2023-2024学年广西钦州市高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西钦州市高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简ME+EN−PN=( )
A. MPB. MNC. NMD. PM
2.已知扇形的半径为3，面积为3π2，则该扇形的圆心角的大小为( )
A. π6B. π4C. π3D. 3π4
3.在△ABC中，A=120°,C=15°,AC= 6，则BC=( )
A. 4B. 2 3C. 3D. 2 2
4.不等式tan(x+π3)<1的解集为( )
A. (−5π6+kπ,−π12+kπ)(k∈Z)B. (−5π6+2kπ,−π12+2kπ)(k∈Z)
C. (−π2+kπ,−π4+kπ)(k∈Z)D. (−π2+2kπ,−π4+2kπ)(k∈Z)
5.已知向量a=(−1,1),b=(2,3)，则b在a上的投影向量的坐标为( )
A. (12,12)B. (12,−12)C. (−12,−12)D. (−12,12)
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则( )
A. g(x)=sin2x
B. g(x)=2sin(2x−π6)
C. g(x)=2sin2x
D. g(x)=2sin(2x+π6)
7.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的周长为asinBsinA+sinB−sinC，则( )
A. C=2π3B. B=2π3C. C=π3D. B=π3
8.已知△ABC内有一点O满足OA2−OB2=AC2−BC2，则向量OC与AB的夹角为( )
A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=cs(2x+π6)，则( )
A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x−π12)是偶函数
C. f(x)的图象关于直线x=5π12对称D. f(x)在区间[π4,5π6]上单调递增
10.某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔AB的示意图，其中AB与地面垂直，从地面上C点看塔顶A的仰角为β，沿直线BC向外前进a米到点D处，此时看塔顶A的仰角为α，根据以上数据得到塔高为h米，则( )
A. AC=sinαsin(β−α)米B. h=asinαsinβsin(β−α)米
C. AD=asinβsin(β−α)米D. BD=a[1+sinαcsβsin(β−α)]米
11.已知a,b,c是平面内两两不共线的向量，且|a+c|=|2a−b|=|a|，则( )
A. c⊥(c+2a)
B. (2a−b)⊥(a−b)
C. |a||a−b|>12
D. 当λ<−12时，c与a−λc的夹角为锐角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知cs(π2−x)=− 33，则sin(π+x)= ______．
13.在边长为2的菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，AM⋅AB=5，则AM⋅AN= ______．
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A−sin2B+sin2C=sinAsinC，且△ABC的外接圆的半径为2 3，则△ABC面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知角α以x轴的非负半轴为始边，P( 2,−1)为终边上一点．
(1)求2sinα+csα2sinα−csα的值；
(2)求sin(π−α)cs(α−2π)tan(π−α)sin(5π2−α)cs(3π−α)sin(−α)的值．
16.(本小题15分)
已知向量a=(3,2),b=(−2,−1),c=a+2b．
(1)若(a−b)//(b+mc)，求实数m的值；
(2)若向量d满足(a+d)⋅(c−d)=−d2且d⊥(a+b)，求向量d的坐标．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3(a2+c2−b2)a2−b2−c2=tanA．
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC的面积为15 3，b=14，求△ABC的周长．
