广西钦州市第四中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份广西钦州市第四中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 某学校准备抽奖活动，在一个盒子中有20个大小和形状均相等的小球，其中有8个粉色球，8个紫色球和4个蓝色球，从盒子中任选一球，若它不是粉色球，则它为蓝色球的概率为（ ）
A. B. C. D.
2. 某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（ ）
A. ①②均为真命题B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题D. ①②均为假命题
3. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
4 已知随机变量服从二项分布，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ）
A. 关于直线对称B. 关于直线对称
C. 关于点成中心对称D. 关于点成中心对称
6. 若随机变量分布列为，则（ ）
A. 12B. 10C. 9D. 8
7. 设离散型随机变量X的分布列为
若随机变量， 则等于 （ ）
A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7
8. 若随机变量的分布列为，则（ ）
A. 12B. 10C. 9D. 8
二、多选题（共3小题，共18分.每小题6分，在每小题给出的四个选项里，只有一个符合题目要求，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 某地区组织了一次高三全体学生模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，则下列正确的是（ ）
A. B.
C D.
10. 已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：
随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（ ）
A.
B. 若服从两点分布，，则
C. 若，则
D. 若实数为常数，则
11. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 中位数就是第50百分位数
B. 已知随机变量，若，则
C. 已知随机变量，满足，若，，则，
D. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 设随机变量，若，则______．
13. 箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中，__________.
14. 一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________．
四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答．
（1）求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率；
（2）每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望．
16. 设有6个白球和4个红球混合后装入袋中，从这10个球中任取5个.
（1）在有放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
（2）在不放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
（3）在不放回的情况下，求第3个球为白球的概率.
17. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．
（1）求该运动员第二次投篮命中的概率；
（2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；
（3）设第次投篮命中的概率为，求证：．
18. 为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条.
（1）试估计m的值；
（2）对于（1）中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望.
19. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下:
（1）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率;
（2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望;
（3）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据: 若随机变量，则，，.
广西钦州市第四中学2024-2025学年度下学期高二数学期中数学试卷
一、单选题（共8小题，共40分.每小题5分，在每小题给出的四个选项里，只有一个符合题目要求）
1. 某学校准备抽奖活动，在一个盒子中有20个大小和形状均相等的小球，其中有8个粉色球，8个紫色球和4个蓝色球，从盒子中任选一球，若它不是粉色球，则它为蓝色球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】记取出蓝色球记为,取出的不是粉色球记为,利用条件概率求解.
【详解】记取出蓝色球为事件,事件取出的不是粉色球为,
,,
,
则．
故选：D
2. 某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（ ）
A. ①②均为真命题B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题D. ①②均为假命题
【答案】C
【解析】
【分析】分别写出对应的样本空间，结合互斥事件与独立事件的概念即可判断命题的真假.
【详解】若该家庭中有两个小孩，
样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，
(男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，
则M与N不互斥，故命题①错误；
若该家庭中有三个小孩，
样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，
(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，
则，于是，
所以M与N相互独立，故命题②正确．
故选：C．
3. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案.
【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，
根据题意可得，
，
所以
.
故选：D.
4. 已知随机变量服从二项分布，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由，则即可求解.
【详解】，
故选：B．
5. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ）
A. 关于直线对称B. 关于直线对称
C. 关于点成中心对称D. 关于点成中心对称
【答案】C
【解析】
【分析】利用连续型随机变量服从正态分布，结合正态密度曲线的性质计算可判断每个选项的正误.
【详解】由连续型随机变量服从正态分布，
可得，可得，所以正态密度曲线关于对称，
即，
由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢，
所以无对称轴，故AB错误；
，
所以关于点成中心对称，故C正确，D错误.
故选：C
6. 若随机变量的分布列为，则（ ）
A. 12B. 10C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据分布列中概率之和为1，列方程求得的值.
【详解】根据分布列中概率之和为1，列方程得：，即，
解得.
故选：B
7. 设离散型随机变量X的分布列为
若随机变量， 则等于 （ ）
A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7
【答案】A
【解析】
【分析】根据求解即可.
【详解】.
故选：A.
8. 若随机变量的分布列为，则（ ）
A. 12B. 10C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据分布列中概率之和为1，列方程求得的值.
【详解】根据分布列中概率之和为1，列方程得：，即，
解得.
故选：B
二、多选题（共3小题，共18分.每小题6分，在每小题给出的四个选项里，只有一个符合题目要求，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】由题意可得．由对称性可得,，AB正确，CD错误．
故选：AB
10. 已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：
随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（ ）
A.
B. 若服从两点分布，，则
C. 若，则
D. 若实数为常数，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据随机变量的生成函数定义，结合随机变量数学期望的求法，逐项判断即可.
【详解】对于A，随机变量的生成函数，则，当时，，所以A正确；
对于B，服从两点分布，，则生成函数为，所以B错误；
对于C，，则生成函数为，所以C错误；
对于D，对于线性变换生成函数，所以D正确.
故选：AD
【点睛】1、随机变量两点分布，则；
2、随机变量，则；
3、.
11. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 中位数就是第50百分位数
B. 已知随机变量，若，则
C. 已知随机变量，满足，若，，则，
D. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，利用中位数的概念即可判断；对于BC，利用二项分布的方差公式，结合数学期望与方差的性质求解即可判断；对选项D，利用分层抽样样本方差的计算公式计算即可判断.
【详解】对于A选项，中位数就是第50百分位数，A选项正确.
