.
【详解】连接、，如下图所示：
由圆的几何性质可得，又，所以，为等边三角形，
所以圆的半径为，因此，劣弧的长为.
故选：A.
二、多选题（共3小题，共18分.每小题6分，在每小题给出的四个选项里，只有一个符合题目要求，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有（ ）
A. h关于t的函数解析式为
B. 点P第一次到达最高点需用时5秒
C. P再次接触水面需用时10秒
D. 当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【详解】函数中，所以，
时，，解得，因为，所以，
所以，A正确；
令得，则，解得，
所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确；
由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确；
当时，，点P距水面的高度为2米，D错误．
故选：ABC
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 1是的周期
B. 的定义域为
C.
D. 的图象关于点对称
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正切函数的周期公式判断A；根据正切函数的定义域判断B；根据正切函数的单调性判断C；根据正切函数的对性判断D.
【详解】正切函数的周期为，选项A正确；
正切函数无定义时，，，解得： ，因此定义域为，选项B不正确；
因为，
，
因为在上递增，，
所以，即，选项C不正确；
令，求得，，可得的对称中心是，，当时，可得的对称中心是，故D正确；
故选：AD.
11. 信阳是中国十佳宜居城市之一，气候宜人，环境优美.如图是信阳市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 该函数周期是
B. 该函数的解析式是，
C. 该函数图象的对称中心是
D. 该函数图象的对称轴是直线
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据图象得出该函数的周期，可判断A选项的正误；结合图象求出该函数的解析式，可判断B选项的正误；再求函数的对称中心判断C，求函数的对称轴判断D.
【详解】对于A选项，由图象可知，该函数的最小正周期为，A选项正确；
对于B选项，由图象可得，解得，
，
图象经过点，
，
.
，，则，，
所以，函数解析式为，，B选项正确；
对于C选项，令，，可得，，
所以函数图象的对称中心为，C选项错误；
对于D选项，令，，可得，，
所以函数图象的对称轴是直线，故D选项正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 函数 (其中)的最大值是3，对称轴方程是，要使函数的解析式为，还应给出的一个条件是_____．(填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)
【答案】周期(答案不唯一)
【解析】
【分析】由周期，则，又由对称轴方程是,则得，本题可解．
【详解】若给出条件：周期，则，此时．
由对称轴方程是,则．
取，得．
此时，符合题意．
故答案:周期.(答案不唯一)
13. 已知函数和的图象相邻的两个交点为A，B，若，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可.
【详解】作出两个函数的图象如图，则由对称性设，且，
即为等腰三角形，，且，
取AC中点M，连接BM，
则，，
由，得，
得，得，得，
则，
即A点纵坐标为1，，，
因为，所以，解得，
即，解得，所以的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知函数，则的值域是________．
【答案】
【解析】
【详解】当时，；
当时，；
考查一个周期内三角函数性质：
当时，；
当时，，
绘制函数在内的图象如图(实线)所示，
观察可得，函数的值域为.
四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知角的终边落在直线上，求，，的值．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】在角终边上取点，然后利用三角函数的定义求解.
【详解】因为角的终边落在直线上，而直线即过第二象限也过第四象限，
当角的终边在第二象限时，在直线上取一点，
则，
当角的终边在第四象限时，在直线上取一点，
则.
16. 已知函数的图象关于直线对称．其最小正周期与函数相同．
（1）求的对称中心，
（2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值；
（3）设函数，证明：有且只有一个零点，且．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据正切函数图像特征得出函数的周期，进而根据正弦型函数对称性求解即可.
（2）根据正弦型函数图象结构特征进行推理即可.
（3）将函数零点问题转化成方程问题，然后对进行合理地分类讨论.
【小问1详解】
因为函数的周期为，所以由题，所以，
又由图象关于直线对称，所以，即，所以，
所以，令，，
所以的对称中心为.
【小问2详解】
当时，令，解得，
所以由图象特征可知，
若函数在上恰有8个零点，的最小值应为：
首尾均应是零点，
则的最小值为，
【小问3详解】
由（1）可得，定义域为，
①当时，函数在上单调递增，
因为，
所以，根据零点存在定理，使得，
故在上有且只有一个零点.
②当时，因为单调递增，单调递减，
，，所以，
所以在上不存在零点；
③当时, 因为单调递增，，因为
所以，所以在上不存在零点；
综上：有且只有一个零点，且.
因为，
所以，
所以，
在上单调递减，
，所以.
【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角函数型函数的图像特征，运用数形结合思想方法是灵活解决本题的关键.
17. 设函数（A，ω，φ是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，试画图找出的最小正周期．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数在区间上具有单调性可得，再根据可知其图象的一条对称轴为，和其相邻的一个对称中心为，进而可得最小正周期.
【详解】设的最小正周期为，
因为在区间上具有单调性，
所以，解得，
由，且，
可得函数关于直线对称；
由，且在区间上具有单调性，
可得函数的一个对称中心为，即其图象关于成中心对称；
如图所示：

则，解得，
所以最小正周期为.
18. 已知函数的最小正周期为,且.
（1）求函数的解析式并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合；
（2）求函数,的单调递减区间.
【答案】（1）
当取得最小值时,的取值集合为
当取得最大值时,的取值集合为
（2）和
【解析】
【分析】(1)根据正弦型函数的最小正周期公式，代入运算得结合,求得从而可得再根据正弦型函数的最值性质即可求解.
(2)由(1)得根据正弦型函数的单调性性质即可求解.
【小问1详解】
的最小正周期为,又
当即时,取得最小值
此时的取值集合为
当即时,取得最大值
此时的取值集合为
【小问2详解】
依题意
若单调递减,则
即
令得其单调递减区间为和
19. 时钟的分针长5cm，从到，分针转过的角是多少弧度？分针扫过的扇形面积是多少？分针尖端所走过的弧长是多少？（取3.14，计算结果精确到0.01）
【答案】；；
【解析】
【分析】根据题意求得分针转过的弧度，再利用扇形面积公式与弧长公式即可得解.
【详解】时钟的分针从到，分针转过的角的弧度是，
所以分针扫过的扇形面积
分针尖端所走过的弧长是.