18.(本小题17分)
如图，在梯形ABCD中，AD=4,DC=CB=6,AB=2DC，点E，F，G，H分别为线段DC，AB上的三等分点，点P是线段BC上的一点．
(1)求AB⋅AD的值；
(2)求|EG|的值；
(3)直线AP分别交线段EG，FH于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求AMAN的值．
19.(本小题17分)
对于分别定义在D1，D2上的函数f(x)，g(x)以及实数k，若存在x1∈D1，x2∈D2，使得f(x1)−g(x2)=k，则称函数f(x)与g(x)具有关系M(k)．
(1)若f(x)=2sinx，x∈[−π2,π2]；g(x)=csx，x∈[0,π]，判断f(x)与g(x)是否具有关系M(−3)，并说明理由；
(2)若f(x)=csx−1与g(x)=cs2x−sin2x+sinx具有关系M(k)，求实数k的取值范围；
(3)已知a>0，h(x)为定义在R上的奇函数，且满足：
①在[0,2a]上，当且仅当x=a2时，h(x)取得最大值1；
②对任意x∈R，有h(a+x)+h(a−x)=0．
判断是否存在实数a(a>0)，使得f(x)=sin2πx+h(x)与g(x)=h(x)−cs2πx具有关系M(4)，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：ME+EN−PN=MN−PN，
=NP−NM=MP．
故选：A．
利用平面向量的加法和减法运算求解．
本题主要考查向量的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：扇形的半径为3，面积为3π2，
由扇形的面积公式S=12αr2得α=2S÷r2=π3．
故选：C．
根据已知条件，结合扇形的面积公式，即可求解．
本题主要考查扇形的面积公式，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：△ABC中，A=120°,C=15°,AC= 6，
所以B=180°−A−C=45°，
由正弦定理得ACsinB=BCsinA，
即 6sin45°=BCsin120∘，解得BC= 6⋅ 32 22=3．
故选：C．
由三角形内角和可得角B的大小，然后由正弦定理可得BC的大小．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵tan(x+π3)<1，∴−π2+kπ即−5π6+kπ不等式tan(x+π3)<1的解集为(−5π6+kπ,−π12+kπ)(k∈Z)．
故选：A．
根据正切函数的性质即可得．
本题考查正切函数的性质，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：a=(−1,1),b=(2,3)，
则a⋅b=−2+3=1，|a|= 1+1=2，
所以b在a上的投影向量的坐标为a⋅b|a|⋅a|a|=12(−1,1)=(−12,12)．
故选：D．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可得：A=2，3T4=13π12−π3=3π4，
可得T=2πω=π，解得ω=2，
则f(x)=2sin(2x+φ)，
因为点(π3,2)在图象上，
所以sin(2π3+φ)=1.则2π3+φ=2kπ+π2,k∈Z，即φ=2kπ−π6,k∈Z，
因为|φ|<π2，则φ=−π6，
所以f(x)=2sin(2x−π6)，
将函数f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到g(x)=2sin[2(x+π6)−π6]=2sin(2x+π6)．
故选：D．
先根据图象求得f(x)，再根据三角函数图象变换求g(x)．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可知a+b+c=asinBsinA+sinB−sinC，
由正弦定理得a+b+c=aba+b−c，
即(a+b+c)(a+b−c)=ab，整理得a2+b2−c2=−ab，
由余弦定理得a2+b2−c2=2abcsC，
所以csC=−12，
又0故选：A．
由题意即正弦定理可得a2+b2−c2=−ab，再由余弦定理可得csC的值，再由角C的范围，可得角C的大小．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意OA2−OB2=CA2−CB2，