对于B选项，已知随机变量，根据二项分布的方差公式（其中是试验次数，是每次试验成功的概率），可得.
又因为（、为常数），那么.
已知，即，解得，B选项正确.
对于C选项，已知随机变量，满足，根据期望的性质（、为常数），可得.
因为，所以.
再根据方差的性质（、为常数），可得.
因为，所以，C选项错误.
对于D选项，设男生样本为，平均数为，方差为；女生样本为，平均数为，方差为.
总体样本平均数.
根据分层抽样样本方差公式（其中、分别是男生、女生的样本数量），可得：
，所以D选项错误.
故选：AB.
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 设随机变量，若，则______．
【答案】0.3##
【解析】
【分析】根据已知，利用正态分布曲线的性质求解.
【详解】因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称，
又因为，所以，所以
又因为，所以0.3.
故答案为：0.3.
13. 箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中，__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用条件概率和乘法公式分类讨论，最后利用全概率公式即可求解.
【详解】设掷骰子得到的点数的概率为，则，
当时，的概率为，若，则需取出的1个球是红球的概率为，
所以，
当时，的概率为，若，则需取出的2个球都是红球的概率为，
所以，
当时，的概率为，若，则需取出的3个球都是红球的概率为
，所以，
当时，的概率为，若，则有两种可能的情况：第一种情况为取出的4个球都是红球有种，
第二种情况为取出的4个球种有3个红球，1个黄球，有种，所以概率为，
所以
当时，的概率为，若，则需取出全部4个红球，1个黄球，
所以，所以，
当时，不满足题意，
所以综上
故答案为：.
14. 一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】计算出，根据条件得到，，，故，其中，，则或2，当时，，，，分，和，，两种情况，求出相应的，时，不合要求，从而得到答案.
【详解】事件，事件，故，
又，故，即，
因为，，
所以，故，即，
又，，
故，所以，
即，所以，故，
其中，，则或2，
若，则，
又，故，
，故，
若，，可令或或或；
若，，可令或或或，
事件，事件
若，则，此时，
此时，故，不合要求，舍去，
综上，满足条件的事件的个数为8.
故答案为：8
四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答．
（1）求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率；
（2）每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为42
【解析】
【分析】（1）根据对立事件的概率公式结合古典概率的概率公式求解；
（2）求出的所有可能取值，再求出相应的概率，列出分布列求得期望.
【小问1详解】
所求概率为.
【小问2详解】
的所有可能取值为，
，，
，．
所以的分布列为
的数学期望.
16. 设有6个白球和4个红球混合后装入袋中，从这10个球中任取5个.
（1）在有放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
（2）在不放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
（3）在不放回的情况下，求第3个球为白球的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在有放回的情况下，每一次取到白球的概率，再利用二项分布的概率公式求解.
（2）利用古典概型的概率公式求解.
（3）将第3个球为白球的事件分拆成四个互斥事件的和，再求出各个事件的概率，结合加法公式求得答案.
【小问1详解】
在有放回的情况下，每一次取到白球的概率为，
所以这5个球中恰有3个白球的概率.
【小问2详解】
在不放回的情况下，这5个球中恰有3个白球的概率.
【小问3详解】
在不放回的情况下，若第3个球为白球，则有四种情况：白,白,白；白,红,白；红,白,白；红,红,白，
所以所求概率.
17. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．
（1）求该运动员第二次投篮命中的概率；
（2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；
（3）设第次投篮命中的概率为，求证：．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设事件“第次投篮命中”，再根据全概率公式求解即可；
（2）由题意的所有取值为0,1,2，再求分布列与数学期望即可；
（3）由题意得，；再根据题意得出递推公式，进而构造数列求解即可.
【小问1详解】
设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，，
易知与是互斥事件，
所以由全概率公式得
该运动员第二次投篮命中的概率为．
【小问2详解】
由题意得，，
的所有取值为0,1,2，
,
所以的分布列为
……
所以．
【小问3详解】
由题意得，；
当时，
即，
变形为，所以数列是以为公比的等比数列，
又，于是，
即，所以．
18. 为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条.
（1）试估计m的值；
（2）对于（1）中估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）50； （2）分布列见解析，期望为.
【解析】
【分析】（1）应用样本估计总体的思想求小池塘中鱼的条数；
（2）根据已知确定随机变量的可能值，应用超几何分布求对应概率，写出分布列，进而求期望.
【小问1详解】
已知小池塘中鱼的条数为m，
由样本估计总体得=，解得，
所以估计小池塘中有50条鱼.
【小问2详解】
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
所以，，，，
X的分布列为
.
19. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下:
（1）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率;
（2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望;
（3）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据: 若随机变量，则，，.
【答案】（1）
（2）的分布列见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正态分布的性质，进而可得；
（2）以频率估计概率得随机抽取1个直径在区间内的概率为，由题意满足二项分布，根据二项分布的概率公式和期望公式可得；
（3）根据条件概率和全概率公式可得.
【小问1详解】
由题意，
得.
【小问2详解】
由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为，
故由题意满足二项分布，
故，，
，，
，
故的分布列为
的数学期望为
【小问3详解】
设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品”
则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”，
由题意，，，，
则，
，
故，
故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为.
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
01
0.3
0.3
零件直径 (单位: 厘米)
[1.8，2.0]
零件个数
10
25
30
25
10
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
X
30
40
50
60
P
0
1
2
0
1
2
3
零件直径 (单位: 厘米)
[1.8，2.0]
零件个数
10
25
30
25
10
0
1
2
3
4