广西钦州市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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考试模块：必修第二册
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：北师大版必修第二册第一章~第四章第1节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量的加法和减法运算求解.
【详解】解：，
，
故选：A
2. 已知扇形的半径为3，面积为则该扇形的圆心角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，列出方程，即可求解.
【详解】设扇形的圆心角为，
因为扇形的半径为，面积为，可得，解得.
故选：C．
3. 在中，，则（ ）
A. 4B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求角B，然后由正弦定理可得.
【详解】因为，所以，
由正弦定理得，解得.
故选：C
4. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正切函数的单调性解不等式即得.
【详解】依题意，得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
5. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用在上的投影向量的定义求解.
【详解】因为，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选：D．
6. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的图象，求得，得到，再由点在图象上，求得，得到，结合三角函数的图象变换，即可求解.
【详解】由函数的图象，可得，
则，所以，则，
因为点在图象上，所以，
则，即，
又因为，则，所以，
将函数图象上所有点向左平移个单位长度，
得到.
故选：D．
7. 设的内角的对边分别为若的周长为则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由及正弦定理得化简结合余弦定理即可求解.
【详解】由题意可知,
由正弦定理得
即整理得
由余弦定理得
又所以
故选：A．
8. 已知内有一点满足，则向量与的夹角为（ ）
A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角
【答案】B
【解析】
【分析】把条件转化为，再根据向量的运算法则逐步计算即可求解.
【详解】由条件得，则，
所以，
所以，
则，即，
所以，则，
所以向量与的夹角为．
故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 是偶函数
C. 的图象关于直线对称D. 在区间上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，结合正弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，因为，可得，所以A错误；
对于B中，由是偶函数，所以B正确；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，可得，
因为在不单调，所以D错误．
故选：BC．
10. 某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔的示意图，其中与地面垂直，从地面上点看塔顶的仰角为沿直线向外前进米到点处，此时看塔顶的仰角为根据以上数据得到塔高为米，则（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正弦定理，选择合适的三角形进行求解即可求解出答案.
【详解】对于A，在中，由正弦定理得所以米，故A错误；
对于B，在中米，故B正确；
对于C，在中，由正弦定理得，所以米，故C正确；
对于D，在中，米，所以米，故D正确．
故选：BCD．
11. 已知是平面内两两不共线的向量，且则（ ）
A. B.
C. D. 当时，与夹角为锐角
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，两边平方得到，A正确；B选项，两边平方得，得到B错误；C选项，根据平行向量的几何意义得到，C正确；D选项，根据题意得到不等式，得到答案.
【详解】A选项，由两边平方，得所以
所以，A正确；
B选项，由得所以
所以所以．B错误；
C选项，由不共线可得，故
所以，C正确；
D选项，因为是两个不共线的向量，所以不共线，要使与的夹角为锐角，
则即
所以D正确．
故选：ACD．
【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用诱导公式求解.
【详解】解：因为，
所以．
故答案为：
13. 在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积定义结合余弦定理求出，再由余弦定理求得，然后建立平面直角坐标系，利用坐标计算可得.
【详解】记与交于点O，，
由题知，①，
在中，由余弦定理有②，
联立①②解得，
所以，
因为，所以.
所以，
以O为原点，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，
所以，
所以.
故答案为：
14. 在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理和余弦定理得到，再由外接圆半径，由基本不等式得到，由三角形面积公式求出答案.
【详解】在中，
由正弦定理得由余弦定理得
因为为的内角，则，所以
因为的外接圆的半径为由正弦定理得
所以由余弦定理得
即
因为所以当且仅当时取等号，
故的面积所以面积的最大值为
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点.
（1）求的值；
（2）求值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据三角函数定义求得，然后弦切互化即可求解；
（2）先用诱导公式化简式子，再利用三角函数定义求出，代入即可得解.
【小问1详解】
根据三角函数的定义，得，
所以.
【小问2详解】
原式，
又，
故原式.
16. 已知向量．
（1）若，求实数的值；
（2）若向量满足且，求向量的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据的坐标，得到的坐标，再由求解；
（2）设，由，求解．
【小问1详解】
解：由，
得，
所以，
由，得，
解得．
【小问2详解】
设，
所以，
，
由，得，
所以，①
由，得，所以，则，②
由①②得，
故．
17. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，余弦定理边化角，利用同角三角函数的商数关系化简，再由正弦定理边化角，得，可得角的大小；
（2）由的面积求出，再由余弦定理求出，可得的周长.
【小问1详解】
中，由，得，
由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，
，，得，
，则.
【小问2详解】
若的面积为，则，得，
，由余弦定理，得，
解得，
周长为.
18. 如图，在梯形中，，，，点分别为线段，上的三等分点，点是线段上的一点.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值.
【答案】（1）16 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算，结合模长公式即可求解，
（2）根据模长公式即可求解，
（3）根据三点共线共线即可求解.
【小问1详解】
设，，
，
，即．
【小问2详解】
，
．
【小问3详解】
连接三点共线，，
为的中点，
．
设，则．
设．
在中，，
，
解得，
．
19. 对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系
（1）若判断与是否具有关系并说明理由；
（2）若与具有关系求实数的取值范围；
（3）已知为定义在上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意有
判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）与具有关系，理由见解析
（2）
（3）不具有关系，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，结合函数的新定义，即可求解；
（2）根据题意，利用三角函数的性质，分给求得的值域，即可求解；
（3）根据题意，利用三角函数的对称性和三角函数的值域，得到不存在使得，即可得到答案.
【小问1详解】
解：函数与具有关系.
理由如下：
当时；当时，；
当时，；当时，，
此时，所以函数与具有关系.
【小问2详解】
解：由函数，
且，
因为，当时，，所以，
所以，所以，即实数的取值范围为.
【小问3详解】
解：不具有关系.
理由如下：
因为在上，当且仅当时，取得最大值1，
且为定义在上的奇函数，
所以在上，当且仅当时，取得最小值－1，
由对任意有，可得关于点对称，
又，故周期为，
故的值域为，，
当时，，时，，
若，即，此时有；
当时，时，；
若，则时，有，
因为，所以，
所以不存在使得，
故与不具有关系
【点睛】方法点拨：与函数的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解.