所由向量数量积的运算可得，(OA+OB)⋅(OA−OB)=(CA−CB)⋅(CA+CB)，
所以(OA+OB)⋅BA=BA⋅(CA+CB)，
则(OA−CA)⋅AB=AB⋅(CB−OB)，
所以OC⋅AB=AB⋅CO，
所以AB⋅(OC−CO)=2AB⋅OC=0，
所以2OC⋅AB=0，则OC⋅AB=0，
所以向量的夹角为直角．
故选：B．
由已知结合向量数量积的性质即可求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：f(x)=cs(2x+π6)，则T=2π2=π，故A错误；
f(x−π12)=cs[2(x−π12)+π6]=cs2x，由于cs(−2x)=cs2x，
则f(x−π12)是偶函数，故B正确；
f(5π12)=cs(2×5π12+π6)=−1.故C正确；
∵x∈[π4,5π6]，∴2x+π6∈[2π3,11π6]．
∵y=csx在[2π3,11π6]不单调，故D错误．
故选：BC．
根据余弦函数的性质逐项判断即可．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：在△ACD中，由正弦定理可得：ACsinα=CDsin(β−α)，
所以AC=asinαsin(β−α)米，所以A错误；
在Rt△ABC中，h=ACsinβ=asinαsinβsin(β−α)米，所以B正确；
在△ACD中，由正弦定理可得：ADsin(π−β)=CDsin(β−α)，
所以AD=CD⋅sin(π−β)sin(β−α)=asinβsin(β−α)米，所以C正确；
在Rt△ABC中，BC=htanβ=asinαcsβsin(β−α)米，
所以BD=BC+CD=a+asinαcsβsin(β−α)=a(1+sinαcsβsin(β−α))米，所以D正确．
故选：BCD．
由正弦定理及直角三角形的性质可判断出所给命题的真假．
本题考查正弦定理，直角三角形的性质的应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由于|a+c|=|a|，变形有a2+c2+2a⋅c=a2，则有c⋅(c+2a)=0，所以c⊥(c+2a)，A正确；
对于B，由于|2a−b|=|a|，两边同时平方可得4a2−4a⋅b+b2=a2，所以3a2−4a⋅b+b2=0，则有(3a−b)⋅(a−b)=0.所以(3a−b)⊥(a−b).B错误；
对于C，已知a,b,c是平面内两两不共线的向量，即a,b不共线，则有|a|=|2a−b|>|a−b|−|a|得2|a|>|a−b|.所以|a||a−b|>12，C正确；
对于D，因为a,c是两个不共线的向量，所以a−λc,c不共线，要使c与a−λc的夹角为锐角，则(a−λc)⋅c>0，即a⋅c−λc2=−12c2−λc2=−(12+λ)c2>0，所以λ<−12，D正确．
故选：ACD．
根据题意，由向量数量积的性质依次分析选项，综合可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于中档题．
12.【答案】 33
【解析】解：因为cs(π2−x)=sinx=− 33，
所以sin(π+x)=−sinx= 33．
故答案为： 33．
由已知结合诱导公式即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
13.【答案】132
【解析】解：因为边长为2的菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，
所以AM=AB+BM=AB+12BC=AB+12AD，
AN=AD+DN=AD+12DC=AD+12AB，
因为AM⋅AB=5，
所以(AB+12AD)⋅AB=AB2+12AB⋅AD=5，所以AB⋅AD=2，
因为AM⋅AN=(AB+12AD)⋅(AD+12AB)=12AB2+54AB⋅AD+12AD2=12×4+54×2+12×4=132．
故答案为：132．
由平面向量的线性运算将AM,AN用表示出来，由AM⋅AB=5求出AB⋅AD=2，再由平面向量的数量积计算即可．
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，属于基础题．
14.【答案】9 3
【解析】解：在△ABC中，sin2A−sin2B+sin2C=sinAsinC，
根据正弦定理化简得a2+c2−b2=ac，结合余弦定理，可得csB=a2+c2−b22ac=12，
而角B为△ABC的内角，即0根据△ABC的外接圆的半径R=2 3，
结合正弦定理可得2R=asinA=bsinB=csinC=4 3，所以b=4 3sinB=4 3× 32=6，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，即36=a2+c2−ac，
而a2+c2≥2ac，可得36=a2+c2−ac≥ac，即ac≤36，当且仅当a=c=6时取等号，
因此，△ABC的面积S=12acsinB≤9 3，当a=c=6时，△ABC面积的最大值为9 3．
故答案为：9 3．
利用正弦定理和余弦定理化简已知等式，求出B=π3，结合△ABC的外接圆的半径为2 3，算出b=6，进而可得b2=a2+c2−2accsB=36，然后根据基本不等式求出ac的最大值，结合三角形的面积公式求得△ABC面积的最大值．
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形、运用基本不等式求最值、三角形的面积公式等知识，属于中档题．
15.【答案】解：(1)根据三角函数的定义，得tanα=−1 2=− 22，
所以2sinα+csα2sinα−csα=2tanα+12tanα−1=2×(− 22)+12×(− 22)−1=3−2 2；
(2)sin(π−α)cs(α−2π)tan(π−α)sin(5π2−α)cs(3π−α)sin(−α)=sinαcsα(−tanα)csα(−csα)(−sinα)=−tanαcsα，
又csα= 2 ( 2)2+(−1)2= 63,tanα=− 22，
故原式=−tanαcsα= 32．
【解析】(1)根据任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式即可求解；
(2)利用诱导公式以及任意角的三角函数的定义即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)由a=(3,2),b=(−2,−1)，
得c=a+2b=(3,2)+2(−2,−1)=(−1,0)，
所以a−b=(5,3),b+mc=(−2−m,−1)，
由(a−b)//(b+mc)，得5×(−1)−3×(−2−m)=0，
解得m=−13；
(2)若向量d满足(a+d)⋅(c−d)=−d2且d⊥(a+b)，
设d=(x,y)，
所以(a+d)⋅(c−d)=(3+x,2+y)⋅(−1−x,−y)=−x2−y2−4x−2y−3，d2=x2+y2，
由(a+d)⋅(c−d)=−d2，得−x2−y2−4x−2y−3=−x2−y2，
所以4x+2y+3=0①，
由d⊥(a+b)，得d⋅(a+b)=0，所以(x,y)⋅(1,1)=0，则x+y=0②，
由①②得x=−32,y=32，
故d=(−32,32)．
【解析】(1)先根据a,b的坐标，得到a−b,b+mc的坐标，再由(a−b)//(b+mc)求解；
(2)设d=(x,y)，由(a+d)⋅(c−d)=−d2,d⊥(a+b)求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)△ABC中，由 3(a2+c2−b2)a2−b2−c2=tanA，得 3(a2+c2−b2)=−tanA(b2+c2−a2)，
由余弦定理得2 3accsB=−tanA⋅2bccsA=−sinAcsA⋅2bccsA，
即 3acsB=−bsinA，
由正弦定理得 3sinAcsB=−sinBsinA，
又A∈(0,π)，sinA≠0，
可得tanB=− 3，
因为B∈(0,π)，
所以B=2π3；
(2)若△ABC的面积为15 3，
则12acsinB= 3ab4=15 3，得ab=60，
因为b=14，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，可得196=a2+c2+ac=(a+c)2−ac=(a+c)2−60，
解得a+c=16，
所以△ABC的周长为a+b+c=30．
【解析】(1)由 3(a2+c2−b2)a2−b2−c2=tanA，余弦定理边化角，利用同角三角函数的商数关系化简，再由正弦定理边化角，得tanB=− 3，可得角B的大小；
(2)由△ABC的面积求出ab=60，再由余弦定理求出a+c，可得△ABC的周长．
本题考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数的商数关系以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设AB=a，AD=b，以a，b为基向量，得CB=CD+DA+AB=−12a−b+a=12a−b，
所以CB2=14a2−a⋅b+b2=14×144−a⋅b+16=36，解得a⋅b=16，即AB⋅AD=a⋅b=16．
(2)AE=AD+13DC=b+13×12a=16a+b,EG=AG−AE=16a−b，
所以EG2=(16a−b)2=136a2−13a⋅b+b2=136×144−13×16+16=1329，
所以|EG|= 1329=2 333．
(3)连接BD，因为B，N，D三点共线，BH=DF，
所以△DFN≅△BHN，所以DN=BN，N为BD的中点，
所以AN=12AB+12AD=12a+12b．
设AM=λAN，则AM=λ2a+λ2b，
设GM=μGE=μ(b−16a)．
在△AMG中，MG=AG−AM，所以μ(−b+16a)=13a−λ2a−λ2b，
所以(16μ−13+λ2)a=(μ−λ2)b，
因为a、b不共线，所以μ−λ2=0μ6−13+λ2=0，解得λ=47，
所以AM=47AN，所以AMAN=47．
【解析】(1)设AB=a，AD=b，以a，b为基向量，表示CB，计算CB的模长，即可得出AB⋅AD的值．
(2)用a、b表示EG，求出模长|EG|即可．
(3)连接BD，因为B，N，D三点共线，利用△DFN≅△BHN得出N为BD的中点，根据中线的向量表示，和共线定理，列方程求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算问题，是中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)与g(x)具有关系M(−3)，
理由如下：
当x∈[−π2,π2]时，
∵y=sinx在[−π2,π2]上单调递增，
∴f(x)=2sinx∈[−2,2]，
x∈[0,π]，
∵y=csx在[0,π]上单调递减，
∴g(x)=csx∈[−1,1]，
当x1=−π2时，f(x)=f(−π2)=−2，
当x2=0时，g(x)=g(0)=1，
此时f(−π2)−g(0)=−3，
故f(x)与g(x)具有关系M(−3)；
(2)∵f(x)=csx−1∈[−2,0]，
g(x)=cs2x−sin2x+sinx=1−2sin2x+sinx=−2(sinx−14)2+98，
又∵sinx∈[−1,1]，
则当sinx=−1时，g(x)取最小值，为−2(−1−14)2+98=−2，
当sinx=14时，g(x)取最大值，为98，
∴g(x)∈[−2,98]，
∴[f(x1)−g(x2)]∈[−258,2]，
则k∈[−258,2]；
(3)不具有M(4)关系，理由如下：
∵在[0,2a]上，当且仅当x=a2时，h(x)取得最大值1，
且h(x)为定义在R上的奇函数，
∴在[−2a,0]上，当且仅当x=−a2时，h(x)取得最小值−1．
由对任意x∈R，有h(a+x)+h(a−x)=0，
即h(a+x)=−h(a−x)，
∴y=h(x)关于点(a,0)对称，
又∵y=h(x)为奇函数，
∴h(a+x)=−h(a−x)，
即为h(2a+x)=−h(−x)=h(x)，
∴h(x)的周期为2a，
∴h(x)的值域为[−1,1]；
sin2πx∈[−1,1]，cs2πx∈[−1,1]，
当h(x1)=1时，x1=a2+2na，n∈Z；sin2πx1=1时，x1=14+k,k∈Z，
当a2+2na=14+k，a=4k+18n+2,k,n∈Z时，
此时有f(x1)=sin2πx1+h(x1)=2；
当h(x2)=−1时，x2=−a2+2ma，m∈Z；cs2πx2=1时，x2=t，t∈Z．
若−a2+2ma=t，则a=2t4m−1，t，m∈Z时，
有g(x2)=h(x2)−cs2πx2=−2．
∵a=4k+18n+2≠2t4m−1，
∴sin2πx1+h(x1)+cs2πx2−h(x2)<4，
∴不存在x1∈R，x2∈R，使得sin2πx1+f(x1)+cs2πx2−f(x2)=4，
∴f(x)=sin2πx+h(x)与g(x)=h(x)−cs2πx不具有关系M(4)．
【解析】(1)按照关系M(−3)的定义判断即可；
(2)由题意可得f(x)∈[−2,0]，g(x)∈[−2,98]，从而可得[f(x1)−g(x2)]∈[−258,2]，即可得答案；
(3)由题意可得h(x)的值域为[−1,1]，由sin2πx∈[−1,1]，cs2πx∈[−1,1]，可得f(x1)=2，g(x2)=−2，从而得sin2πx1+h(x1)+cs2πx2−h(x2)<4，所以不存在x1∈R，x2∈R，使得sin2πx1+f(x1)+cs2πx2−f(x2)=4，即可得结论．
本题属于新概念题，考查了三角函数性质、二次函数的性质，考查了奇函数的对称性及周期性，理解定义是关键，属于中档题．